Численное моделирование механических процессов в заготовке

Для решения задачи упруго-пластичности применяется метод упругих решений, заключающийся в сведении нелинейной задачи пластичности к сходящейся последовательности задач упругости.

Меридиональное сечение заготовки разбивалось на треугольные конечные элементы, причем сетки подзадач электродинамики и механики совпадали (рис.2.2). После дискретизации получили систему дифференциальных уравнений, описывающую движение узлов одного элемента, когда он находится в упругом состоянии

 

,  (2.41)

 

где M- матрица масс, K-матрица жесткости задачи упругости; ; - радиальная координата центра масс элемента; F- локальный вектор сил, действующих на элемент, ‑ вектор перемещений, B – матрица производных функций формы, D- матрица упругих постоянных.

При построении численной модели использовались основные соотношения теории пластического течения.

1) приращение деформации  на шаге по времени  складывается из приращения упругой  и пластической  деформации:

 

;

(2.42)

 

2) приращение пластической деформации может быть получено по формуле для ассоциированного закона пластического течения:

 

(2.43)

 

В данной задаче в качестве условия текучести принят критерий Мизеса

 

где ,

 

где  - напряжения в элементе, - предел текучести, Аp - работа пластического формоизменения.

Закон Гука в дискретной форме

 

(2.44)

 

после выражения упругих деформаций из (2.42) как разности полных и пластических деформаций можно записать следующим образом

 

. (2.45)

 

Подставляя данное выражение в соотношения МКЭ для упругой задачи, получим

 

(2.46)

 

Учитывая, что  и , упростим выражение (2.39)

 

, (2.47)

 

где - приведенная сила, связанная с пластическим формоизменением.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (2.47) проводилось методом дискретизации по времени

 

(2.48)

 

где , - значения перемещения, скорости в начале шага; a - ускорения на текущем шаге [42].

После подстановки выражения (2.48) в систему дифференциальных уравнений (2.47) движения получили:

 

.  (2.49)

 

Выражение (2.49) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора ускорений. Подставив найденный вектор ускорений на данном шаге в (2.48), получим перемещение и скорость в конце данного шага интегрирования.

Для приращения приведенной силы была получена формула на основе теории пластического течения. Подставив (2.43) в выражение приведенной силы пластического формоизменения, получим

 

, (2.50)

 

где - вектор частных производных от уравнения поверхности текучести.

Коэффициент  вычислялся по формуле

 

, (2.51)

 

где - вектор приращений узловых перемещений на данном шаге,  - касательный модуль пластичности.

Соотношения (2.51) можно получить следующим образом. Найдем полное приращение выражения , используя дифференциал

 

. (2.52)

 

Когда материал находится в пластическом состоянии выполняется условие текучести, а соответственно выражение (2.52) должно тождественно равняться нулю.

 

(2.53)

 

С учетом того, что - приращение работы пластической деформации, преобразуем равенство (2.53)

 

.  (2.54)

Подставим в (2.54) выражение пластических деформаций через ассоциированный закон течения

 

. (2.55)

 

Запишем (2.55) в приращениях

 

(2.56)

 

и подставим выражение приращения пластической деформации через ассоциированный закон течения

 

.(2.57)

 

Подставляя (2.57) в (2.55) и проводя ряд преобразований, получаем (2.44).

Для численного решения задачи необходимо применять итерационную процедуру. Ниже приведен ее алгоритм

1) вычислить вектор внешних сил, используя решение задачи электродинамики;

2) взять вектор приведенной силы пластического формоизменения (2.50) с предыдущего шага и вычислить приращение вектора узловых перемещений по формулам (2.48) и (2.49);

3) используя значения приращения вектора узловых перемещений, вычислить  по формуле (2.51);

4) откорректировать вектор приведенной силы пластического формоизменения, используя новое значение ;

5) вычислить уточненное приращение вектора узловых перемещений по формулам (2.48) и (2.49);

6) оценить погрешность, сравнив приращение перемещений на данном шаге с полученными ранее на предыдущей итерации или (для первой итерации) на шаге 2. Если погрешность превышает заданное значение, перейти к шагу 3.

7) Откорректировать значение предела текучести с учетом упрочнения.

8) Если не достигнут конец временного отрезка решения задачи, сделать новый шаг по времени и перейти к шагу 1.

 

Выводы по разделу

 

1) Разработана математическая модель электродинамических процессов, протекающих в системе «установка-индуктор-заготовка» учитывающая сопротивление токоподводов и собственную индуктивность установки.

2) На базе теории пластического течения Прандтля и Рейсса разработана математическая модель упруго-пластического деформирования заготовки под действием пондеромоторных сил.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: