Глава II . Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

Постановка задачи

 

Рассмотрим уравнение вида:

 

 (1)

 

удовлетворяющий начальным условиям

 

 (2)

 

и граничным условиям:

 

 (3)

 

Входные данные:

 

1)

 l=1, T=1

 

точное решение:

2)

 

точное решение:

 

3)

 

точное решение:

 

4)

 

точное решение:

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

 

Явные ” схемы

 

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x, t) > 0, (p₀> 0, p_N> 0) или p(x, t)< 0, (p₀< 0, p_N< 0). На практике часто используют схему бегущего счета. В зависимости от знака функции p(x, t) используют правую или левую разностные схемы.

Итак, рассмотрим схему бегущего счета в обоих случаях.

 

1) p(x, t)> 0, (p₀> 0, p_N> 0)

 

Разностная схема (правая) имеет вид

^; (1′ )

; (2′ )

 ^; (3′ )

из (1′ ) ,

где .

2) p(x, t)< 0, (p₀< 0, p_N< 0)

 

В этом случае используется левая разностная схема

^; (1″ )

; (2″ )

 ^; (3″ )

из (1′ ) ,

где .

 

Таблица 1 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (правая разностная схема)

-------------kogda p0> 0, pN> 0-------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.10039200	0.10004559	0.00034641
1	0.10731313	0.10694264	0.00037049
2	0.11471141	0.11431517	0.00039623
3	0.12261970	0.12219596	0.00042375
4	0.13107319	0.13062004	0.00045315
5	0.14010945	0.13962487	0.00048458
6	0.14976865	0.14925048	0.00051817
7	0.16009374	0.15953968	0.00055407
8	0.17113063	0.17053820	0.00059243
9	0.18292837	0.18229495	0.00063342
10	0.19553941	0.19486220	0.00067721
11	0.20901984	0.20829583	0.00072401
12	0.22342957	0.22265555	0.00077402
13	0.23883258	0.23800523	0.00082736
14	0.25528740	0.25441310	0.00087431
15	0.27195211	0.27195211	0.00000000

 

Таблица 2. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами схема бегущего счета “явная ” схема (левая разностная схема)

-------------kogda p0< 0, pN< 0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.14715178	0.14715178	0.00000000
1	0.14242453	0.14232757	0.00009697
2	0.13785337	0.13766151	0.00019185
3	0.13343317	0.13314843	0.00028474
4	0.12915902	0.12878331	0.00037571
5	0.12502613	0.12456129	0.00046484
6	0.12102988	0.12047768	0.00055219
7	0.11716580	0.11652796	0.00063785
8	0.11342959	0.11270772	0.00072187
9	0.10981705	0.10901272	0.00080434
10	0.10632415	0.10543886	0.00088530
11	0.10294698	0.10198216	0.00096483
12	0.09968176	0.09863879	0.00104298
13	0.09652483	0.09540502	0.00111981
14	0.09347266	0.09227727	0.00119539
15	0.09052183	0.08925206	0.00126976

 

Текст программы смотри в приложении 1

Неявные схемы

 

В отличие от явной схемы неявные схемы используются для задачи (1) – (3) во всех случаях 1) p₀> 0, p_N> 0; 2) p₀< 0, p_N< 0; 3) p₀> 0, p_N< 0; 4) p₀< 0, p_N> 0.

Рассмотрим 2 различные разностные схемы:

1) Центрально- разностная схема.

2) Трехточечная схема с весом.

Все эти схемы решаются методом прогонки и все эти разностные уравнения, т.е. полученные при аппроксимации схемы, вернее, уравнения сводятся к виду:

 

 (4)

 

Коэффициенты A_i, B_i, C_i должны удовлетворять условиям:

 

 (5)

 

Коэффициенты B₀ , C₀, F₀, A_N, C_N, F_N находятся из граничных условий. В данной задаче в зависимости от знака функции p(x, t) ставятся граничные условия и тем самым находятся наши коэффициенты. Рассмотрим все 4 случая:

1) p ₀ > 0, p_N > 0, u ( l, t )=м₂( t ), (3′ )

из уравнения (3′ )  A_N, C_N, F_N.

B₀ , C₀, F₀ находятся из дополнительного условия, которая ставится на левом конце.

2) p ₀ < 0, p_N < 0, u (0, t )=м₁( t ), (3″ )из уравнения (3″ )  B₀ , C₀, F_0.

A_N, C_N, F_N находятся из дополнительного условия, которая ставится на правом конце.

3) p ₀ < 0, p_N > 0, u (0, t )=м₁( t ), u ( l, t )=м₂( t ), (3″ ′ )

из уравненя (3″ ′ )  B₀ , C₀, F₀

 

 A_N, C_N, F_N

4) p ₀ > 0, p_N < 0, нет граничных условий.

Дополнительное условие ставится на левом и на правом концах. Находим B₀, C₀, F₀ , A_N, C_N, F_N.

Алгоритм правой прогонки

 

, .

,

.

 

При выполнении условий  алгоритм правой прогонки устойчив.

 

Центрально разностная схема

Разностная схема имеет вид (задачи (1)-(3)):

, .

1) P₀> 0, P_N> 0

 

  , , .

2) P₀< 0, P_N< 0

 

 .

3) P₀< 0, P_N> 0

 

 B₀=0, C₀=1, F₀= ,

→ A_N=0, C_N=1, _.

4) P₀> 0, P_N< 0

 

,

 

Таблица 3. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0> 0, pN> 0------------ 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.18772094	0.18765555	0.00006539
1	0.18147920	0.18150347	0.00002427
2	0.17566576	0.17555308	0.00011268
3	0.16982701	0.16979776	0.00002924
4	0.16440069	0.16423113	0.00016956
5	0.15890974	0.15884699	0.00006275
6	0.15384782	0.15363937	0.00020845
7	0.14868453	0.14860247	0.00008206
8	0.14391438	0.14373070	0.00018368
9	0.13904086	0.13901865	0.00002221
10	0.13462315	0.13446108	0.00016208
11	0.13004378	0.13005292	0.00000914
12	0.12593278	0.12578928	0.00014351
13	0.12169429	0.12166541	0.00002888
14	0.11786577	0.11767675	0.00018903
15	0.11381884	0.11381884	0.00000000

 

Таблица 4. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0< 0, pN< 0-------------- 50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.14715178	0.14715178	0.00000000
1	0.14240331	0.14232757	0.00007574
2	0.13769681	0.13766151	0.00003530
3	0.13325746	0.13314843	0.00010903
4	0.12885248	0.12878331	0.00006918
5	0.12470227	0.12456129	0.00014098
6	0.12057943	0.12047768	0.00010174
7	0.11669966	0.11652796	0.00017170
8	0.11284082	0.11270772	0.00013310
9	0.10921401	0.10901272	0.00020130
10	0.10560221	0.10543886	0.00016335
11	0.10221201	0.10198216	0.00022985
12	0.09883137	0.09863879	0.00019259
13	0.09566248	0.09540502	0.00025746
14	0.09249816	0.09227727	0.00022089
15	0.08953626	0.08925206	0.00028420

 

Таблица 5. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0< 0, pN> 0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03565917	0.03558189	0.00007728
2	0.03439784	0.03441538	0.00001754
3	0.03335557	0.03328711	0.00006846
4	0.03216179	0.03219583	0.00003404
5	0.03119895	0.03114032	0.00005863
6	0.03007027	0.03011942	0.00004915
7	0.02917987	0.02913199	0.00004788
8	0.02811435	0.02817693	0.00006258
9	0.02728957	0.02725318	0.00003639
10	0.02628567	0.02635971	0.00007405
11	0.02551993	0.02549554	0.00002439
12	0.02457633	0.02465970	0.00008337
13	0.02386341	0.02385126	0.00001215
14	0.02297890	0.02306932	0.00009042
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

 

Таблица 6. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p0> 0, pN< 0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.00379722	0.00375311	0.00004410
1	0.00328998	0.00328462	0.00000536
2	0.00291427	0.00287461	0.00003966
3	0.00250378	0.00251579	0.00001200
4	0.00225176	0.00220175	0.00005001
5	0.00190450	0.00192691	0.00002241
6	0.00172045	0.00168638	0.00003407
7	0.00145947	0.00147588	0.00001640
8	0.00129005	0.00129165	0.00000159
9	0.00109247	0.00113042	0.00003795
10	0.00092289	0.00098931	0.00006642
11	0.00074314	0.00086582	0.00012268
12	0.00056520	0.00075774	0.00019254
13	0.00038370	0.00066315	0.00027946
14	0.00020306	0.00058037	0.00037731
15	0.00002275	0.00050793	0.00048518

 

Текст программы смотри в приложении 2

Трехточечная схема с весом

Разностная схема для нашей задачи ((1)-(3)) имеет вид:

 

 (0)

Уравнение (0) приведем к виду

  (1)

 

Из уравнения (1) находим коэффициенты

 

, , ,

.

1) P₀> 0, P_N> 0 y_N^j+1 = м₂^j+1 → A_N =0, C_N=1, F_N = м₂^j+1

 

 (1.0)

 

Уравнение (1.0) приводим к виду

(1.1)

 

Из уравнения (1.1) находим

 

, ,

.

 

2) P ₀ < 0, P_N < 0 y₀^j+1 = м₁^j+1 → B ₀ =0, C ₀ =1, F ₀ = м₁ ^{j +1}

. (2.0)

 

Уравнение (2.0) приводим к виду

  (2.1)

 

Из уравнения (2.1) находим  , ,

.

3) P ₀ < 0, P_N > 0

 

y₀^j+1 = м₁^j+1 → B ₀ =0, C ₀ =1, F ₀ = м₁ ^{j +1} ,

y_N^j+1 = м₂^j+1 → A_N=0, C_N=1, F_N= м₂^j+1.

4) P₀> 0, P_N< 0

 

B₀ =0, C₀=1, F₀= м₁^j+1

A_N =0, C_N =1, F_N = м₂ ^{j +1}

 

Таблица 7. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p0> 0, pN> 0---------------kogda G=1
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.36842774	0.36787944	0.00054830
1	0.35627966	0.35581892	0.00046075
2	0.34461653	0.34415379	0.00046275
3	0.33324870	0.33287108	0.00037762
4	0.32234219	0.32195827	0.00038392
5	0.31170418	0.31140322	0.00030095
6	0.30150555	0.30119421	0.00031134
7	0.29155019	0.29131989	0.00023030
8	0.28201389	0.28176929	0.00024460
9	0.27269705	0.27253179	0.00016526
10	0.26378042	0.26359714	0.00018329
11	0.25506082	0.25495540	0.00010543
12	0.24672399	0.24659696	0.00012703
13	0.23856301	0.23851255	0.00005045
14	0.23076867	0.23069318	0.00007549
15	0.22313016	0.22313016	0.00000000

 

Таблица 8. Численное решение уравнения переноса на с переменнми коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p0> 0, pN> 0---------------kogda G=0.5
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.22317966	0.36787944	0.14469979
1	0.32550240	0.35581892	0.03031652
2	0.21980791	0.34415379	0.12434588
3	0.32390953	0.33287108	0.00896156
4	0.17318247	0.32195827	0.14877580
5	0.30172608	0.31140322	0.00967714
6	0.15878469	0.30119421	0.14240953
7	0.28118803	0.29131989	0.01013186
8	0.16595060	0.28176929	0.11581869
9	0.25958363	0.27253179	0.01294816
10	0.10012442	0.26359714	0.16347272
11	0.23108668	0.25495540	0.02386872
12	0.10648083	0.24659696	0.14011613
13	0.24403326	0.23851255	0.00552071
14	0.10163574	0.23069318	0.12905744
15	0.22313016	0.22313016	0.00000000

 

Таблица 9. Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p0< 0, pN< 0--------------- kogda G=1
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.36787944	0.36787944	0.00000000
1	0.35801340	0.35581892	0.00219448
2	0.36845033	0.34415379	0.02429654
3	0.35906842	0.33287108	0.02619734
4	0.37000945	0.32195827	0.04805117
5	0.36101823	0.31140322	0.04961501
6	0.37246014	0.30119421	0.07126592
7	0.36379087	0.29131989	0.07247098
8	0.37571304	0.28176929	0.09394375
9	0.36731988	0.27253179	0.09478809
10	0.37968642	0.26359714	0.11608928
11	0.37154421	0.25495540	0.11658881
12	0.38430710	0.24659696	0.13771013
13	0.37640856	0.23851255	0.13789601
14	0.38951172	0.23069318	0.15881854
15	0.38186439	0.22313016	0.15873423

 

Таблица 10 Численное решение уравнения переноса с переменными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p0< 0, pN< 0---------------
kogda G=0, 5 50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.36787944	0.36787944	0.00000000
1	0.31801913	0.35581892	0.03779978
2	0.36478621	0.34415379	0.02063242
3	0.34573407	0.33287108	0.01286299
4	0.36983022	0.32195827	0.04787195
5	0.36678412	0.31140322	0.05538090
6	0.34570117	0.30119421	0.04450696
7	0.34004986	0.29131989	0.04872997
8	0.33360167	0.28176929	0.05183238
9	0.35119193	0.27253179	0.07866014
10	0.35046403	0.26359714	0.08686690
11	0.35792253	0.25495540	0.10296714
12	0.36451445	0.24659696	0.11791748
13	0.35527614	0.23851255	0.11676359
14	0.38271932	0.23069318	0.15202614
15	0.39593489	0.22313016	0.17280473

 

Текст программы смотри в приложении 3

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: