СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

Имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

 

Допущена к защите

Зав. кафедрой

СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Дипломная работа

 

Исполнитель:

студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.

Научный руководитель:  

доцент кафедры дифференциальных

уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т.Е.

Рецензент:

доцент кафедры ВМ и

программирования, к. ф.-м. н. Смородин В.С.

Гомель 2003

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2 СООТНОШЕНИЕ

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами

4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ

4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.

В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение  На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем

 

 

играет число , а не .

Утверждение 1.

Если семейство сужается, то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, то есть из

 

P’  P

 

следует

 

(P’) (P)

и

_.

 

Доказательство.

 

Всякая верхняя функция  для семейства P является верхней и для P’, так как P’  P. Значит,

(P) (P’).

 

По определению 1.9

.

 

Из того, что

 

(P) (P’)

 

следует

 

.

 

А значит,

 

 .

 

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’= , то верхнее среднее значение функции  совпадает с верхним центральным числом семейства P’, то есть

 

 

Доказательство.

 

Для доказательства равенства

 

 

докажем два неравенства:

1) ;

2) _.

 

1) Из определения 1.7 следует, что  является верхней функцией, то есть

 

 , = 0;

 

итак,

 

(P’).

Следовательно, .

2) Пусть ─ любая верхняя функция семейства P’:

 

 

для любой (P’).

Тогда по определению 1.6

 

 

.

 

Так как ─ любое, то

 

 

для любой функции (P).

Следовательно,

 

_.

 

Тем самым утверждение 2 доказано.

 

Следствие 1. (из утверждений 1 и 2)

 

Пусть P = ─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’=  , и P’  P, то верхнее среднее значение функции  не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть

 

 .

Доказательство.

Так как P’  P, то из утверждения 1 следует, что

 

(P’) (P)

и

 _.

 

Так как P’ состоит из одной функции, то есть P’= , то из утверждения 2 следует, что

 

.

 

Следовательно,

 

_,

 

то есть

 

.

 

Следствие 1 доказано.

 

Следствие 2. (из следствия 1)

Пусть P = ─ семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций. Тогда

 

.

 

Доказательство.

 

Из следствия 1 вытекает, что для любого  выполняется

 

.

 

Следовательно,

 

.

 

Следствие 2 доказано.

Воспользуемся доказательством следствия 2 для доказательства следующего утверждения.

Утверждение 3.

Пусть  ─

некоторая линейная система дифференциальных уравнений и

 

P = ─

 

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

 

.

Тогда старший показатель Ляпунова  не превосходит верхнего центрального числа  семейства P, то есть

 

_.

 

Доказательство.

 

 Так как ,

то

 

.

 

Выразим из последнего равенства :

 

, .

 

Тогда из определения 1.2 следует, что

 

 

[определение 1.6] ,

 

то есть

 

.

 

Из этого следует, что

 

.

 

Так как по определению 1.5

 

,

то

.

 

Тогда из следствия 2 получаем, что

 

.

 

Так как по определению 1.9

_,

 

то .

 

(утверждение 3 доказано)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе рассматриваются соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейной системы

 

 

с кусочно непрерывными ограниченными коэффициентами.

Показано, что существует два различных случая отношений между старшим  и верхним центральным показателями линейных систем: . На примере заданной линейной однородной диагональной системы дифференциальных уравнений подробно рассмотрены вычисления характеристического показателя Ляпунова, спектра, старшего и верхнего центрального показателей.

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

Имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

 

Допущена к защите

Зав. кафедрой

СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Дипломная работа

 

Исполнитель:

студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.

Научный руководитель:  

доцент кафедры дифференциальных

уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т.Е.

Рецензент:

доцент кафедры ВМ и

программирования, к. ф.-м. н. Смородин В.С.

Гомель 2003

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2 СООТНОШЕНИЕ

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами

4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ

4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.

В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение  На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем

 

 

играет число , а не .

123Следующая ⇒

Поделиться: