Корректность разностной схемы

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Пусть имеем дифференциальную задачу

, (12)

(13) и на сетке аппроксимируем ее разностной схемой

(14)

(15)

Задача (12), (13) поставлена корректно, если выполнены условия:

1) задача однозначно разрешима при любых правых частях

2) решение задачи непрерывно зависит от правых частей т.е.

_H ≤ M₁∙ _H +M₂∙ _H_.

Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы (14), (15). Говорят, что разностная схема (14), (15) корректна, если при всех достаточно малых │ h│ < h₀:

1) решение y_h разностной схемы существует и единственно для всех входных данных f _hH_h, ц_h H_h;

2) существуют постоянные M₁> 0, M₂> 0 не зависящие от h и такие, что при любых f _h H_h, ц_h H_h справедлива оценка

_Hh ≤ M₁∙ _Hh +M₂∙ _Hh_.(16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

(17)

Точным решением задачи (17) является функция

Если ввести новую функцию то получим задачу

(18)

Решением задачи (18) является функция

Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке = {x_i=ih, i=0, n} схемой:

(19)

Перепишем схему (19) в виде

Отсюда имеем

Рассмотрим фиксированную точку и выберем последовательность сеток таких, чтобы = i₀∙ h, т.е. является узлом сетки при h→ 0.

Вычислим значение у в этой точке y( ) = y_i₀=sⁱ⁰y₀. Так как │ s│ < 1 при б> 0

и любых h, то│ y( )│ ≤ │ sⁱ⁰│ ^∙│ y₀│ < │ y(0)│ при любом h. Из этого

неравенства видно, что решение разностной схемы (19) непрерывно зависит от вход? ных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).

Пример 2. Имеем уравнение

, (20)

Точным решением задачи (20) является функция

Отсюда следует неравенство

, (21)

при л> 0.

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е.

(22)

Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

(23)

Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем

Неравенство (22) будет выполнено, если

т.е. .

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера

(24)

Отсюда

т.е.

при

Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.

Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом

(25)

Отсюда имеем

Условие (22) будет выполнено, если

т.е

Отсюда получаем

Схема абсолютно устойчива при

т.е. схема (25) условно устойчива при

Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть u^h значение функции u(x) на сеточной области , т.е. u^h H_h.

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

z_h = y_h –u^h,

где y_h – решение схемы (14), (15), u^h- решение задачи (12), (13) на сетке ͞ w_h. Подставив y_h = z_h +u^h в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

(26)

(27)

(28)

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

_Hh = _Hh → 0 при h→ 0.

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h₀ выполняется неравенство

_Hh = _Hh ≤ M ∙ hⁿ,

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

ш_h = O(hⁿ),

т.е ≤ M∙ hⁿ.

Теорема. Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство. Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

_Hh = _Hh ≤ M₁ _Hh + M₂ _Hh. (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→ 0. Норма погрешности ‖ z_h‖ _Hh→ 0 при h→ 0, если _Hh→ 0 и _Hh→ 0 при h→ 0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hⁿ), n> 0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

_Hh= О(hⁿ), _Hh = O(hⁿ).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для z_i получаем схему:

(30)

Разложим u_i₊₁ по формуле Тейлора в точке x_i, имеем

(31)

Подставляя (31) в ш_i, получим

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

При имеем Выражая z_i через z₀, получим:

Отсюда видно, что при h→ 0, │ z_i│ → 0. Для точности схемы имеем

│ z_i₊₁│ ≤ h∙ │ ш_s│ ≤ h ∙ i ∙ O(h) = x_i∙ O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения z_i = y_i –u_i получаем разностную схему:

Подставляя разложение (31) в ш_i, получим

Отсюда имеем

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для z_i:

Множитель при л > 0. Выражая z_i через z₀, имеем

Отсюда │ z_i│ ≤ M∙ h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

Неравномерная сетка

Построение сеточной области

Пусть исходная область ={ }. Ее аппроксимируем сеточной областью: