НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Определение 1.1 [1, с.123]. Наибольший из частичных пределов a функции при называется ее верхним пределом:

Определение 1.2 [1, с.125]. Число (или символ или ), определяемое формулой

будем называть характеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).

Для показательной функции , очевидно, имеем

Лемма 1.1 [1, с.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы совпадает с характеристическим показателем ее нормы, то есть

Для вектор-столбца

будем использовать одну из норм [1, с.20]:

= ; = ; = .

Свойства характеристического показателя функции [1, с.126, 128]:

1) = , ;

2) .

Замечание 1.1 [1, с.130]. Если линейная комбинация функций

, ,

где постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то

= .

Определение 1.3 [1, с.142]. Система ненулевых вектор-функций

обладает свойством несжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейной комбинации

, ,

где постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, то есть для всякой комбинации y имеем

= .

Определение 1.4 [1, с.137]. Множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от и ) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.

Теорема 1.1 [1, с.143]. Фундаментальная система линейной системы

где и ─ спектр системы , является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Замечание 1.2 [1, с.142]. Совокупность вектор-функций с различными характеристическими показателями, очевидно, обладает свойством несжимаемости.

Следствие 1.1 [1, с.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Определение1.5 [2, с.71]. Наибольший верхний показатель

системы

будем называть старшим показателем.

Определение 1.6 [2, с.7]. Пусть ─ функция. Тогда верхнее среднее значение функции есть:

= .

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = , ,

зависящие от параметра непрерывна в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Определение 1.7 [ 2, с.103]. Ограниченная измеримая функция называется верхней или C-функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функции :

то есть, если

где ─ константа, общая для всех и , но, вообще говоря, зависящая от выбора и .

Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всех верхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства P, и обозначим через

(P).

Определение 1.9 [2, с.103]. Число

назовем верхним центральным или C-числом семейства P. Оно обозначается также через или .

Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция , что

для всех , то эта функция одна образует верхний класс и C-число совпадает с :

Замечание 1.3 [2, с.102]. Для упрощения записи введем обозначение

Определение 1.10 [2, с.115]. Центральное число семейства P будем называть центральным показателем системы

Определение 1.11 [2, с.106]. Разобьем полуось точками 0, T, 2T, … на промежутки

Пусть

Найдем

Замечание 1.4 [2, с.106]. Число

совпадает с и знак можно заменить на , то есть

Определение 1.12 [2, с.107]. Пусть ─ любая ограниченная кусочно непрерывная функция, для которой

Замечание 1.5 [2, с.107]. Такие функции существуют: достаточно положить на равной одной из тех функций , для которых достигается максимальное значение

Утверждение 1.2 [2, с.537]. Верхнее среднее значение любой ограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции , где произвольное, равно

Утверждение 1.3 [2, с.114]. Пусть

─ ее решение и

P = ─

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

Тогда старший показатель этой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций семейства P, то есть

2. СООТНОШЕНИЕ .

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = , ,

зависящее от параметра непрерывно в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Для доказательства соотношения нам потребуется доказать несколько утверждений и следствий.

Утверждение 1.

Если семейство сужается, то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, то есть из

P’ P

следует

(P’) (P)

Доказательство.

Всякая верхняя функция для семейства P является верхней и для P’, так как P’ P. Значит,

(P) (P’).

По определению 1.9

Из того, что

(P) (P’)

следует

А значит,

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’= , то верхнее среднее значение функции совпадает с верхним центральным числом семейства P’, то есть

Доказательство.

Для доказательства равенства

докажем два неравенства:

1) ;

2) _.

1) Из определения 1.7 следует, что является верхней функцией, то есть

, = 0;

итак,

(P’).

Следовательно, .

2) Пусть ─ любая верхняя функция семейства P’:

для любой (P’).

Тогда по определению 1.6

Так как ─ любое, то

для любой функции (P).

Следовательно,

Тем самым утверждение 2 доказано.

Следствие 1. (из утверждений 1 и 2)

Пусть P = ─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’= , и P’ P, то верхнее среднее значение функции не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть