Синтез передаточной функции цифрового регулятора

 

Аппроксимируем передаточную функцию регулятора заменой операции дифференцирования на первую разность :

 

;

;

. (2.9)

 

где  - период дискретизации.

Обозначим:

 

; (2.10)

.

 

С учетом выражений (2.10) дискретная передаточная функция регулятора:

 

.

 

Период дискретизации  принимаем равным периоду следования импульсов опорной частоты Т_оп.

Структурная схема электропривода с цифровым регулятором приведена на рисунке 2.6.

Фазовый портрет работы электропривода, а так же графики изменения ошибок по углу  и скорости , с цифровым регулятором приведены на рисунках 2.5 и 2.7 соответственно.

При моделировании использовались те же исходные данные, что и с аналоговым регулятором и период квантования =10^-3 (с).

Это соответствует частоте исследования опорных импульсов (Гц).

 

Рисунок 2.5 - Фазовый портрет работы электропривода с цифровым регулятором.

 

Рисунок 2.6 - Структурная схема модели электропривода с цифровым регулятором, реализованная в MatLab

 

Рисунок 2.7 - Графики изменения ошибок по углу и скорости электропривода с цифровым регулятором.

Проведение параметрической оптимизации коэффициентов цифрового регулятора

 

Из теории автоматического управления известно, что любая цифровая система является лишь приближением аналоговой и ее поведение стремится к поведению аналоговой системы с некоторой степенью точности.

Однако в [8] указывается, что при больших тактах квантования у цифровых систем проявляется свойства, отличные от свойств аналоговых. То есть при аппроксимации линейного регулятора с относительно большим тактом квантования, можно получить цифровой регулятор с оптимизацией параметров которого можно добиться переходный процесс с меньшими и σ.

Для проведения параметрической оптимизации коэффициентов регулятора был применен метод проб и ошибок [8]. Данный метод заключается в последовательном изменении, значений параметров регулятора от малых начальных значений до тех пор, пока процесс в замкнутой системе не приобретет значительной колебательности. После этого следует понемногу уменьшать значения параметров. Использование данного метода обосновано простотой моделирования процессов в электроприводе на ЭВМ. В результате оптимизации выяснилось следующее: при изменении коэффициентов q₀ и q₁ в числителе передаточной функции регулятора система становится неустойчивой, что проявляется в монотонном нарастании ошибки по углу и скорости; при изменении коэффициента q₂ в знаменателе от 50 до 120% от рассчитанного значения, характер переходного процесса изменяется от апериодического к колебательному. В качестве критериев оптимизации выступает время регулирования  и средний квадрат ошибки управления

 

. (2.10)

 

где: М - число тактов квантования, на рассматриваемом участке.

Результаты моделирования при изменении коэффициента q₂ от 50 до 120% сведены в таблице 2.1 Графики зависимости времени регулирования и среднего квадрата ошибки от коэффициента q₂ приведены на рисунках 2.8 и 2.9 соответственно.

Таблица 2.1 - Зависимости времени регулирования t_р и среднего квадрата ошибки  от параметра q₂.

Значение коэффициента , %	Средний квадрат ошибки	Время регулирования (вхождение в зону φ 0/100), с
50	1, 4064∙ 10-9	0, 0458
52	1, 3516∙ 10-9	0, 0447
54	1, 2997∙ 10-9	0, 0435
56	1, 2505∙ 10-9	0, 0423
58	1, 2041∙ 10-9	0, 041
60	1, 1604∙ 10-9	0, 0395
62	1, 1196∙ 10-9	0, 038
64	1, 0815∙ 10-9	0, 0362
66	1, 0462∙ 10-9	0, 0342
68	1, 0137∙ 10-9	0, 0319
70	9, 8394∙ 10-10	0, 0291
72	9, 5698∙ 10-10	0, 0258
74	9, 3281∙ 10-10	0, 022
76	9, 1142∙ 10-10	0, 0183
78	8, 9281∙ 10-10	0, 0155
80	8, 7698∙ 10-10	0, 0136
82	8, 6393∙ 10-10	0, 0123
84	8, 5366∙ 10-10	0, 0255
86	8, 4618∙ 10-10	0, 0301
88	8, 4147∙ 10-10	0, 0331
90	8, 3954∙ 10-10	0, 0354
92	8, 404∙ 10-10	0, 0372
94	8, 4403∙ 10-10	0, 0388
96	8, 5045∙ 10-10	0, 0401
98	8, 5965∙ 10-10	0, 0413
100	8, 7162∙ 10-10	0, 0423
102	8, 8638∙ 10-10	0, 0432
104	9, 0392∙ 10-10	0, 044
106	9, 2424∙ 10-10	0, 0448
108	9, 4734∙ 10-10	0, 0454
110	9, 7322∙ 10-10	0, 046
112	1, 0019∙ 10-9	0, 0465
114	1, 0333∙ 10-9	0, 047
116	1, 0676∙ 10-9	0, 0475
118	1, 1046∙ 10-9	0, 0479
120	1, 1443∙ 10-9	0, 0482

 

Рисунок 2.8 - График зависимости среднего квадрата ошибки  от коэффициента q₂.

 

Рисунок 2.9 - График зависимости времени регулирования t_р от коэффициента q₂.

 

Из полученных графиков видно, что оптимальный режим работы электропривода обеспечивается при 0, 82q₂.

При этом время регулирования равно  (с), средний квадрат ошибки .

Графики переходного процесса по  и , а так же фазовый портрет работы электропривода после оптимизации коэффициентов приведены на рисунках 2.10 и 2.12 соответственно.

 

Рисунок 2.10 - Фазовый портрет работы электропривода с цифровым регулятором после проведения параметрической оптимизации.

Анализ устойчивости системы

 

Проведем анализ устойчивости электропривода с разработанным цифровым регулятором.

Дискретная передаточная функция объекта управления [8]

 

. (2.11)

 

Структурная схема электропривода в дискретной форме приведена на рисунке 2.11.

 

Рисунок 2.11 - Структурная схема электропривода в дискретной форме.

 

Рисунок 2.12 - Графики изменения ошибок по углу и скорости привода с цифровым регулятором после проведения параметрической оптимизации коэффициентов регулятора.

 

Передаточная функция замкнутой системы (рисунок 2.11)

 

. (2.12)

 

Характеристический полином замкнутой системы

 

=0. (2.13)

 

Для проведения анализа устойчивости системы воспользуемся методом билинейного преобразования, применив подстановку

 

, (2.14)

 

в характеристическое уравнение замкнутой системы

 

. (2.15)

 

Раскроем скобки и приведем подобные

 

, (2.16)

. (2.17)

 

Так как билинейное преобразование для цифровых систем является аналогом преобразования Лапласа для линейных систем, то к полученному полиному можно применить критерий Гурвица. Так как полином имеет второй порядок, то нет необходимости находить определители Гурвица. Система будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения будут положительны. В данном случае видно, что коэффициенты характеристического полинома (2.17) положительны, следовательно, система устойчива.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: