Сравнение спектральных радиусов двух положительных

Операторов

 

Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа

l x = Ax + f.

Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.

В терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).

Приведем соответствующее определение.

Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное число l называется регулярным значением оператора А, если оператор

(l I - A)

имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е. В противном случае соответствующее число l называется точкой спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается s(А).

Спектральным радиусом r(А) оператора А называется следующая величина:

.

Для ограниченного оператора А спектральный радиус r(А) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка

r(А) < ||A||.

Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:

Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда r (А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина).

Более того, при несущественных дополнительных предположениях r(А) является собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x ^*Î К (теорема Перрона-Фробениуса [2]).

В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида

r(A)< 1,                                         (1)

где r(A) - спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t, s). Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого получим соответствующие признаки для случаев, когда А:

1⁰) A =( a_ij ) ( i, j =1, 2, 3…);                                                     (2)

2⁰) A – интегральный оператор вида

,                               (3)

где W - ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства R^m, K(t, s) – измеримая по s Î W почти при всех значениях t Î W функция, для которой при некоторых p> 1 и  выполняется условие:

.                                    (4)

При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве L_p( W ) и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].

Введем в рассмотрение следующие функции

, .                            (5)

Теорема 1. Пусть для некоторого a Î [0, 1] выполняется следующее неравенство

P ^a ( t ) Q ^{1- a} ( t ) £ 1 ( t Î W )                                     (6)

и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:

1⁰) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;

2⁰) в неравенстве (6) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества w Î W, mes w > 0, оператор А – неразложим в пространстве L_p( W ).

Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве L_p( W ) меньше чем единица:

r(A)< 1.                                                

Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C( W ) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C( W ).

 

Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса  посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида

,

где  - фиксированный элемент из , вытекает оценка снизу

для спектрального радиуса  линейного положительного оператора , а из неравенства вида

                                            (7)

(при некоторых дополнительных предположениях [29] относительно элемента  и конуса , или оператора ), вытекает оценка сверху для  вида

.                                             (8)

Для этого, например, достаточно, чтобы конус  был телесным и нормальным, и чтобы  был внутренним элементом конуса . Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа (8), очевидно, нельзя. В отличие от оценки  сверху, оценка  снизу верна при единственном предположении о том, что .

Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам известно условие вида

,                                       (9)

где  - некоторый линейный оператор, действующий в пространстве ? По аналогии с упомянутой оценкой вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка

?                                             (10)

При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов  и  на фиксированном элементе конуса .

 

Теорема 2. Пусть конус  - телесен и нормален,  - внутренний элемент конуса .  и  - линейные положительные операторы, действующие в , причем они коммутируют, т.е.

.                                      ( 11 )

Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе  конуса  выполняется неравенство

,

тогда для спектральных радиусов  и  операторов  и  справедливо следующее неравенство:

 .

Доказательство.

Перейдем в пространстве  к - норме [26], [29], которая, во-первых, определена на всем , так как конус  телесен, и, во-вторых, эквивалентна норме в , т.к. конус  нормален. Тем самым пространство  будет полно по -норме. Прежде всего, установим, что для произвольного линейного положительного оператора  справедливо равенство

.                                     ( 12 )

Действительно, из неравенства

,

справедливого для любого , в виду положительности оператора  следует, что

,

откуда, учитывая монотонность -нормы, получим

,

и, следовательно, по определению нормы оператора

.                                     ( 13 )

С другой стороны, из свойств нормы следует, что

.                        (14)

Из (14) и (13) следует равенство (12).

Далее, согласно условию (9), свойству (11) и положительности оператора , имеем

.      ( 15 )

По индукции легко доказать, что для любого  имеет место неравенство

,

и в силу монотонности -нормы

.

Поэтому, согласно (12),

.              (16)

Т.к. в силу эквивалентности -нормы и нормы пространства  можно написать, что

, ,                         (17)

то из неравенства (16) и равенств (17) следует утверждение теоремы.

Замечание. Теорема 2 верна также и в том случае, когда операторы  и  полукоммутируют (т.е. ). В доказательстве выражение (15) перепишется в виде:

.

Рассмотрим теперь условия (9) и (10) для строгих неравенств. Т.е. условия, при которых из

следует оценка

.                                        (18)

Прежде, чем перейти к рассмотрению строгих оценок (18), приведем несколько важных теорем, представляющих интерес.

Теорема 3. Пусть  и  - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. . Пусть оператор  неразложим, тогда операторы  и  имеют общий собственный вектор.

Доказательство.

Пусть  - собственный вектор оператора , отвечающий спектральному радиусу . Т.к. операторы  и  коммутируют, то для любого  имеем:

.

Тогда

,

следовательно  - собственный вектор оператора , . Т.к.  - неразложим, то согласно теореме о единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого оператора [29]:

,  

где .

Тем самым у оператора  есть собственный вектор . Т.е. получаем, что у операторов  и  есть общий собственный вектор .

Теорема доказана.

Важным моментом в доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.

 

Теорема 4. Пусть дана некоторая коммутативная совокупность  линейных положительных операторов, из которых хотя бы один  является неразложимым. Тогда найдется положительный функционал , такой, что  для всех , где  для каждого . При этом .

Доказательство.

На основании предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из  имеют общий собственный вектор  ( ), причем .

 является собственным значением соответствующего оператора  и собственным значением сопряженного оператора , которому отвечают собственный вектор  оператора  и собственный функционал  оператора , где - сопряженная к  полугруппа. Из результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую совокупность линейных положительных операторов . Таким образом, получим

 и .

Теорема доказана.

Приведем достаточно известный [22] результат.

 

Теорема 5. Если , то уравнение

                             (19)

имеет единственное решение

,

которое является пределом последовательных приближений

               (20)

при любом .

Замечание. Сходимость последовательных приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено сходящимся по норме рядом Неймана

.

Перейдем к рассмотрению строгих оценок.

 

Теорема 6. Пусть  и  - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. , и пусть оператор  - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса  выполнено неравенство

, ( ).

Пусть выполнено одно из условий:

1)  вполне непрерывен,  - квазивнутренний элемент ;

2) конус  телесный и нормальный,  - внутренний элемент ;

3) оператор -ограничен сверху, конус  воспроизводящий и нормальный;

4)  оператор -ограничен сверху, конус  воспроизводящий и нормальный,  - квазивнутренний элемент ;

5) оператор  допускает представление

,

где  - вполне непрерывен, , конус  воспроизводящий и нормальный,  - квазивнутренний элемент ; существует такой элемент , что .

Тогда справедливо строгое неравенство

.

Доказательство.

В силу теоремы 5 уравнение

имеет решение

.

Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенству

.                            (21)

Т.к.  - неразложим, то из неравенства (21) следует, что - квазивнутренний элемент . Поэтому при любом ненулевом  выполнено неравенство

.                            (22)

В условиях нашей теоремы существует такой ненулевой функционал , что . На основании теоремы 3 найдется такой собственный элемент  оператора , отвечающий собственному значению , который будет также собственным элементом оператора , отвечающим некоторому собственному значению  оператора . Тогда

,

и из (22) вытекает

.

Откуда

.

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 6 верна также и в том случае, когда операторы  и  полукоммутируют, т.к. если операторы  и  полукоммутируют, и оператор  неразложим, то имеет место равенство:

,

т. е. операторы  и  коммутируют.

Замечание 2. Используя равенство

можно расширить возможности получения оценок спектрального радиуса: если некоторая степень  удовлетворяет условиям теоремы 5, то из неравенства

вытекает оценка

.

Пример. Рассмотрим матрицу  и вектор  пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :

; ; , .

Имеем , , т.е. . Таким образом, выполнены все условия теоремы 6, следовательно

.

В то время как точное значение спектрального радиуса: .

Заметим, что использование коммутирующего оператора  способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то , и тогда, учитывая (8), получим , а эта оценка намного хуже оценки .

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: