Вопрос 2. Виды средних величин и способы их вычисления

 

-Степенные (средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая)

- Структурные (мода и медианна).

 

С тепенные средние величины:

1.Средняя арифметическая простая применяется в случае, если индивидуальное значение признака у единиц совокупности не повторяется или встречается одни раз или одинаковое число раз, т.е. когда средняя рассчитывается по несгруппированным данным.

2.Средняя арифметическая взвешенная.Когда отдельное значение изучаемого признака встречается несколько раз у единиц изучаемой совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулах степенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных средних.

=

При расчете средних чаще всего применяют формулы средних взвешенных. Такое разграничение на простые средние и взвешенные очень важно в экономике, потому что применение только простых вместо средне взвешенных может привести к ошибочным результатам и выводам.

Среднее арифметическое рассчитывается по разному в дискретных и интервальных вариационных рядах. В дискретных рядах варианты признака умножаются на частоты, эти произведения суммируются и полученная сумма произведений делится на сумму частот.

В интервальных рядах значение признака задано, как известно, в виде интервалов, поэтому, прежде чем рассчитывать среднюю арифметическую, нужно перейти от интервального ряда к дискретному.

В качестве вариантов х _i используется середина соответствующих интервалов. Они определяются как полусумма нижней и верхней границ.

Если у интервала отсутствует нижняя граница, то его середина определяется как разность между верхней границей и половиной величины следующих интервалов. При отсутствии верхних границ, середина интервала определяется как сумма нижней границы и половины величины предыдущего интервала. После перехода к дискретному ряду дальнейшие вычисления происходят по методике рассмотренной выше.

3.Средняя гармоническая – величина обратная средней арифметической. Она рассчитывается в тех случаях, когда веса fi не заданы непосредственно, а входят как сомножитель в один из имеющихся показателей.

w_i = x_i · f_i

4.Средняя геометрическая – это величина, используемая как средняя из отношений, представленных в виде геометрической прогрессии. Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разницам, а отношениям двух чисел. Поэтому средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста. Средний темп роста характеризуется средней геометрической всех цепных темпов.

 - средняя геометрическая,

 - средняя геометрическая применительно к темпам роста, где

 - цепные коэффициенты роста, рассчитанные на основе последовательных значений.

Степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные и чем больше показатель степени k, тем больше и величина соответствующей средней, если все исходные значения признака равны, то и все средние равны этой постоянной:

_гарм. ≤ _геом. ≤ _арифм. ≤ _кв. ≤ _куб.

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.

 

Структурные средние применяют в том случае, когда расчет степенных средних невозможен или нецелесообразен.

Структурные средние величины:

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. При наличии вариантов и частот в ряду распределения величина моды соответствует значению признака у наибольшего числа единиц (наибольшей частоте), т.е. для дискретного вариационного ряда мода находится по определению.

Мода на примере дискретного ряда (таблица 1) – в этом примере модой будет семья, имеющая двоих детей.

Расчет моды на примере интервального ряда (таблица 2). Из примера видно, что наибольшая частота соответствует интервалу от 170 до 180. Это и есть модальный интервал, для расчета которого используется формула:

где   х_m – минимальная граница модального интервала

i – величина модального интервала

f_m-1 – частота интервала, предшествующая модальному

f_m – частота модального интервала

f_{m+1 -} частота интервала, следующего за модальным

 

 Медиана – значение признака у единицы совокупности в середине ряда распределения и делящая ряд пополам когда все индивидуальные значения признака изучаемых единиц расположены в порядке их возрастания или убывания.

    Расчет медианы на примере дискретного ряда (таблица 1).

Чтобы найти медиану в дискретном ряду нужно сумму частот ∑ n разделить на 2:

200: 2 = 100.

100-ая варианта делит ряд пополам. Чтобы узнать значение сотой варианты нужно накопить частоты S. Сумма частот 1-ой и 2-ой вариант = 40, плюс 3-я варианта.

Расчет медианы на примере интервального ряда

  Для нахождения медианы в интервальном ряду определим интервал, в котором она находится (медианный интервал). Таким будет интервал, накопленная частота которого > или =∑ n/2

Для интервального ряда распределения величина медианы рассчитываются по формуле:; ,

где:    - нижняя граница медианного интервала

   - величина интервала

    - частота медианного интервала

- сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному интервалу.

Мода и медиана в отличие от средней арифметической являются конкретными характеристиками. Мода применяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака. Если, например надо узнать наиболее распространенный размер заработной платы на предприятии, цену на рынке, по которой было продано наибольшее количество товаров, размер обуви, имеющий максимальный спрос и т. д.

 

Вопрос 3. Показатели вариации признака, их использование в экономическом анализе

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели.

К абсолютным показателям (мера) вариации относятся: размах колебаний, среднее абсолютное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

1)Размах вариации– это разность между максимальным и минимальным значениями признака:  

Размах вариации показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения. Размах вариации улавливает только крайние отклонения от средней, но не отражает отклонений от нее всех вариант в ряду. Распределение отклонений можно уловить, исчислив отклонения всех вариант от средней. Из свойств средней арифметической известно, что сумма отклонений вариант от средней всегда равна нулю, так как сумма положительных отклонений равна сумме отрицательных отклонений. Следовательно, чтобы исчислить среднюю арифметическую из отклонений, нужно условно допустить, что все отклонения имеют одинаковый знак. Тогда, если взять сумму всех отклонений и разделить на их число, по получим показатель вариации называемый:

 

2) Средним арифметическим или линейным отклонением ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌

 Среднее линейное отклонение (САО ) - средняя из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от средней.

    (простая),          (взвешенная)

 3)Отклонения возводят в квадрат и из квадратов исчисляют среднюю величину которую называют дисперсией:

Дисперсия - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

 (простая),      (взвешенная)

Дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющих оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака

 

т.е. дисперсия равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Свойства дисперсии, позволяющие упростить способ ее вычисления:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

2. Если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число раз, то дисперсия не уменьшится.

3. Если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится в k² раз.

3)Среднее квадратическое отклонение (СКО) представляет собой корень квадратный из дисперсии, показывает насколько в среднем колеблется величина признака у единиц изучаемой совокупности: s =

СКО является мерилом надежности. Чем меньше СКО, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

Размах вариации, САО, СКО являются величинами именованными, т.е. имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Существуют 4 вида дисперсии: общая, межгрупповая, внутригрупповая, групповая.

Дисперсию, вычисляемую для всей совокупности в целом называют общей дисперсией. Она измеряет колеблемость зависимого признака (результатного), вызванную действием на него всех без исключения факторов.

Если совокупность разбита на группы, то для каждой группы может быть определена своя дисперсия, характеризующая вариацию внутри группы.

Групповая дисперсия – средние квадратические отклонения от групповой средней, т.е. от средней величины признака в данной группе.

где j – порядковый номер x и f в пределах группы.

Групповая дисперсия характеризует вариацию признака в пределах группы за счет всех прочих факторов, кроме положенного в основании группировки.

Измерение вариации по совокупности в целом, исчисляем как среднюю из внутригрупповых дисперсии:

 

где  – групповые дисперсии,

n_j – число единиц в группах.

Групповые средние отличаются одна от другой и от общей средней, т.е. варьируют. Их вариацию называют межгрупповой вариацией. Для ее характеристики исчисляют средний квадрат отклонений групповых средних от общей средней:

где _j  – групповые средние,  – общая средняя, n_j – число единиц в группе.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) измеряет вариацию результатного признака за счет факторного признака, положенного в основании группировки.

По своему абсолютному значению среднее квадратичное отклонение зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариант и средней. Поэтому сравнивать средние квадратичные отклонения вариационных рядов с разными  нельзя. Чтобы сравнить нужно вычислить процентное отношение среднего квадратичного отклонения к среднему арифметическому. Полученный относительный показатель называется

4.Коэффициентом вариации

Коэффициенты вариации позволяют сравнивать степень варьирования признаков в рядах с разным уровнем средних. Коэффициент вариации удобен для сравнения вариаций разных явлений. Например, что больше варьирует: рост мальчиков одного возраста или вес? Нельзя сравнивать среднее квадратичное отклонение роста (6см) и среднее квадратичное отклонение веса (4 кг). Но если знать, что средний рост составляет 114 см, а средний вес – 32 кг, то можно сравнить коэффициент вариации роста 5, 3 % (6/114*100), и коэффициент вариации веса 12, 5% (4/32*100). Вес варьирует больше чем рост.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической пользуются относительными показателями вариации.

Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане)

1. Коэффициент вариации

2. Относительное линейное отклонение

3. Коэффициент осцилляции

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости – коэффициент вариации, который показывает среднее отклонение от среднего значения признака в процентах.

Его используют для: сравнительной оценки вариации; характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации меньше 33%.

Выборочное наблюдение

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: