Трехмерное псевдоевклидово пространство

До сих пор мы рассматривали мир Минковского в плоском сечении, что позволило упростить математический аппарат и представить в наиболее наглядной форме геометрическую интерпретацию эффектов специальной теории относительности. Однако такое упрощение обедняло картину мира. Чтобы понять, почему мировое пространство кажется нам трехмерным и собственно евклидовым, необходимо перейти к четырехмерной модели мира Минковского, но прежде рассмотрим в качестве промежуточной ступени трехмерное псевдоевклидово пространство.

Трехмерное псевдоевклидово пространство является разновидностью трехмерного линейного пространства. Вспомним, что линейное пространство обладает метрическими свойствами, если в нем определена операция скалярного умножения его элементов. Метрические свойства пространства могут быть исчерпывающе характеризованы метрическими отношениями между векторами базиса. Для того чтобы метрические свойства линейного пространства были псевдоевклидовыми, в базисе пространства должны быть как векторы вещественной длины, так и векторы мнимой длины. Для трехмерного пространства это условие может быть выполнено двумя способами:

1) два базисных вектора имеют вещественную длину, а третий – мнимую;

2) одни базисный вектор имеет вещественную длину, а два – мнимую.

По существу оба варианта дают одинаковый тип метрических отношений. Достаточно во втором варианте умножить длины всех базисных векторов на мнимую единицу, чтобы свести его к первому варианту. По той же причине пространство, в котором все три базисных вектора имеют мнимую длину, обладает метрическими свойствами собственно евклидова пространства.

Итак, на основе трехмерного линейного пространства может быть построен по существу только один тип псевдоевклидова пространства. Мы будем описывать его с помощью ортонормированного базиса, характеризуемого следующей таблицей скалярных произведений:

 

 (2.18)

 

Таблица (2.18) означает, что векторы  и  являются вещественно-единичными:

а вектор – мнимоединичным:

и любые два вектора базиса , ,  взаимно перпендикулярны.

Ортонормированный базис , ,  в сочетании с фиксированной точкой О (полюсом) образует трехмерную ортонормированную систему координат OXYZ (рис. 4). Координатная плоскость OXY имеет базис, состоящий только из векторов вещественной длины ,  и несет на себе собственно евклидову метрику. В координатных плоскостях OXZ и OYZ один из базисных векторов ( ) имеет длину, выражаемую мнимым числом, и эти плоскости несут на себе псевдоевклидову метрику.

Запишем разложения произвольных векторов а и b трехмерного псевдоевклидова пространства по ортонормированному базису:

 

 (2.19)

 

и вычислим скалярное произведение  с учетом таблицы (2.18):

 

 (2.20)

 

Применяя формулу (2.20) к скалярному произведению вектора на самого себя, найдем длину (модуль) вектора

 

 (2.21)

 

Координаты радиус-вектора  в ортонормированной системе координат OXYZ будем обозначать буквами х, у, z и называть их координатами точки М, указываемой радиус-вектором:

 

 (2.21)

 

Длина радиус-вектора, согласно (2.22), равна

 

 (2.23)

 

Она обращается в нуль, если координаты удовлетворяют условию

 

 или  (2.24)

 

Соотношение (2.24) определяет в трехмерном псевдоевклидовом пространстве геометрическое место точек, радиус-векторы которых являются изотропными. Это геометрическое место точек представляет собой уже не две прямые, как в псевдоевклидовой плоскости, а поверхность. Такой поверхности нет в собственно евклидовом трехмерном пространстве. Для того чтобы придать хотя бы условную наглядность описанию метрических свойств трехмерного псевдоевклидова пространства, мы будем отображать его на трехмерное собственно евклидово пространство, пользуясь совпадением линейных свойств этих пространств. Если каждой точке с координатами х, у, z в псевдоевклидовом пространстве мы поставим в соответствие точку с такими же координатами в пространстве собственно евклидовом, то получим взаимно однозначное отображение одного пространства на другое с сохранением линейных свойств. Именно такое отображение представлено на рис. 4. Метрические свойства псевдоевклидова пространства могут быть переданы в этом отображении лишь условно. Уравнению (2.24), определяющему множество изотропных; радиус-векторов в псевдоевклидовом пространстве, соответствует в собственно евклидовом пространстве, отнесенном к ортонормированной системе координат, поверхность прямого кругового конуса с осью OZ. Поэтому и саму отображаемую поверхность (2.24) в псевдоевклидовом пространстве называют конусом, а именно изотропным конусом.

 

Рис. 4.

 

Внутренняя область изотропного конуса (2.24), т.е. область, содержащая ось OZ, описывается неравенством

 

 или  (2.25)

 

Длина любого радиус-вектора, принадлежащего внутренней области изотропного конуса, выражается мнимым числом. Внутренняя область состоит из двух полостей. Ту полость, точки которой имеют положительную аппликату (z > 0), мы будем называть верхней полостью.

Внешняя область изотропного конуса (2.24) описывается неравенством

 или  (2.26)

 

Длина любого радиус-вектора, принадлежащего внешней области изотропного конуса, выражается вещественным числом.

Соотношения (2.24), (2.25), (2.26) служат классифицирующими признаками, по которым любые векторы трехмерного псевдоевклидова пространства относятся к одному из трех типов. Если вектор

где бы ни находилась точка его начала, коллинеарен некоторому изотропному радиус-вектору  ( ), то координаты вектора а удовлетворяют соотношению типа (2.24):

и вектор а является изотропным. Аналогично, о всяком векторе, коллинеарном какому-нибудь радиус-вектору внутренней области изотропного конуса (2.24), мы будем говорить, что он принадлежит внутренней области (модуль такого вектора выражается мнимым числом). Всякий вектор, модуль которого выражается вещественным числом, мы будем называть принадлежащим внешней области изотропного конуса.

В трехмерном псевдоевклидовом пространстве, как и в пространстве собственно евклидовом, плоскость однозначно определяется нормалью к ней и точкой, принадлежащей плоскости. Рассмотрим множество всех радиус-векторов , перпендикулярных к вектору а. Оно описывается уравнением

 

 (2.28),

 

которое в координатной форме, согласно (2.20), принимает вид

 (2.29)

 

В собственно евклидовом трехмерном пространстве уравнению (2.29) соответствует плоскость, проходящая через начало координат. Но принадлежность множества точек к одной плоскости является линейным свойством пространства, а линейные свойства у собственно евклидова и псевдоевклидова пространств одинаковы. Значит, точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (2.29), лежат в одной плоскости и в псевдоевклидовом пространстве. Это и есть плоскость, проходящая через начало координат перпендикулярно к вектору а.

Если вектор а принадлежит внутренней области изотропного конуса, т.е. для его координат выполняется условие

 

или  (2.30)

 

то все перпендикулярные к а радиус-векторы имеют длины, выражаемые вещественными числами, как нетрудно убедиться. Представим уравнение (4.29) в виде

 

 (2.31)

 

Это можно сделать, так как  (см. (2.30)). Подставив выражение (2.31) в (2.23), найдем длину радиус-вектора г произвольной точки плоскости (2.29):

 

 (2.32)

Условие (2.30), наложенное на вектор а, можно переписать в виде:

и получить из него равносильные неравенства

Внося эти неравенства в (2.31), найдем:

.

Поскольку выражение в скобках представляет вещественное число, квадрат его не может быть отрицательным числом. Следовательно,

Это означает, во-первых, что среди радиус-векторов , принадлежащих плоскости (2.27), нет таких, длина которых выражалась бы мнимым числом. Во-вторых, среди них нет таких ненулевых векторов, длина которых равнялась бы нулю, т.е. нет изотропных векторов. Таким образом, все ненулевые радиус-векторы точек плоскости (2.27) принадлежат внешней области изотропного конуса. Точка начала координат имеет нулевой радиус-вектор и принадлежит изотропному конусу. Поэтому она оказалась исключенной из множества точек, удовлетворяющих неравенству . Однако начало координат принадлежит плоскости (2.27), так как радиус-вектор  удовлетворяет уравнению этой плоскости. Итак, мы доказали, что для любого вектора а, принадлежащего внутренней области изотропного конуса, найдется перпендикулярная к нему плоскость, в которой нет ни векторов мнимой длины, ни изотропных векторов, а есть только векторы вещественной длины. Такая плоскость несет на себе собственно евклидову метрику.

Можно доказать, что плоскость несет на себе псевдоевклидову метрику, если нормаль к плоскости принадлежит внешней области изотропного конуса.

Плоскость, нормаль к которой является изотропным вектором, содержит в себе эту нормаль (изотропный вектор перпендикулярен сам себе) и оказывается касательной к изотропному конусу. Такую плоскость называют изотропной. Метрические свойства изотропной плоскости очень своеобразны, они отличаются как от собственно евклидовых, так и от псевдоевклидовых. Ортонормированная система координат в трехмерном псевдоевклидовом пространстве может быть выбрана более произвольно. Если иметь в виду физические приложения, следует выбирать мнимоединичный орт  так, чтобы он принадлежал верхней внутренней полости изотропного конуса. В собственно евклидовой плоскости, перпендикулярной к орту , можно выбрать произвольно два взаимно перпендикулярных орта и .

Так как длина каждого вектора трехмерного псевдоевклидова пространства – величина инвариантная, то свойство определенных ненулевых векторов иметь длину, равную нулю, не зависит от выбора системы координат. Значит, всякий вектор, являющийся изотропным в одной координатной системе, остается изотропным и в любой другой координатной системе. Поэтому изотропный конус является инвариантной конструкцией в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. Он обладает замечательным свойством: плоскость, перпендикулярная к любой прямой, принадлежащей внутренней области изотропного конуса, пересекается с этим конусом по обычной собственно евклидовой окружности. Рассмотрим две ортонормированные координатные системы OXYZ и OX'Y'Z' с общим началом в точке О. Изотропный конус с вершиной в точке О описывается в нештрихованной системе координат уравнением

Плоскость z = h, перпендикулярная к оси OZ, несет на себе собственно евклидову метрику и пересекается с изотропным конусом по кривой

которая является окружностью с центром на оси OZ. В штрихованной системе координат OX'Y'Z' этот же изотропный конус описывается уравнением .

Плоскость z' = h, перпендикулярная к оси OZ', тоже является собственно евклидовой плоскостью и пересекается с изотропным конусом по окружности

.

В собственно евклидовом пространстве конус, основанием которого служит круг, а вершина лежит на перпендикуляре к кругу, восстановленном из его центра, называется прямым круговым конусом. Упомянутый перпендикуляр является осью симметрии, и других осей симметрии прямой круговой конус не имеет. Прилагая этот образ к изотропному конусу, приходим к заключению, что всякая прямая, принадлежащая внутренней области изотропного конуса, является его осью симметрии. И подобно тому, как в двумерном псевдоевклидовом пространстве (плоскости) мы имеем право изобразить любую пару взаимно перпендикулярных прямых под углом  на собственно евклидовой плоскости рисунка, так в отображении трехмерного псевдоевклидова пространства на собственно евклидово трехмерное пространство мы имеем право изображать любую ось OZ в виде перпендикуляра к плоскости OXY, а изотропный конус – в виде прямого кругового конуса в этой системе координат.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: