Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

Содержание

 

Введение

Глава I. Основные понятия разностных схем

1.1 Сеточная область

1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

1.4 Разностная схема

1.5 Корректность разностной схемы

1.6 Аппроксимация и сходимость

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

1.7.2 Формирование сетки

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

2.2 ”Явные” схемы

2.3 Неявные схемы

2.3.1 Центрально-разностная схема

2.3.2 Трехточечная схема с весом

Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами

3.1 Постановка задачи

3.2 Схема бегущего счета

3.3 Неявные схемы

3.3.1 Центрально-разностная схема

3.3.2 Трехточечная схема весом

3.3.3 Схема “прямоугольник”

3.3.4 Схема со сглаживанием

3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием

3.3.6 “Шахматная ” схема

Заключение

Использованная литература

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

 

Введение

 

Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.

В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.

2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.

От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.

Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.

Цель дипломной работы – выбор наиболее устойчивой разностной схемы.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

- рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;

- выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.

Глава I. Основные понятия теории разностных схем

 

Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.

Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.

Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.

 

Сеточная область

 

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h-конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G={0≤ x≤ 1}. Разобьем этот отрезок точками x_i=i∙ h, i=0, n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек x_i=i∙ h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤ x≤ 1 и обозначим ={x_i=i∙ h, i=0, n}, а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0≤ x≤ 1 точками x_i, i=0, n можно производить произвольным образом - 0< x₁< …< x_n-1< 1. Тогда получаем сетку ={x_i, i=0, n, x₀=0, x_n=1} c шагами h_i=x_i-x_i-1, которое зависит от номера узла сетки. Если h_i≠ h_i+1 хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают ŵ . Точки x₀ и x_n назовем граничными узлами и обозначим их г_h. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их w_h. Узлы соседние с граничащими назовем приграничными. Тогда имеем

 

=w_h г_{h .}

Разностная схема

 

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

 

Lu=f(x), x G (8)

 

с дополнительным условием

 

lu=ц(x), x Г. (9)

 

Введем в области  Г сетку

и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу

 

L_hy_h=f_h, x w_h, (10)

L_hy_h=ц_h, x г_h. (11)

 

Функция y_h(x), f_h(x), ц_h(x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций {y_h}, {f_h}, {ц_h}, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

 

, 0< x≤ 1, л = const

.

 

Используем аппроксимации:

 

;

.

 

После этого имеем разностную схему:

 

 

Расчетный алгоритм имеем вид

 

 

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши.

 

Воспользуемся следующими аппроксимациями:

 

 

После этого имеем разностную схему

 

 

Аппроксимация и сходимость

 

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть u^h значение функции u(x) на сеточной области , т.е. u^h H_h.

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

z_h = y_h –u^h,

 

где y_h – решение схемы (14), (15), u^h- решение задачи (12), (13) на сетке ͞ w_h. Подставив y_h = z_h +u^h в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

 

 (26)

 (27)

 (28)

 

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

 

_Hh = _Hh → 0 при h→ 0.

 

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h₀ выполняется неравенство

 

 _Hh = _Hh ≤ M ∙ hⁿ,

 

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

 

ш_h = O(hⁿ),

т.е  ≤ M∙ hⁿ.

Теорема. Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство. Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

 

_Hh = _Hh ≤ M_{1 Hh} + M_{2 Hh}. (29)

 

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→ 0. Норма погрешности ‖ z_h‖ _Hh→ 0 при h→ 0, если _Hh→ 0 и  _Hh→ 0 при h→ 0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hⁿ), n> 0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

 

_Hh = О(hⁿ), _Hh = O(hⁿ).

 

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

 

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для z_i получаем схему:

 

 (30)

 

Разложим u_i+1 по формуле Тейлора в точке x_i, имеем

 

 (31)

 

Подставляя (31) в ш_i, получим

 

 

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

 

 

При  имеем  Выражая z_i через z₀, получим:

 

 

Отсюда видно, что при h→ 0, │ z_i│ → 0. Для точности схемы имеем

 

│ z_i+1│ ≤  h∙ │ ш_s│ ≤ h ∙ i ∙ O(h) = x_i∙ O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

 

,

 

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения z_i = y_i –u_i получаем разностную схему:

 

 

Подставляя разложение (31) в ш_i, получим

 

 

Отсюда имеем

 

 

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для z_i:

 

 

Множитель  при л > 0. Выражая z_i через z₀, имеем

 

 

Отсюда │ z_i│ ≤ M∙ h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

 

 

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

 

Неравномерная сетка

 

Построение сеточной области

Пусть исходная область ={ }. Ее аппроксимируем сеточной областью:

, - средний шаг}- сетка по х;

 , - средний шаг}- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть  - неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

 - правая разностная производная по х; (1)

-сеточная функция;

 - левая разностная производная по х; (2)

- центральная разностная производная по х; (3)

- аппроксимация с весом ; (4)

 Аппроксимация первой производной по t имеет вид:

- правая разностная производная по t; (5)

 - левая разностная производная по t; (6)

- центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:

 

; (8)

; (9)

 

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения  Найдем  и подставим в (1).

Имеем = ,

Функцию  разложим по формуле Тейлора

 

,

 

и подставим в  Имеем

,

 

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка .

Формирование сетки

I вариант

 , (1)

 , q> 1-возраст.геометр.прогрессия

 , q< 1-убыв.геометр.прогрессия

1) , (2)

 , q> 1. (3)

2) , (4)

, q< 1. (5)

и - задаем сами.

 

Пример Пусть

q> 1 и по формуле (3) n

Пример Пусть

вычисляем по формуле (5)

 

 

Действительно

 

 

II вариант

Можно использовать другой подход:

, , ,

,

, .

 

a) , q< 1 - убывающая геом. прогрессия n и q-задаем сами.

в) , q> 1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1) Равномерная сетка .

2) Квазиравномерная сетка ( …).

3) Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии .

4) Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии .

5) Среднеарифметический метод 3) и 4) .

Постановка задачи

 

Рассмотрим уравнение вида:

 

 (1)

 

удовлетворяющий начальным условиям

 

 (2)

 

и граничным условиям:

 

 (3)

 

Входные данные:

 

1)

 l=1, T=1

 

точное решение:

2)

 

точное решение:

 

3)

 

точное решение:

 

4)

 

точное решение:

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

 

Явные ” схемы

 

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x, t) > 0, (p₀> 0, p_N> 0) или p(x, t)< 0, (p₀< 0, p_N< 0). На практике часто используют схему бегущего счета. В зависимости от знака функции p(x, t) используют правую или левую разностные схемы.

Итак, рассмотрим схему бегущего счета в обоих случаях.

 

1) p(x, t)> 0, (p₀> 0, p_N> 0)

 

Разностная схема (правая) имеет вид

^; (1′ )

; (2′ )

 ^; (3′ )

из (1′ ) ,

где .

2) p(x, t)< 0, (p₀< 0, p_N< 0)

 

В этом случае используется левая разностная схема

^; (1″ )

; (2″ )

 ^; (3″ )

из (1′ ) ,

где .

 

Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)

-------------kogda p0> 0, pN> 0-------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.10039200	0.10004559	0.00034641
1	0.10731313	0.10694264	0.00037049
2	0.11471141	0.11431517	0.00039623
3	0.12261970	0.12219596	0.00042375
4	0.13107319	0.13062004	0.00045315
5	0.14010945	0.13962487	0.00048458
6	0.14976865	0.14925048	0.00051817
7	0.16009374	0.15953968	0.00055407
8	0.17113063	0.17053820	0.00059243
9	0.18292837	0.18229495	0.00063342
10	0.19553941	0.19486220	0.00067721
11	0.20901984	0.20829583	0.00072401
12	0.22342957	0.22265555	0.00077402
13	0.23883258	0.23800523	0.00082736
14	0.25528740	0.25441310	0.00087431
15	0.27195211	0.27195211	0.00000000

 

Таблица 2. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (левая разностная схема)

-------------kogda p0< 0, pN< 0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.14715178	0.14715178	0.00000000
1	0.14242453	0.14232757	0.00009697
2	0.13785337	0.13766151	0.00019185
3	0.13343317	0.13314843	0.00028474
4	0.12915902	0.12878331	0.00037571
5	0.12502613	0.12456129	0.00046484
6	0.12102988	0.12047768	0.00055219
7	0.11716580	0.11652796	0.00063785
8	0.11342959	0.11270772	0.00072187
9	0.10981705	0.10901272	0.00080434
10	0.10632415	0.10543886	0.00088530
11	0.10294698	0.10198216	0.00096483
12	0.09968176	0.09863879	0.00104298
13	0.09652483	0.09540502	0.00111981
14	0.09347266	0.09227727	0.00119539
15	0.09052183	0.08925206	0.00126976

 

Текст программы смотри в приложении 1

Неявные схемы

 

В отличие от явной схемы неявные схемы используются для задачи (1) – (3) во всех случаях 1) p₀> 0, p_N> 0; 2) p₀< 0, p_N< 0; 3) p₀> 0, p_N< 0; 4) p₀< 0, p_N> 0.

Рассмотрим 2 различные разностные схемы:

1) Центрально- разностная схема.

2) Трехточечная схема с весом.

Все эти схемы решаются методом прогонки и все эти разностные уравнения, т.е. полученные при аппроксимации схемы, вернее, уравнения сводятся к виду:

 

 (4)

 

Коэффициенты A_i, B_i, C_i должны удовлетворять условиям:

 

 (5)

 

Коэффициенты B₀ , C₀, F₀, A_N, C_N, F_N находятся из граничных условий. В данной задаче в зависимости от знака функции p(x, t) ставятся граничные условия и тем самым находятся наши коэффициенты. Рассмотрим все 4 случая:

1) p ₀ > 0, p_N > 0, u ( l, t )=м₂( t ), (3′ )

из уравнения (3′ )  A_N, C_N, F_N.

B₀ , C₀, F₀ находятся из дополнительного условия, которая ставится на левом конце.

2) p ₀ < 0, p_N < 0, u (0, t )=м₁( t ), (3″ )из уравнения (3″ )  B₀ , C₀, F_0.

A_N, C_N, F_N находятся из дополнительного условия, которая ставится на правом конце.

3) p ₀ < 0, p_N > 0, u (0, t )=м₁( t ), u ( l, t )=м₂( t ), (3″ ′ )

из уравненя (3″ ′ )  B₀ , C₀, F₀

 

 A_N, C_N, F_N

4) p ₀ > 0, p_N < 0, нет граничных условий.

Дополнительное условие ставится на левом и на правом концах. Находим B₀, C₀, F₀ , A_N, C_N, F_N.

Алгоритм правой прогонки

 

, .

,

.

 

При выполнении условий  алгоритм правой прогонки устойчив.

 

Центрально разностная схема

Разностная схема имеет вид (задачи (1)-(3)):

, .

1) P₀> 0, P_N> 0

 

  , , .

2) P₀< 0, P_N< 0

 

 .

3) P₀< 0, P_N> 0

 

 B₀=0, C₀=1, F₀= ,

→ A_N=0, C_N=1, _.

4) P₀> 0, P_N< 0

 

,

 

Таблица 3. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0> 0, pN> 0------------ 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.18772094	0.18765555	0.00006539
1	0.18147920	0.18150347	0.00002427
2	0.17566576	0.17555308	0.00011268
3	0.16982701	0.16979776	0.00002924
4	0.16440069	0.16423113	0.00016956
5	0.15890974	0.15884699	0.00006275
6	0.15384782	0.15363937	0.00020845
7	0.14868453	0.14860247	0.00008206
8	0.14391438	0.14373070	0.00018368
9	0.13904086	0.13901865	0.00002221
10	0.13462315	0.13446108	0.00016208
11	0.13004378	0.13005292	0.00000914
12	0.12593278	0.12578928	0.00014351
13	0.12169429	0.12166541	0.00002888
14	0.11786577	0.11767675	0.00018903
15	0.11381884	0.11381884	0.00000000

 

Таблица 4. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0< 0, pN< 0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.14715178	0.14715178	0.00000000
1	0.14240331	0.14232757	0.00007574
2	0.13769681	0.13766151	0.00003530
3	0.13325746	0.13314843	0.00010903
4	0.12885248	0.12878331	0.00006918
5	0.12470227	0.12456129	0.00014098
6	0.12057943	0.12047768	0.00010174
7	0.11669966	0.11652796	0.00017170
8	0.11284082	0.11270772	0.00013310
9	0.10921401	0.10901272	0.00020130
10	0.10560221	0.10543886	0.00016335
11	0.10221201	0.10198216	0.00022985
12	0.09883137	0.09863879	0.00019259
13	0.09566248	0.09540502	0.00025746
14	0.09249816	0.09227727	0.00022089
15	0.08953626	0.08925206	0.00028420

 

Таблица 5. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0< 0, pN> 0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03565917	0.03558189	0.00007728
2	0.03439784	0.03441538	0.00001754
3	0.03335557	0.03328711	0.00006846
4	0.03216179	0.03219583	0.00003404
5	0.03119895	0.03114032	0.00005863
6	0.03007027	0.03011942	0.00004915
7	0.02917987	0.02913199	0.00004788
8	0.02811435	0.02817693	0.00006258
9	0.02728957	0.02725318	0.00003639
10	0.02628567	0.02635971	0.00007405
11	0.02551993	0.02549554	0.00002439
12	0.02457633	0.02465970	0.00008337
13	0.02386341	0.02385126	0.00001215
14	0.02297890	0.02306932	0.00009042
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

 

Таблица 6. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0> 0, pN< 0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.00379722	0.00375311	0.00004410
1	0.00328998	0.00328462	0.00000536
2	0.00291427	0.00287461	0.00003966
3	0.00250378	0.00251579	0.00001200
4	0.00225176	0.00220175	0.00005001
5	0.00190450	0.00192691	0.00002241
6	0.00172045	0.00168638	0.00003407
7	0.00145947	0.00147588	0.00001640
8	0.00129005	0.00129165	0.00000159
9	0.00109247	0.00113042	0.00003795
10	0.00092289	0.00098931	0.00006642
11	0.00074314	0.00086582	0.00012268
12	0.00056520	0.00075774	0.00019254
13	0.00038370	0.00066315	0.00027946
14	0.00020306	0.00058037	0.00037731
15	0.00002275	0.00050793	0.00048518

 

Текст программы смотри в приложении 2

Трехточечная схема с весом

Разностная схема для нашей задачи ((1)-(3)) имеет вид:

 

 (0)

Уравнение (0) приведем к виду

  (1)

 

Из уравнения (1) находим коэффициенты

 

, , ,

.

1) P₀> 0, P_N> 0 y_N^j+1 = м₂^j+1 → A_N =0, C_N=1, F_N = м₂^j+1

 

 (1.0)

 

Уравнение (1.0) приводим к виду

(1.1)

 

Из уравнения (1.1) находим

 

, ,

.

 

2) P ₀ < 0, P_N < 0 y₀^j+1 = м₁^j+1 → B ₀ =0, C ₀ =1, F ₀ = м₁ ^{j +1}

. (2.0)

 

Уравнение (2.0) приводим к виду

  (2.1)

 

Из уравнения (2.1) находим  , ,

1234Следующая ⇒

Поделиться: