Расчет матричных весовых и переходных функций

Цель работы

 

В данной лабораторной работе средствами пакета Matlab (c использованием его расширения – пакета моделирования динамических систем Simulink) должно быть выполнено моделирование линейной системы, зафиксированы процессы, соответствующие элементам матричной весовой и переходной функций и проведено их сравнение с аналитически полученными зависимостями. Структурная схема системы представлена на рис. 1.1, коэффициенты структурной схемы - в табл. 1.1. Номер варианта для бригады указывается преподавателем.

 

 

Расчет матричных весовых и переходных функций

Рис. 1.1. Структурная схема системы

 

Таблица 1.1 Значения параметров структурной схемы

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a1	0, 1	0, 1	3	0, 3	0, 4	0, 8	1	2	2	2
a2	0.1	0, 3	0, 2	0, 5	0, 6	1, 2	3	3	4	6
k1	0, 1	0, 015	0, 4	5	3	0, 48	1, 5	1	4	24
k2	0, 1	2	1	0, 03	0, 08	2	2	6	2	0, 5
Номер варианта	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
a1	3	0, 8	0, 9	0, 9	0, 9	1, 2	3	4	4	5
a2	7	0, 4	0, 5	0, 7	0, 9	1, 8	2	3	5	6
k1	0, 5	0, 5	2	0, 12	0, 5	0, 1	4	2	6	4
k2	42	0, 24	0, 025	0, 25	0, 02	1, 6	0, 5	3	2	5

 

Подготовительная часть работы

Составить векторно-матричное описание системы.

Вычислить передаточную функцию  (матрицу ) с использованием резольвенты матрицы динамики А:

 

где В-матрица входов; С – матрица выходов; I(p) – присоединенная матрица для матрицы А;  – характеристический полином матрицы А (I(p) и  могут быть определены по методу Фаддеева-Леверье).

Найти элементы матричной весовой функции по формуле

 

,

 

где  – элемент i‑ й строки и j‑ го столбца матричной весовой функции, интерпретируемый как реакция i‑ й координаты вектора выхода  на дельта-функцию в j‑ й координате вектора входа .

Вычислить матричную весовую функцию по формуле

 

,

 

где  и  – соответственно k‑ й правый и k‑ й левый собственные векторы матрицы А. Убедиться в идентичности результатов, полученных в пп. 1.2.2 – 1.2.3.

Вычислить элементы матричной переходной функции по формуле

 

,

 

где  – элемент i‑ й строки и j‑ го столбца матричной переходной функции, интерпретируемый как реакция i‑ й координаты вектора выхода  на единичную функцию в j‑ й координате вектора входа .

Программа работы

В ходе проведения лабораторной работы требуется в среде Matlab подготовить схему моделирования исследуемой системы, провести модельный эксперимент и зафиксировать его результаты.

Изучаемая в данной работе система описана двумя способами: при помощи структурной схемы (см. рис. 1.1) и в виде векторно-матричных уравнений, полученных в ходе подготовки к работе. Поэтому предлагается провести моделирование для двух вариантов описания системы и сравнить его результаты (процессы, соответствующие элементам матричной весовой и переходной функций) с аналитически полученными зависимостями.

Рекомендуется создать две отдельных модели: одну – для получения и фиксации 4 процессов, соответствующих элементам матричной весовой функции, вторую – для 4 процессов, соответствующих элементам матричной переходной функции.

Таким образом, должно быть зафиксировано 8 процессов, причем каждый из них будет представлен в трех вариантах, совмещенных на одном графике (т. к. моделируется система, описанная, во-первых, в виде структурной схемы и, во-вторых, – в векторно-матричной форме, а также, в-третьих, получены аналитические зависимости для  и ).

Для проведения моделирования должны быть созданы 5 файлов.

1) Файл-сценарий w_h_init.m, содержащий определения всех необходимых переменных в моделях:

%Файл определениЯ переменных

%

%Параметры моделированиЯ длЯ mdl‑ файла

t_end = 1; %максимальный шаг моделированиЯ

h_max = 0.01; %времЯ завершениЯ моделированиЯ

%Параметры исследуемой системы

a1 = 2;

a2 = 3;

k1 = 1;

k2 = 6;

Время моделирования t_end и максимальный шаг моделирования h_max должны быть выбраны такими, чтобы все процессы смогли достигнуть своих установившихся значений, а графики не имели изломов и искажений.

2), 3) Файлы с моделями Simulink w.mdl и h.mdl, предназначенные для расчета и визуализации элементов соответственно весовой и переходной функций (рис. 1.2 и 1.3).

Параметры моделирования следует задать в окне Simulation Parameters, доступном через меню Simulation\Simulation parameters окна, в котором открыт mdl‑ файл (рис. 1.4).

 

Рис. 1.4. Настройка параметров моделирования

 

Промоделировать систему, описанную в векторно-матричной форме, позволяет блок State-Space раздела Continuous основной библиотеки блоков Simulink. Структурная схема системы также может быть создана на основе блоков этой же библиотеки. Начальные условия следует принять нулевыми. Полученные структуры рекомендуется объединить в подсистемы, выделив все их элементы и выполнив команду Create Subsystem меню Edit или нажав на сочетание клавиш Ctrl+G.

Рис. 1.5. Подсистема «Система в виде структурной схемы»

 

Рис. 1.6. Подсистема «Система с описанием
в векторно-матричной форме»

 

При организации источника входного воздействия (единичной или дельта-функции) следует использовать блоки Step и Pulse Generator раздела Sources. Обратите внимание на то, что необходимо подобрать длительность входного импульса, который бы воспринимался системой как дельта-функция ( площадь импульса должна быть равна 1 ), т.е. значение длительности должно быть таким, чтобы его уменьшение уже не приводило к изменению отклика системы.

 

 

а                б

Рис. 1.7. Настройки блоков:
а – Pulse Generator; б – Step

 

Графики найденных аналитически временных зависимостей можно получить при помощи блока MATLAB Fcn раздела Function& Tables и источника времени моделирования Clock.

Рис. 1.8. Настройки блока Matlab Fcn, содержащего аналитическое описание элементов матричной весовой функции

 

Для визуализации процессов, соответствующих элементам матричной весовой и переходной функций, рекомендуется выводить их, а также текущее время моделирования в рабочую область памяти Mаtlab при помощи блоков To Workspace раздела Sinks, а затем строить их графики, используя команды построения графиков функций одной переменной. В этом случае не возникает проблем с переносом полученных результатов в электронную версию отчета по лабораторной работе и имеется возможность соблюсти все необходимые правила оформления графиков.

 

Рис. 1.9. Настройки блока To Workspace

Вывод графиков может быть продублирован с использованием осциллографов (блоков Scope раздела Sinks).

4), 5) Файлы-сценарии w_stop.m и h_stop.m, предназначенные для построения графиков процессов, соответствующих элементам матричной весовой и переходной функций, в стандартных графических окнах Figure.

%Построение графиков элементов матричной весовой функции (файл w_stop.m)

%

close all

 

figure

plot (t_, w11_s, 'r-', t_, w11_vm, 'b–', t_, w11_a, 'm –.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel('w11')

title ('Графики элемента w11 матричной весовой функции')

legend ('w11‑ struct', 'w11‑ VM', 'w11‑ analit', 0)

 

figure

plot (t_, w21_s, 'r-', t_, w21_vm, 'b–', t_, w21_a, 'm –.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel('w21')

title ('Графики элемента w21 матричной весовой функции')

legend ('w21‑ struct', 'w21‑ VM', 'w21‑ analit', 0)

 

figure

plot (t_, w12_s, 'r-', t_, w12_vm, 'b–', t_, w12_a, 'm –.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel('w12')

title ('Графики элемента w12 матричной весовой функции')

legend ('w12‑ struct', 'w12‑ VM', 'w12‑ analit', 0)

 

figure

plot (t_, w22_s, 'r-', t_, w22_vm, 'b–', t_, w22_a, 'm –.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel('w22')

title ('Графики элемента w22 матричной весовой функции')

legend ('w22‑ struct', 'w22‑ VM', 'w22‑ analit', 0)

 

%Построение графиков элементов матричной переходной функции (файл h_stop.m)

%

close all

 

figure

plot (t_, h11_s, 'r-', t_, h11_vm, 'b–', t_, h11_a, 'm –.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel('h11')

title ('Графики элемента h11 матричной переходной функции')

legend ('h11‑ struct', 'h11‑ VM', 'h11‑ analit', 0)

 

figure

plot (t_, h21_s, 'r-', t_, h21_vm, 'b–', t_, h21_a, 'm –.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel('h21')

title ('Графики элемента h21 матричной переходной функции')

legend ('h21‑ struct', 'h21‑ VM', 'h21‑ analit', 0)

 

figure

plot (t_, h12_s, 'r-', t_, h12_vm, 'b–', t_, h12_a, 'm –.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel('h12')

title ('Графики элемента h12 матричной переходной функции')

legend ('h12‑ struct', 'h12‑ VM', 'h12‑ analit', 0)

 

figure

plot (t_, h22_s, 'r-', t_, h22_vm, 'b–', t_, h22_a, 'm –.')

grid on

xlabel ('t, c')

ylabel('h22')

title ('Графики элемента h22 матричной переходной функции')

legend ('h22‑ struct', 'h22‑ VM', 'h22‑ analit', 0)

Назначение всех функций пакета Matlab, использованных при создании программ (m‑ файлов), приводится в приложении.

Организовать все указанные файлы следует самостоятельно (файлы-примеры выдаваться не будут) с целью получения навыков работы с редактором-отладчиком m‑ файлов и редактором схем Simulink.

Открыть и запустить файл w_h_init.m для задания значений всем необходимым переменным в рабочей области памяти Matlab (Workspace).

Открыть и запустить модель из файла w.mdl и проверить соответствие результатов домашнего расчета элементов матричной весовой функции результатам компьютерного моделирования. В случае несоответствия найти и устранить ошибки.

По завершении моделирования в Simulink открыть и запустить файл w_stop.m. Скопировать информацию, выведенную в графические окно путем выполнения команды меню «Edit\Copy Figure», после чего сохранить ее при помощи какого-либо приложения, например текстового редактора MS Word.

Выполнить пп. 1.3.3 и 1.3.4, используя файлы h.mdl и h_stop.m.

Замечание. Запуск файлов w_h_init.m и w_stop.m (h_stop.m) до и после проведения моделирования можно автоматизировать, связав mdl‑ файл с соответствующими m‑ файлами. Для этого необходимо:

- убедиться в том, что mdl- и m – файлы находятся в одной директории и она является текущей;

- открыть mdl‑ файлы;

- в командном окне выполнить следующие команды:

set_param ('w', 'InitFcn', 'w_h_init')

set_param ('w', 'StopFcn', 'w_stop')

set_param ('h', 'InitFcn', 'w_h_init')

set_param ('h', 'StopFcn', 'h_stop')

- в Simulink для каждого mdl‑ файла выполнить команду меню Edit\Update Diagram и сохранить файлы.

Содержание отчёта

Исходные данные лабораторной работы: название работы, цель работы, структурная схема исследуемой системы, номер варианта и соответствующие ему значения параметров схемы.

Результаты предварительной подготовки.

Использованные схемы моделирования с необходимыми пояснениями (например, по выбору параметров того или иного блока).

Графики элементов w(t) и h(t), количество – 8 графиков.

Выводы о взаимном соответствии результатов предварительной подготовки и компьютерного моделирования.

Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатное или комбинированное оформление.

Изучение типовых звеньев

Цель работы

Целью работы является расчет весовых и переходных функций, логарифмических амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ), амплитудно-фазовых характеристик (АФХ) типовых динамических звеньев систем автоматического управления, а также анализ влияния их параметров на перечисленные выше характеристики. В работе предусматривается исследование звеньев, перечень которых приведен в табл. 2.1.

 

Таблица 2.1 Перечень типовых звеньев

Номер звена	Звено	Передаточная функция
1	Интегрирующее
2	Инерционное
3	Реальное дифференцирующее
4	Интегро-дифференцирующее
5	Колебательное
6	Номинально-фазовое первого порядка
7	Неустойчивое первого порядка
8	Неустойчивое второго порядка
9	Режекторный фильтр

 

Обязательными для изучения являются первые пять звеньев, указанные в табл. 2.1, а также любые два звена из звеньев №6–9.

Выполнение работы

Описать передаточные функции изучаемых звеньев в файле-функции Matlab. Например, создать файл TF_zv.m следующего содержания:

%ФункциЯ описаниЯ звена в виде передаточной функции

%

function W = TF_zv (N_zv, inp_param)

p = tf('p');

switch N_zv

case 1, %интегрирующее звено, N_zv = 1, inp_param = [k]

k = inp_param(1);

W = k/p;

case 2, %инерционное звено, N_zv = 2, inp_param = [k, T]

k = inp_param(1);

T = inp_param(2);

W = k/(T*p+1);

case 3, %реальное дифференцирующее звено, N_zv = 3, inp_param = [k, T]

k = inp_param(1);

T = inp_param(2);

W = (k*p)/(T*p+1);

case 4, %интегро-дифференцирующее звено, N_zv = 4, inp_param = [T1, T2]

T1 = inp_param(1);

T2 = inp_param(2);

W = (T1*p+1)/(T2*p+1);

case 5, %колебательное звено, N_zv = 5, inp_param = [k, T, ksi]

k = inp_param(1);

T = inp_param(2);

ksi = inp_param(3);

W = k/(T^2*p^2+2*ksi*T*p+1);

case 6, %неминимально-фазовое звено 1‑ го пор., N_zv = 6, inp_param = [T1, T2]

T1 = inp_param(1);

T2 = inp_param(2);

W = (1‑ T1*p)/(1+T2*p);

case 7, %неустойчивое звено 1‑ го пор., N_zv = 7, inp_param = [k, T]

k = inp_param(1);

T = inp_param(2);

W = k/(T*p‑ 1);

case 8, %неустойчивое звено 2‑ го пор., N_zv = 8, inp_param = [k, T, ksi]

k = inp_param(1);

T = inp_param(2);

ksi = inp_param(3);

W = k/(T^2*p^2–2*ksi*T*p+1);

case 9, %режекторный фильтр, N_zv = 9, inp_param = [T, ksi1, ksi2]

T = inp_param(1);

ksi1 = inp_param(2);

ksi2 = inp_param(3);

W = (T^2*p^2+2*ksi1*T*p+1)/(T^2*p^2+2*ksi2*T*p+1);

end

%end of function TF_zv

Назначение всех использованных при создании этого файла функций Matlab приводится в приложении.

В программе звенья пронумерованы в соответствии с табл. 2.1, указание на номер моделируемого звена выполняется с помощью параметра N_zv рассматриваемой функции TF_zv. Второй параметр inp_param является векторным и предназначен для передачи значений параметров звена; в зависимости от вида звена он может содержать от одного до трех элементов. Для организации выбора описания звена служит оператор switch…case, при помощи которого производится анализ значения переменной N_zv и переход на вычисление соответствующей передаточной функции.

Для каждого звена написать файл-сценарий с целью получения графиков требуемых временных и частотных характеристик. Например, для изучения колебательного звена следует создать файл kol_zv.m следующего содержания:

%Изучение типовых динамических звеньев: колебательное звено

 

%Очистка всех переменных в памЯти

clear all

 

%Очистка командного окна

clc

 

%Закрытие всех предыдущих рисунков

set (0, 'ShowHiddenHandles', 'on')

delete (get(0, 'Children'))

 

%Описание колебательного звена (N_zv = 5) через его передаточную функцию

%при различных значениЯх параметров. Параметры колебательного звена

%задаютсЯ вектором inp_param = [k, T, ksi] (см. текст файла TF_zv.m)

 

%изменЯем k

W_11 = TF_zv (5, [1, 1, 0.707]);

W_12 = TF_zv (5, [2, 1, 0.707]);

W_13 = TF_zv (5, [3, 1, 0.707]);

 

%изменЯем Т

W_21 = TF_zv (5, [1, 0. 354, 0.707]);

W_22 = TF_zv (5, [1, 0. 707, 0.707]);

W_23 = TF_zv (5, [1, 1. 414, 0.707]);

 

%изменЯем ksi

W_31 = TF_zv (5, [1, 0. 5, 0.3]);

W_32 = TF_zv (5, [1, 0. 5, 0.5]);

W_33 = TF_zv (5, [1, 0. 5, 0.7]);

 

%изменЯем T и ksi

W_41 = TF_zv (5, [1, 0. 3, 0.3]);

W_42 = TF_zv (5, [1, 0. 5, 0.5]);

W_43 = TF_zv (5, [1, 0. 7, 0.7]);

 

%Построение требуемых характеристик при различных k

%ЛАЧХ и ЛФЧХ

ltiview({'bode'}, W_11, 'b-', W_12, 'r-', W_13, 'k-')

%АФХ

ltiview({'nyquist'}, W_11, 'b-', W_12, 'r-', W_13, 'k-')

%весоваЯ функциЯ w(t)

ltiview({'impulse'}, W_11, 'b-', W_12, 'r-', W_13, 'k-')

%переходнаЯ функциЯ h(t)

ltiview({'step'}, W_11, 'b-', W_12, 'r-', W_13, 'k-')

 

%Построение требуемых характеристик при различных T

%ЛАЧХ и ЛФЧХ

ltiview({'bode'}, W_21, 'b-', W_22, 'r-', W_23, 'k-')

%АФХ

ltiview({'nyquist'}, W_21, 'b-', W_22, 'r-', W_23, 'k-')

%весоваЯ функциЯ w(t)

ltiview({'impulse'}, W_21, 'b-', W_22, 'r-', W_23, 'k-')

%переходнаЯ функциЯ h(t)

ltiview({'step'}, W_21, 'b-', W_22, 'r-', W_23, 'k-')

 

%Построение требуемых характеристик при различных ksi

%ЛАЧХ и ЛФЧХ

ltiview({'bode'}, W_31, 'b-', W_32, 'r-', W_33, 'k-')

%АФХ

ltiview({'nyquist'}, W_31, 'b-', W_32, 'r-', W_33, 'k-')

%весоваЯ функциЯ w(t)

ltiview({'impulse'}, W_31, 'b-', W_32, 'r-', W_33, 'k-')

%переходнаЯ функциЯ h(t)

ltiview({'step'}, W_31, 'b-', W_32, 'r-', W_33, 'k-')

 

%Построение требуемых характеристик при различных T и ksi

%ЛАЧХ и ЛФЧХ

ltiview({'bode'}, W_41, 'b-', W_42, 'r-', W_43, 'k-')

%АФХ

ltiview({'nyquist'}, W_41, 'b-', W_42, 'r-', W_43, 'k-')

%весоваЯ функциЯ w(t)

ltiview({'impulse'}, W_41, 'b-', W_42, 'r-', W_43, 'k-')

%переходнаЯ функциЯ h(t)

ltiview({'step'}, W_41, 'b-', W_42, 'r-', W_43, 'k-')

 

Назначение всех использованных при создании этой программы функций Matlab приводится в приложении.

Обратите внимание: в данном m‑ файле используется внешняя функция TF_zv, описанная в п. 2.3.1, в связи с этим файлы kol_zv.m и TF_zv.m должны находиться в одной директории.

Для построения временных и частотных характеристик динамического звена используется команда ltiview, первый параметр которой – строковая переменная, заключенная в фигурные скобки, – служит для указания типа отображаемой характеристики, а следующие за ним пары параметров – для указания имени системы и свойств выводимой линии (цвета, типа линии и т.д. аналогично оформлению двумерных графиков при использовании команды plot).

Для каждого изучаемого звена произвести запуск программы и зафиксировать результаты моделирования.

При выполнении команды ltiview появляется графическое окно, в котором отображается график указанной характеристики. Дополнительные настройки доступны при нажатии правой клавиши мыши и через команды меню. Необходимой настройкой является включение сетки grid.

Для сохранения содержимого графического окна LTI Viewer необходимо воспользоваться командой меню File\Print to Figure, после чего открывается новое окно Figure, содержащее тот же самый рисунок, скопировать который можно путем выполнения команды меню Edit\Copy Figure.

При изучении влияния какого-либо параметра на характеристики рассматриваемого звена он (отдельно или в сочетании с другими параметрами) должен варьироваться не менее трех раз. Это позволяет впоследствии достаточно легко выявить основную тенденцию в изменении вида характеристик. Таким образом, результатом эксперимента с варьированием какого-либо параметра звена является четыре рисунка (ЛАЧХ и ЛФЧХ, АФХ, весовые функции, переходные функции), содержащие не менее трех графиков.

Замечания

1. При оформлении результатов компьютерного моделирования необходимо, как и в подготовительной части, обратить внимание на информационное сопровождение рисунков: оси должны быть снабжены обозначениями, рисунки иметь подрисуночные надписи, каждому графику должен быть поставлен в соответствие тот набор параметров, при котором проводилось моделирование звена. Кроме того, на графиках должны быть отмечены характерные точки (с указанием числовых значений по осям) и показано их соответствие теоретически рассчитанным характерным точкам.

2. На АФХ проставить оцифровку (не менее 8 значений ).

Содержание отчета

Исходные данные лабораторной работы: название работы, цель работы, список выбранных для изучения звеньев с их передаточными функциями.

Подготовительная часть, оформленная в соответствии с требованиями п. 2.2.

Результаты компьютерного моделирования, оформленные в соответствии с требованиями п. 2.3.3.

Качественный анализ влияния параметров каждого из рассмотренных звеньев на вид частотных и временных характеристик.

Выводы.

Приложение: текст файла-функции и одного из файлов-сценариев с указанием в комментариях номера группы, состава бригады и даты проведения работы.

Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатное или комбинированное оформление.

Цель работы

Целью работы является анализ частотных характеристик разомкнутых и замкнутых систем, получение навыков по использованию критерия устойчивости Найквиста.

В работе предусматривается исследование трех систем, различающихся видом передаточной функции (ПФ) разомкнутого контура. Варианты значений параметров ПФ приведены в табл. 3.1. Замкнутая система построена по типу классической следящей системы, ее структурная схема представлена на рис. 3.1.

 

 

Таблица 3.1 Значения параметров передаточной функции

Номер варианта		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Система

1