Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Вычисление верхнего центрального показателя системы ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
По-прежнему рассматриваем систему (1):
.
Применительно к нашей системе семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций P состоит из двух функций и , то есть
P ,
где Для вычисления верхнего центрального показателя нам понадобится функция
.
Докажем, что функция является верхней для семейства P. Доказательство: По определению 1.7 ─ верхняя функция для семейства P, если .
Докажем, что .
.
Следовательно,
.
Докажем, что .
Следовательно,
,
то есть для любого
Тогда по определению верхней функции
(P). Вычислим . По определению 1.6 верхнего среднего значения функции
Для всякого найдется такое , что
.
Тогда
.
Вычислим отдельно .
Итак,
.
Оценим сверху .
. (*)
Учитывая (*) и оценивая сверху, получаем
.
Тогда (при )
,
то есть . Оценивая снизу, получаем
,
где . Тогда
,
то есть . Следовательно, . Теперь изобразим функции , и на графике.
График функции :
График функции :
Очевидно, что на отрезках , а на отрезках для любого . Теперь покажем, что верхний центральный показатель совпадает с , то есть
.
Докажем следующим образом: 1.Введем функцию . Разобьем ось на промежутки точками Используя определение 1.12, положим если
Оценим . Возможны три случая: 1) если , то ; значит,
.
2) если , то ; значит,
.
2) если , то ; значит,
.
Таким образом, . 2.Докажем, что . Очевидно, что ─ функция ограниченная и
. Отсюда следует, что
,
то есть
,
Так как
,
то
.
3.Докажем, что для любого . По определению 1.6 вычислим , используя утверждение 1.2:
.
По определению 1.6 вычислим , используя утверждение 1.2:
.
Теперь рассмотрим все возможные случаи расположений отрезков по отношению к отрезкам и . I. Если , где , то
,
следовательно,
;
II. если , где , то
,
следовательно,
; III. если , то
;
IV. если , то
;
1) Для каждого найдется такое , что выполняется
.
Тогда
;
2) Для каждого найдется такое , что выполняется
.
Тогда
.
Из вышеперечисленных случаев 1) и 2) следует, что
, (**)
для любого такого, что , .
Учитывая неравенство (**), перейдем к непосредственному доказательству неравенства :
.
Теперь оценим выражение . Очевидно, выполняется следующее неравенство:
.
Перейдем к пределам:
, .
Следовательно,
.
Значит,
,
то есть для любого . По определению 1.11
.
Таким образом, для любого . По замечанию 1.4 получаем, что
.
Следовательно,
.
Так как мы доказали, что (P), то есть - верхняя функция для семейства P, то, опираясь на определение 1.9, получаем, что
,
то есть .
А значит,
.
Итак, в этом разделе был рассмотрен случай
.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
Р.Э. Виноград ввел[5] понятие верхнего центрального показателя системы
. (1)
Переход от невозмущенной системы (1) к возмущенной системе
сопровождается изменением показателей. Верхний центральный показатель системы (1) и характеризует это изменение в определенном классе возмущений. Имеет место теорема Р.Э. Винограда. Теорема [2, с.164-166; 3]. Для любого можно указать , что при любых непрерывных возмущениях ,
,
будут выполняться неравенства
.
В.В. Миллионщиковым доказано, что последняя оценка неулучшаема, а именно Теорема [4]. Для любого найдется возмущение Qe , ||Qe || ,
такое, что система
Qe
имеет решение , для которой
.
Значит, для рассмотренной в дипломной работе системы наиболее быстро растущими решениями «руководит» показатель , а не показатель . ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной дипломной работе рассматриваются соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейной системы
с кусочно непрерывными ограниченными коэффициентами. Показано, что существует два различных случая отношений между старшим и верхним центральным показателями линейных систем: . На примере заданной линейной однородной диагональной системы дифференциальных уравнений подробно рассмотрены вычисления характеристического показателя Ляпунова, спектра, старшего и верхнего центрального показателей. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-10-24; Просмотров: 142; Нарушение авторского права страницы