Геометрические векторы и линейные операции над ними

Для математического описания пространства удобно пользоваться векторами. Этот объект достаточно прост и нагляден в чувственно воспринимаемом пространстве (где его называют геометрическим вектором) и вместе с тем пригоден для далеко идущих обобщений. Геометрическим вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничных точек является началом и какая концом [6].

Слово вектор происходит от латинского глагола vehere – перевозить, перемещать. Английское слово vehicle того же корня обозначает любое перевозочное средство от телеги до космического корабля (space vehicle) [5]. Геометрический вектор указывает прямолинейный переход из одной точки пространства в другую. Из такого представления естественно вытекает определение операции сложения векторов (рис. 1). Если выполнить переход из точки О в точку А, выражаемый вектором , а затем добавить к нему переход из точки А в точку S, выражаемый вектором , то результат двух переходов будет таким же, как прямолинейный переход из точки О в точку S, выражаемый вектором . Поэтому вектор s называют суммой векторов а и b и записывают операцию сложения векторов в виде алгебраического выражения

 

Рис. 1

 

 (2.1)

 

Такой способ построения суммы векторов называют правилом треугольника.

Два вектора считаются равными, если посредством параллельного переноса можно совместить точки их начала и конца соответственно. При таком определении равенства векторов становится безразлично, в какой точке приложен вектор (какова точка его начала), и возникает понятие свободного вектора. Свободный вектор не имеет определенной точки начала, и мы имеем право представлять его приложенным в любой точке пространства по своему желанию. Совмещая на рис. 1 начало свободного вектора b с началом вектора а, построим параллелограмм OASB, для которого суммарный вектор  является диагональю, исходящей из общего начала складываемых векторов. Такой способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Оба правила (треугольника и параллелограмма) выявляют важное свойство суммарного вектора – он лежит в одной плоскости с векторами-слагаемыми. Пользуясь латинским термином, говорят, что складываемые векторы и суммарный вектор компланарны («соплоскостны»). Для свободных векторов понятие компланарности расширяется: компланарные векторы могут и не лежать в одной плоскости, но существует плоскость, которой параллельны все они и в которую при желании их можно привести посредством параллельного переноса.

Частным случаем перехода из одной точки пространства в другую является отсутствие перехода. Тогда точка конца геометрического вектора совпадает с точкой его начала. Такой вектор называют нулевым и обозначают символом 0. Очевидно соотношение

 

 (2.2)

 

которое служит алгебраическим определением нулевого вектора.

Псевдоевклидова плоскость

Мир Минковского четырехмерен, но увеличение размерности – не самая главная трудность на пути овладения этим понятием. Гораздо труднее преодолеть барьер необычности метрических свойств пространства Минковского. На первый взгляд они кажутся фантастическими. И если даже математика ручается за их логическую непротиворечивость, остается впечатление, что здесь речь идет о такой математической абстракции, которой нет места в природе. Репутация нереальности метрики мира Минковского тесно связана с сохраняющимся в качестве пережитка представлением о нереальности комплексных чисел, чему сильно способствует и терминология («мнимые» числа). Вот почему необходим небольшой экскурс в эту область.

На протяжении истории науки понятие числа развивалось, приобретая все большую общность. И теперь каждому человеку при получении математического образования приходится в сжатом виде повторять этот процесс расширения понятия числа.

В простейшем представлении число есть количество предметов. Такому представлению соответствует понятие натурального числа (целого положительного). Множество N натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это значит, что, складывая или перемножая любые натуральные числа, мы необходимо будем получать в результате натуральные числа, т.е. не выйдем из множества N.

Операция деления натуральных чисел может привести к дроби, которая не является натуральным числом. Признание дробей числами не вызывало затруднений даже в древние времена. Этот выход за пределы множества N заставил расширить понятие числа. Числом стали называть не только количество предметов, но и отношение количеств.

Несравненно медленнее и труднее формировалось в науке понятие отрицательного числа. Сталкиваясь с необходимостью вычитать из меньшего числа большее, древние математики истолковывали решение как недостаток некоторого количества, но само это количество выражали положительным числом. У них не было числа, которым можно выразить результат такого, например, действия: 2–5 =… И когда они получали при решении уравнения отрицательный корень, то просто отбрасывали его как «недопустимый». «В Европе математики XVI в., хотя и пользовались иногда отрицательными числами, все же называли их «ложными» и «неясными», «меньше, чем ничто» и т.п.» [2]. Лишь в XVII в., после того как Декарт ввел в употребление координатные системы и установил взаимно однозначное соответствие между числами и точками координатной оси, в математике окончательно утвердилось представление о равноправии положительных и отрицательных чисел. Сложилось понятие рационального числа как отношения любых целых чисел т та п. Множество Q рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, умножения и деления.

Так потребность в увеличении набора операций, которые можно выполнять над числами, приводила к обобщению понятия числа. Сталкиваясь с задачами, решение которых не могло быть выражено числом в прежнем, узком его понимании, математики приходили к расширению множества объектов, заслуживающих названия числа, формировали новое, более емкое определение числа, включающее в себя и такие числа, которые считались прежде несуществующими или по крайней мере неполноценными. Объективная значимость нового, расширенного понятия числа заключается в том, что с его помощью удается более полно и логически непротиворечиво выражать отношения, существующие в природе.

Точки координатной оси, которым соответствуют рациональные числа, расположены всюду плотно. Это значит, что, сколь бы малый отрезок оси мы ни взяли, на нем найдется бесконечно много точек, служащих образами рациональных чисел. Вместе с тем на любом отрезке координатной оси имеется бесконечно много таких точек, которые не являются образами рациональных чисел. Классическим примером тому, поразившим древних математиков, является задача о сравнении длин стороны квадрата и его диагонали.

Выберем на прямой линии единицу измерения и построим квадрат ОАВС со стороной, равной этой единице. Отложив длину диагонали ОВ на координатной оси, получим отрезок OD (рис. 2). Его длина, очевидно, должна равняться отношению длин отрезков ОB и ОА:

Между тем это отношение отрезков не может быть выражено никаким отношением целых чисел, т.е. никаким рациональным числом. Действительно, по теореме Пифагора имеем

Если допустить, что существуют такие целые числа m и n, отношение которых равно длине отрезка OD, выраженной в единицах :

то придем к противоречию. Мы вправе считать, что числа m и n не имеют общих множителей (при наличии общего множителя можно произвести сокращение на него и в дальнейшем рассматривать уже несократимую дробь). Кроме того, , т.е.  не является целым числом, так как из неравенства  следует . Возводя равенство  в квадрат, мы

 

Рис. 2

 

получили бы . Но числа  и  не имеют общих множителей, поскольку их не имеют числа  и n, причем . Значит,  – несократимая дробь, которая не может равняться целому числу 2. Мы доказали, что не существует такого рационального числа, квадрат которого был бы равен 2 [1].

Если считать, что числа могут быть только рациональными, то нельзя выполнять операцию извлечения квадратного корня да числа 2 и символ  следует признать лишенным смысла. Он обозначает нечто «потустороннее», не имеющее места в множестве чисел (рациональных чисел). Но такая точка зрения не согласуется с геометрическим содержанием рассмотренной задачи.

Ведь символ  в данном случае выражает вполне реальную геометрическую величину – длину диагонали квадрата, сторона которого принята за единицу. Точка D (см. рис. 2), отстоящая на расстоянии этой длины от точки О, реально существует на координатной прямой ОА. Положение этой точки может быть указано приближенно с любой точностью посредством рациональных чисел, которые соответствуют границам сколь угодно малого отрезка, содержащего в себе точку D.

Немаловажно и следующее обстоятельство. Пусть  есть только символ, которому не соответствует число (в смысле определения рационального числа). Но в ряде случаев операции над такими «потусторонними» объектами, выполняемые по правилам оперирования «настоящими» числами, могут приводить к вполне посюстороннему результату – рациональному числу. Например,

.

Подобные соображения настоятельно склоняли математиков к мысли, что символам ,  и т.д. соответствуют некоторые реальные числа, хотя они и не могут быть выражены в виде отношения целых чисел. Удивление перед этими «невыразимыми» числами отразилось в их названии – иррациональные числа, т.е. числа, не поддающиеся разумному истолкованию (racio – разум). Именно, в противовес иррациональным числам, числа, которые могут быть выражены в виде отношения целых чисел, получили название рациональных.

К концу XIX в. была построена теория, истолковывающая рациональные и иррациональные числа с единой точки зрения (теория сечений Дедекинда) [15]. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется множеством вещественных (или действительных) чисел R. Каждому вещественному числу соответствует определенная точка на координатной оси, и каждой точке координатной оси соответствует определенное вещественное число.

Проблемы становления понятия вещественного числа поучительны для постижения еще более широкого представления о числе, каковым является число комплексное. Необходимость введения комплексных чисел связана с потребностью выразить результаты определенных операций над вещественными числами, не являющиеся вещественными числами. Не существует такого вещественного числа, квадрат которого был бы отрицательным числом. Поэтому в множестве вещественных чисел R нет квадратных корней (а следовательно, и корней любой четной степени) из отрицательных вещественных чисел. Так как квадрат любого вещественного числа  есть неотрицательное число , символ  удобно применять для обозначения любого отрицательного вещественного числа. Задача извлечения квадратного корня из числа  сводится к задаче извлечения квадратного корня из отрицательной единицы:

.

От Леонарда Эйлера идет обычай обозначать символ  буквой  (начальной буквой французского слова imaginaire – мнимый, воображаемый):

 

 (2.3)

 

Этот символ называют мнимой единицей. Тогда для квадратного корня из произвольного отрицательного вещественного числа получаем обозначение

 

, (2.4)

 

называемое «мнимым числом ».

В этом названии отразилось то представление, что корень квадратный из отрицательного числа не является числом в «реальном» смысле, что с символом если и связывается какое-либо понятие о числе, то о числе «не настоящем», «выдуманном», «в действительности не существующем». «Выдумка» в данном случае отстоит гораздо дальше от «реальности», подтверждаемой внешней видимостью, чем выдумка иррациональных чисел.

Каждому иррациональному числу, по крайней мере, соответствует определенная точка на координатной оси, а для мнимого числа не удается найти никакого геометрического истолкования или применения. Длины любых отрезков в чувственно воспринимаемом пространстве выражаются вещественными числами, и нет такого отрезка, для выражения длины которого потребовалось бы мнимое число.

Однако у мнимых чисел есть та важная, общая с иррациональными числами черта, что в некоторых случаях операции над символом iy, который не выражает вещественного числа, приводят все-таки к вещественным числам. Это, прежде всего операция возведения любого мнимого числа в квадрат:

 

. (2.5)

 

И более сложные выражения, составленные из мнимых величин, могут сводиться к функциям вещественного аргумента, принимающим вещественное значение. Например, если с учетом (2.5) сложить два бесконечных степенных ряда

 

,

то получится ряд, состоящий только из вещественных членов, сходящийся к функции 2 cos у:

По мере того как углублялось исследование мнимых чисел и функций от мнимого аргумента, раскрывалась их важная роль в решении коренных теоретических проблем математики, а также прикладных задач. Все настоятельнее пробивало себе дорогу убеждение в противоестественности отношения к мнимому числу как к не реальному, «потустороннему» математическому объекту.

Даже в простейших задачах можно усмотреть признаки того, что мнимое число в органическом единстве с числом вещественным представляет некий аспект более глубокого и совершенного понятия числа.

Рассмотрим проблему существования решений некоторых квадратных уравнений. Если в уравнении

 

 (2.6)

 

дискриминант  отрицателен, то в множестве вещественных чисел R не найдется корней этого уравнения. В общем случае их нет и среди мнимых чисел, а лишь специфическое сочетание вещественных и мнимых чисел позволяет дать выражение корню. Например, применяя формулу решения квадратных уравнений

 

 (2.7)

 

к уравнению

 

 (2.8)

получим

 

 (2.1.9)

 

Подставляя любое из этих выражений в уравнение (2.8) и выполняя действия обычным образом с учетом (2.5), придем к верным числовым равенствам:

Таким образом, есть основания считать выражения 2+3i и 2–3i корнями уравнения (2.8), хотя и нелегко понять, что они означают.

Операция сложения применяется в математике для весьма разнообразных классов объектов: вещественных чисел, векторов, матриц, операторов и т.д., но в каждом случае в роли слагаемых и суммы выступают элементы одинаковой природы. Не так получается с корнями уравнения (2.8). По смыслу общей формулы корней квадратного уравнения, каждый корень является суммой двух членов. Но если дискриминант отрицателен, второй член оказывается мнимым числом, тогда как первый член – число вещественное. Непонятно, как можно складывать столь различные объекты и что представляет собой их сумма, не являющаяся ни вещественным, ни мнимым числом. Впрочем, именно эта непонятная сумма и дает ключ к решению проблемы. Во-первых, с ней необходимо считаться, поскольку она выражает корни квадратного уравнения. Во-вторых, она объединяет в себе оба типа чисел – и вещественные, и мнимые. Так, может быть на вещественные и мнимые числа и следует смотреть как на составные части более сложного числового объекта? В отрыве друг от друга каждая из них имеет лишь ограниченное применение, а в едином комплексе они образуют более полноценное понятие числа. Если в таком комплексном числе мнимая составляющая равна нулю, мы воспринимаем число как вещественное, а если нулю равна вещественная составляющая, то мы воспринимаем комплексное число как мнимое. При сложении комплексных чисел отдельно складываются их вещественные компоненты и мнимые. Исторически сложился обычай обозначать мнимую компоненту с помощью множителя . При такой трактовке проблемы мы получаем вместо бессмысленного сложения вещественного числа мнимым сложение двух комплексных чисел (объектов одинаковой природы) и в качестве суммы их – тоже комплексное число:

В записи комплексного числа знак плюс (минус) перед мнимой компонентой отнюдь не означает, что не нужно прибавлять (вычитать) к вещественной компоненте. Просто это собственный знак мнимой компоненты, которая может быть положительной или отрицательной. Чтобы избавиться от иллюзии, будто вещественная и мнимая компоненты комплексного числа складываются, можно записывать их, разделяя точкой с запятой. Заодно можно отказаться и от символического множителя  при мнимой компоненте. Достаточным признаком различий вещественной и мнимой составляющих послужит их paс положение в записи комплексного числа – на первом месте вещественная, а на втором мнимая.

 

 (2.10)

 

Именно такая форма записи принята в современной теории комплексных чисел, хотя в практике вычислений сохраняется и исторически сложившаяся алгебраически форма . Если требуется указать комплексное число как единый объект, не различая в нем вещественную и мнимую компоненты, то пользуются однобуквенным обозначением

 

 (2.11)

Запишем в этих обозначениях правило сложения комплексных чисел:

 

 (2.12)

 

Когда мы убеждались в том, что комплексные числа и  являются корнями квадратного уравнения (2.8), то перемножали комплексные числа (возводили в квадрат) по обычному правилу умножения многочленов с учетом соотношения . В общем виде это выглядит так:

Если же записывать комплексные числа не в алгебраической форме, а в виде упорядоченных пар чисел, то правило умножения примет вид

 

 (2.13)

 

Это выражение нетрудно запомнить в следующей формулировке: первая компонента произведения равна разности произведений предшествующих членов  комплексных сомножителей, записанных рядом, и последующих их членов , а вторая компонента равна сумме произведений внешних членов и внутренних .

Мы описали подход к понятию комплексного числа и арифметическим действиям с комплексными числами в качестве догадки, которая возникает при рассмотрении частной задачи решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. В определение комплексных чисел органически включается определение операций над ними: комплексные числа z представляют собой упорядоченные пары вещественных чисел , которые складываются по правилу (2.12) и перемножаются по правилу (2.13). Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.

Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются как обратные операциям сложения и умножения. Разностью чисел  и  называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению

Отсюда следует

 

 (2.14)

 

Частным от деления  на , , называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению . Из этого условия нетрудно найти

 

 (2.15)

 

Исходя из определения комплексных чисел и операций над ними, убедимся в том, что комплексные числа, у которых вторая компонента равна нулю, ведут себя в операциях так же, как вещественные числа:

Результатами всех этих операций являются комплексные числа, у которых вторая компонента тоже равна нулю. Отбросив ее всюду, мы получим обычные однокомпонентные вещественные числа с привычными операциями над ними. Поэтому комплексное число с нулевой второй компонентой позволительно для краткости называть вещественным числом (понимая условность этого выражения). В множестве комплексных чисел есть такое число, квадрат которого равен вещественному числу -1, т.е. комплексному числу (–1; 0). Согласно правилу умножения (2.13) имеем

(0; 1) (0; 1) = (0 • 0 – 1 • 1; 0 • 1 + 1 • 0) = (-1; 0).

Значит, комплексное число (0; 1) и есть тот математический объект, который скрывался за символом . Всякое комплексное число, у которого равна нулю первая компонента, даст при возведении в квадрат отрицательное вещественное число:

(0; y) (0; y) = (0 • 0-y • y; 0 • у + у • 0) = (-y ²; 0).

Значит, комплексное число (0; у) и есть тот математический объект, который скрывался за символом . Поэтому комплексное число с нулевой первой компонентой позволительно для краткости называть мнимым числом (помня об условности этого выражения). Всякое комплексное число такого типа может быть представлено в виде произведения соответствующего вещественного числа на мнимую единицу:

(y; 0) (0; 1) = (y • 0 – 0 • 1; y • 1 + 0 • 0) = (0; y)=yi.

Наконец, оперирование с комплексными числами подтверждает, что произведение вещественного числа на мнимое есть число мнимое:

(u; 0) (0; y) = (u • 0 – 0 • y; uy + 0 • 0) =

= (0; uy)=u(iy)=i(uy).

Пока математика не осознала роль комплексного числа как более общего и глубокого понятия числа, считалось, что символу  не соответствует никакое «настоящее» число, что это число воображаемое, мнимое. Инерция мышления и то обстоятельство, что вплоть до начала XX в. в природе не были обнаружены отношения, требующие для своего выражения комплексных чисел, заставляли относиться к этим объектам как к искусственному математическому ухищрению, способному, как ни странно, приводить к правильным реальным результатам. В наше время общетеоретические представления, использование комплексных чисел для выражения фундаментальных физических законов (в квантовой механике и теории относительности), а также для решения многочисленных прикладных задач убедительно обосновывают реальную полноценность комплексных чисел. В этих условиях термин «мнимое число» можно сохранять как дань исторической традиции, как привычное название определенного подмножества комплексных чисел (с нулевой первой компонентой), но совершенно недопустимо истолковывать его как условное обозначение выдуманного объекта, которому нет места в объективной, реальности. Приведем в этой связи слова известного советского алгебраиста А.Г. Куроша: «…для современной математики, в отличие, например, от математики XVIII в., в понятии комплексного числа нет ничего таинственного, эти числа являются столь же мало «мнимыми», как и числа отрицательные или числа иррациональные» [8].

В связи с тем, что множество С комплексных чисел имеет большую мощность, чем множество R вещественных чисел, и остается замкнутым относительно большего числа операций, в множестве С оказываются определенными такие функции, которые не имеют смысла в множестве R. Прежде всего в множестве С определены корни любой целой степени из всех комплексных (в частности, из вещественных и мнимых) чисел. С этим связан важнейший теоретический результат – так называемая основная теорема алгебры: всякий многочлен степени  с любыми числовыми коэффициентами имеет n корней. Если бы это было не так, то множество комплексных чисел нуждалось бы в дальнейшем расширении. В множестве вещественных чисел нет логарифмов отрицательных чисел. В множестве С определены логарифмы и отрицательных (вещественных, и любых комплексных чисел (кроме нуля). Основные элементарные функции – степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические – имеют смысл в множестве комплексных чисел С. Это значит, что аргумент названных функций может быть комплексным числом и сами функции принимают комплексные значения (в частных случаях – вещественные или мнимые).

Известный современный математик Е. Вигнер пишет в статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» [3]: «Неискушенному уму комплексные числа не покажутся естественными и простыми а результаты физических наблюдений сами по себе не могут содержать комплексные числа… Ничто в нашем повседневном опыте не вынуждает нас вводить такие числа. С другой стороны, если у математика попросить объяснить его интерес к комплексным числам, то он не без негодования укажет вам на прекрасные теоремы, касающиеся алгебраических уравнений, степенных рядов и вообще аналитических функций, доказательство которых стало возможным только благодаря введению комплексных чисел. Математиков никогда не перестанет интересовать это прекрасное достижение их гения…».

Был бы весьма эклектичным в наше время такой взгляд, будто комплексные числа при всех их достоинствах в области математики являются абстракцией, не имеющей реального существования вне сознания математиков. Естествознание прошлого века, и в первую очередь физика, имели дело с таким уровнем познания явлений природы, что для их математического описания достаточно было одних вещественных чисел. Более глубокий взгляд современной физики обнаруживает в природе отношения, выражаемые на языке комплексных чисел. Это именно то, чего не хватало прежде для осознания реальности комплексных чисел. В цитированной выше статье [3] Е. Вигнер замечает, что «использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики». Другое направление физики XX в. – теория относительности – также не обходится без комплексных чисел, о чем и пойдет речь ниже.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: