На тему: «Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей».

Виды дробей

Основные виды дробей - это обычные дроби, которые могут быть правильными и неправильными, десятичные дроби, алгебраические дроби. Рассмотрим каждый вид дробей.

Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь состоит из числителя, знаменателя и дробной черты. Например, 12, 34, 175. Числителем называется число, стоящее над дробной чертой, знаменателем - число, стоящее под дробной чертой. В дроби34 числитель равен 3, а знаменатель равен 4. Знаменатель показывает, на сколько частей делят целое, а числитель - сколько из полученных частей взяли. То есть дробь 58 показывает, что целое разделили на 8 частей, и 5 из них взяли.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа.

Обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью, дробь, у которой числитель больше знаменателя, называют неправильной. Например, правильными дробями будут дроби 1/2, 13/24, 99/100 и т.д,, неправильными дробями являются дроби 10/8, 32/5, 100/99 и т.д. Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1: Любую дробь, у которой числитель кратен знаменателю, можно записать целым числом:

Любую дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, можно представить в виде смешаного числа, которое состоит из целой и дробной части. Целая часть - это неполное частное, полученное при делении числителя на знаменатель, дробная часть должна быть правильной дробью, числитель которой является остатком, полученным при делении числителя на знаменатель. Например 154=334, 283=913 и т.д.

Замечание

В свою очередь, любое смешаное число можно представить в виде неправильной дроби. Для этого находят сумму произведения целой части и числителя дробной части и полученный результат будет числителем неправильной дроби, знаменатель оставляют без изменений. Например, 513=5⋅ 3+13=163

Основным свойством дробей является то, что числитель и знаменатель обыкновенной или алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен или число, отличное от 0. Это свойство позволяет приводить дроби к общему знаменателю, что часто необходимо для выполнения математических действий, таких как сравнение, сложение и вычитание дробей.

На тему: «Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей».

Костанай

2011 год

СОДЕРЖАНИЕ

1. Из истории обыкновенных дробей ………………………………………..3

2. Действия с обыкновенными дробями..............…………………………..5

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей ……………………........5

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей ………………………….7

3. Примеры на сложение, вычитание, умножение и деление дробей ……. 10

4. Список литературы …………………………………………………………...11

Действия с обыкновенными дробями.

Умножение дробь на дробь

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

4. .

Деление дроби на дробь.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь переписать, а вторую дробь перевернуть (это важно! ) и их перемножить, т.е. знаменатель на знаменатель, числитель на числитель.:

Например:

5. .

Примеры на сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей.

Реши самостоятельно:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19. ;

20. ;

21.

22.

23. ;

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Живая математика/Я. И. Перельман;

2. За страницами учебника математики/ И. Я. Депман, Н. Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 1988;

3. Математика: Учеб. для 5 классса ср. школы/ Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, И. Шварцвурд. – 3 изд. – М.: Просвещение, 1988;

4. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе/
К. А. Малыгин. – М.: Просвещение, 1958.

5. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе / 1985.

Виды дробей[править | править код]

Обыкновенные дроби [править | править код]

Наглядное представление дроби {\displaystyle 3 \over 4}

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде {\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}} или {\displaystyle \pm m/n, } где {\displaystyle n\neq 0.} Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей [править | править код]

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

· ½

· 1/2 или {\displaystyle {}^{1}/{}_{2}} (наклонная черта называется «солидус»^[2])

· выключная формула: {\displaystyle {\frac {1}{2}}} (горизонтальная черта называется Винкулум (англ.)русск.)

· строчная формула: {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}

Правильные и неправильные дроби [править | править код]

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби {\displaystyle {\frac {3}{5}}}, {\displaystyle {\frac {7}{8}}} и {\displaystyle {\frac {1}{2}}} — правильные дроби, в то время как {\displaystyle {\frac {8}{3}}}, {\displaystyle {\frac {9}{5}}}, {\displaystyle {\frac {2}{1}}} и {\displaystyle {\frac {1}{1}}} — неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби [править | править код]

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, {\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Составные дроби [править | править код]

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}} или {\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}} или {\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}

Десятичные дроби [править | править код]

Основная статья: Десятичная дробь

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

{\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{, }b_{1}b_{2}\dots }

Пример: {\displaystyle 3{, }1415926}.

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби[править | править код]

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

{\displaystyle {\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}}

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

{\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}}

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

{\displaystyle {\frac {12}{16}}={\frac {12: 4}{16: 4}}={\frac {3}{4}}} — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме {\displaystyle \pm 1.}

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

{\displaystyle 0, 999...=1} — две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия с дробями[править | править код]

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю [править | править код]

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: {\displaystyle {\frac {a}{b}}} и {\displaystyle {\frac {c}{d}}}. Порядок действий:

· Находим наименьшее общее кратное знаменателей: {\displaystyle M=[b, d]}.

· Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на {\displaystyle M/b}.

· Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на {\displaystyle M/d}.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение [править | править код]

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́ льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем {\displaystyle {\frac {3}{4}}} и {\displaystyle {\frac {4}{5}}}. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

{\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}}; \quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}

Следовательно, {\displaystyle {\frac {3}{4}}< {\frac {4}{5}}}

Сложение и вычитание [править | править код]

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}} + {\displaystyle {\frac {1}{3}}} = {\displaystyle {\frac {3}{6}}} + {\displaystyle {\frac {2}{6}}} = {\displaystyle {\frac {5}{6}}}

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось {\displaystyle {\frac {3}{6}}}. Приводим дробь {\displaystyle {\frac {1}{3}}} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось {\displaystyle {\frac {2}{6}}}.
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}} — {\displaystyle {\frac {1}{4}}} = {\displaystyle {\frac {2}{4}}} — {\displaystyle {\frac {1}{4}}} = {\displaystyle {\frac {1}{4}}}

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем {\displaystyle {\frac {2}{4}}}.

Умножение и деление [править | править код]

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

{\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

{\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}: {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}, \quad b, c, d\neq 0.}

Например:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}: {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}

Преобразование между разными форматами записи [править | править код]

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{, }5}

{\displaystyle {\frac {1}{7}}=0{, }142857142857142857\dots =0{, }(142857)} — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

{\displaystyle 71{, }1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}}

См. также " Перевод из десятичной дроби в обыкновенную".

История и этимология термина[править | править код]

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввел в оборот греческий математик Максим Плануд.

Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}, 2{\tfrac {1}{5}}} записывались таким способом: {\displaystyle {\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}}, {\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.} Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский)^[3].Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами^[3]. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную^[4]. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше^[5].

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42, 53 записывалось как ^{{\displaystyle {\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3}}}} или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века^[3].

Думаю из этого вы сможете составить реферат:

В результате развития человеческого общества появилась необходимость в измерении длины, площади, веса и т. д. В этом деле не обойтись одними целыми числами, люди ввели дроби.

Вначале это были так называемые «обыкновенные дроби». Главное их неудобство состояло в том, что долями единицы (знаменателями) могли быть любые числа. И в процессе счета нужно было приводить дроби к одному знаменателю. Тогда появилась: идея создания систематических дробей, в которых единица всегда имеет одинаковое число долей.

Самые первые систематические дроби появились в Вавилоне за 2 тысячи лет до нашей эры. В них единица делилась на шестьдесят долей, так как «круглым» числом у вавилонян считалось не 10, а 60. Вавилонские дроби, в отличие от всей шестидесятеричной системы счета, были заимствованы древними греками, а от них и европейцами. Этой системой пользовались в Западной Европе, в основном астрономы, до конца XVI века.

В Древнем Риме существовала двенадцатеричная система дробей (единица делилась на двенадцать долей). Это было связано с тем, что денежная единица древних римлян (она же единица веса) асc делилась на двенадцать унций. Унцией называли не только мелкую монету, но и вообще дробь, которую мы называем «одна двенадцатая», даже если она употреблялась для измерения длины.

Наши обыкновенные дроби широко употреблялись древними греками и индийцами. Правила действий с дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой, в IX веке распространились в мусульманских странах благодаря Мухаммеду Хорезмскому. В Западную Европу их привез итальянский купец и ученый Леонардо Фибоначчи из Пизы в XIII веке.

Наконец, выдающийся самаркандский математик Гиясэддин Джемшид ал-Каши (XIV-XV века) ввел десятичные дроби, которыми мы пользуемся и сейчас. Когда в XVI веке голландский купец и инженер Симон Стевин познакомил с ними Европу, они полностью вытеснили громоздкие шестидесятеричные дроби.

В первых учебниках дроби назывались “ломаные числа”. Современное обозначение дробей берёт своё начало в Древней Индии. В начале в записи дробей не использовалась дробная черта. В русском языке это слово появилось в XVIII веке, оно происходит от глагола “дробить” - разбивать, ломать на части.

Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи.

Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта, например число записывалось так.

Черта дроби появилась лишь только в 1202 году у итальянского математика Леонардо Пизанского. Он ввел слово дробь. Названия числитель и знаменатель ввел в 13 веке Максим Плануд - греческий монах, ученый, математик.

Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби как сейчас стали арабы.

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способуДробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные

и десятичные. 1. Виды дробей 1.1. Обыкновенные дроби Наглядное представление дроби Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде

или

где

. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем. 1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде: ½ 1/2 или 1/2(наклонная черта называется «солидус») выключная формула: (горизонтальная черта называется Винкулиум (англ.)) строчная формула: 1.1.2. Правильные и неправильные дроби Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице. Например, дроби

, и

— правильные дроби, в то время как

, и

— неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1. 1.1.3. Смешанные дроби Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой. Например

, . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь. 1.1.4. Высота дроби Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу. Например, высота дроби равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3. 1.1.5. Составные дроби Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

1.2. Десятичные дроби Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью. Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева). 2. Значение дроби и основное свойство дроби Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные. записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные и десятичные. 1. Виды дробей 1.1. Обыкновенные дроби Наглядное представление дроби Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем. 1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде: ½ 1/2 или 1 / 2(наклонная черта называется «солидус») выключная формула: (горизонтальная черта называется Винкулиум (англ.)) строчная формула: 1.1.2. Правильные и неправильные дроби Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице. Например, дроби, и — правильные дроби, в то время как, , и — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1. 1.1.3. Смешанные дроби Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой. Например, . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь. 1.1.4. Высота дроби Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу. Например, высота дроби равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3. 1.1.5. Составные дроби Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт: или или 1.2. Десятичные дроби Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом: . В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью. Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева). 2. Значение дроби и основное свойство дроби Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные. · 3.69/5 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 Оценка: 3.7 (голосов: 29) Комментарии (0)

ProstoLeka 21.10.2015, 13: 53 Из истории десятичных и обыкновенных дробей В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2, 135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок. Предшественниками десятичных дробей являлись шестидесятеричные дроби древних вавилонян. Некоторые элементы десятичной дроби встречаются в трудах многих ученых Европы в 12, 13, 14 веках. Десятичную дробь с помощью цифр и определенных знаков попытался записать арабский математик ал-Уклисиди в X веке. Свои мысли по этому поводу он выразил в «Книге разделов об индийской арифметике». В XV веке, в Узбекистане, вблизи города Самарканда жил математик и астроном Джемшид Гиясэддин ал-Каши (дата рождения неизвестна). Он наблюдал за движением звезд, планет и Солнца, в этой работе ему необходимы были десятичные дроби. Ал-Каши написал книгу «Ключ к арифметике» (была издана в 1424 году), в которой он показал запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Ученый пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов. Но этот труд до европейских ученых своевременно не дошел. Примерно в это же время математики Европы также пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге «Математический канон» французского математика Ф. Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так 2 135436 — дробная часть и подчеркивалась и записывалась выше строки целой части числа. В 1585 г., независимо от ал-Каши, фламандский ученый Симон Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чем написал в своей книге «Десятая» (на французском языке «De Thiende, La Disme»). Эта маленькая работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действий с десятичными дробями. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Например, число 12, 761 записывалось так: 1207À 6Á 1Â 12 или число 0, 3752 записывалось так: 3-7-5-2-. Именно Стевина и считают изобретателем десятичных дробей. Запятая в записи дробей впервые встречается в 1592г., а в 1617г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой. Современную запись, т.е. отделение целой части запятой, предложил Кеплер (1571) — (1630 гг.). В странах, где говорят по-английски (Англия, США, Канада и др.), и сейчас вместо запятой пишут точку, например: 2.3 и читают: два точка три. Действия над десятичными дробями 1. Сложение (вычитание) десятичных дробей При сложении (вычитании) десятичных дробей пользуются следующим правилом: а) уравнивают количество знаков после запятой в обеих дробях (с помощью нулей); б) записывают дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; в) выполняют действие, не обращая внимания на запятую; г) подставляют в результате запятую под запятыми в данных дробях Пример: Сложить 5, 607 и 4, 1 1. Уравниваем количество знаков после запятой в обеих дробях: 5, 607 и 4, 100 2. Записываем дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой: + 5, 607 4, 100 3, 4. Выполняем действие, не обращая внимания на запятую: 9, 707 2. Умножение десятичных дробей 2.1. Умножение десятичной дроби на натуральное число При умножении десятичных дробей на натуральное число используют правило а) умножают дробь на это число, не обращая внимания на запятую; б) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено в данной дроби Пример: Умножить 8, 607 на 5 1. Умножаем дробь на число, не обращая внимания на запятую: х 8, 607 5 43, 035. 2. В полученном произведении отделяем 3 знака справа: 43, 035 2.2. Умножение десятичных дробей а) выполняют умножение, не обращая внимания на запятые; б) отделяют запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе Пример: Умножить 1, 25 на 2, 04 1. Записываем дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой: х 1, 25 2, 04 + 500 250. 2, 5500. 2. В полученном произведении отделяем 4 знака справа: 2, 5500 3. Деление десятичных дробей 3.1. Деление десятичной дроби на натуральное число При делении десятичной дроби на натуральное число запятая ставится в частном, когда заканчивают деление целой части. Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых Пример: Разделить 0, 644 на 92 - 0, 644 92 0 0, 007 - 06 - 64 - 644 644 3.2. Деление десятичной дроби на десятичную дробь а) в делимом перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе; б) после этого выполнить деление на натуральное число Пример: Разделить 2, 808 на 0, 12 1. Переносим в числе 2, 808 запятую в право на 2 знака, так как у нас в числе 0, 12 два знака после запятой, и наша задача сводится к делению 280, 8 на 12. 280, 8 12 24 23, 4 40 36 48 48 Получаем 280, 8: 12 = 23, 4. Литература 1. Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965. 415 с. 2. Свечников А.А. Путешествие в историю математики или Как люди учились считать: Книга для тех, кто учит и учится. М.: Педагогика-Пресс, 1995. 168 с.

Введение

В этом году мы начали изучать обыкновенные дроби. Очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. Хотя с первого знакомства с ними было понятно, что без них не обойтись даже в обычной жизни, так как нам каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и мне даже в определенный момент показалось, что нас больше окружают не целые, а дробные числа. С ними мир оказался сложней, но в тоже время интересней. У меня возникли вопросы. Нужны ли дроби? Важны ли они? Мне захотелось узнать, откуда пришли к нам дроби, кто придумал правила работы с ними. Хотя слово придумал, наверное, не очень подходит, потому что в математике все должно быть проверено, поскольку все науки и производства в нашей жизни опираются на четкие математические законы, действующие во всем мире. Не может быть так, что у нас в стране сложение дробей выполняют по одному правилу, а где-нибудь в Англии по-другому.

В ходе работы над рефератом мне пришлось столкнуться с некоторыми трудностями: с новыми терминами и понятиями, пришлось поломать голову, решая задачки, и разбирая решение, предложенное древними учеными. Так же при наборе текста я впервые столкнулась с необходимостью напечатать дроби и дробные выражения.

Цель моего реферата: проследить историю развития понятия обыкновенной дроби, показать необходимость и важность использования обыкновенных дробей при решении практических задач. Задачи, которые я ставила перед собой: сбор материала по теме реферата и его систематизация, изучение старинных задач, обобщение обработанного материала, оформление обобщенного материала, подготовка презентации, презентация реферата.

Моя работа состоит из трех глав. Мной были изучены и обработаны материалы 7 источников, среди которых учебная, научная и энциклопедическая литература, Интернет-сайт. Мною оформлено приложение, в котором содержится подборка задач из древних источников, некоторые занимательные задачи с обыкновенными дробями, а также подготовлена презентация, сделанная в редакторе Power Point.

«Без знания дробей никто не может

признаваться знающим арифметику! »

Цицерон

Возникновение дробей

Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей земельных участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица измерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Например, измеряя длину участка шагами, человек встречался с таким явлением: в длине укладывалось десять шагов, и оставался остаток меньше одного шага. Поэтому второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида 1/n. Дальнейшее развитие естественным образом идет в сторону рассмотрения этих дробей как единиц, из которых могут быть составлены дроби m/n – рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».

Система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа. Важную роль играли также многочисленные заимствования идей при культурных контактах различных цивилизаций.

Дроби в Древнем Египте

В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»). Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

Египтяне использовали только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.

Иероглиф

Значение

Примерная величина

большая часть глаза

¹/₂ (или ³²/₆₄)

зрачок

¹/₄ (или ¹⁶/₆₄)

бровь

¹/₈ (или ⁸/₆₄)

меньшая часть глаза

¹/₁₆ (или ⁴/₆₄)

капля слезы (? )

¹/₃₂ (или ² /₆₄)

знак сокола (? )

¹/₆₄

Уаджет

⁶³/₆₄

Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья. Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав " здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от ¹/₂ до ¹/_64.[7]

Сумма шести знаков, входящих в Уаджет, и приведенных к общему знаменателю: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Гора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Хекат ячменя: ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₃₂ (то есть ²⁵/₃₂ сосуда ячменя).

Хекат равнялся примерно 4, 785 литрам.

Всякую другую дробь египтяне представляли как сумму аликвотных дробей, например 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 и так далее.

Это записывалось так: /2 /16; /2 /4 /8.

В некоторых случаях это кажется достаточно просто. Например, 2/7 = 1/7 + 1/7. Но ещё одним правилом египтян было отсутствие в ряду дробей повторяющихся чисел. То есть 2/7 по их мнению было 1/4+1/28.

Сейчас сумма нескольких аликвотных дробей называется египетской дробью. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Проводить различные вычисления, выражая все дроби через единичные, было, конечно, очень трудно и отнимало много времени. Поэтому египетские ученые позаботились об облегчении труда писца. Они составили специальные таблицы разложений дробей на простейшие. Математические документы древнего Египта это не научные трактаты по математике, а практические учебники с примерами, взятыми из жизни. Среди задач, которые должен был решать ученик школы писцов, - вычисления и вместимости амбаров, и объема корзины, и площади поля, и раздела имущества среди наследников, и другие. Писец должен был запомнить эти образцы и уметь быстро применять их для расчетов.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима.

Самый древний памятник египетской математики, так называемый «Московский папирус», - документ XIX века до нашей эры. Он был приобретен в 1893 году собирателем древних сокровищ Голенищевым, а в 1912 году перешел в собственность Московского музея изящных искусств. В нем содержалось 25 различных задач.

Например, в нем рассматривается задача о делении 37 на число, заданное как (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Путем последовательного удвоения этого дробного числа и выражения разности между 37 и тем, что получилось, а также при помощи процедуры, по сути, аналогичной нахождению общего знаменателя, получается ответ: частное равно 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби вида 2\n от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм аликвотных дробей. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением. Вот, например, как 5 делили на 21:

Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет - 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца». [1]

Еще одна задача из папируса Ахмеса, демонстрирующая применение аликвотных дробей: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».
Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.
А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Египетские таблицы дробей и различные вавилонские таблицы - древнейшие из известных нам средств, облегчающих вычисления.

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» - это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Дроби в Древнем Вавилоне.

Известно, что в древнем Вавилоне использовали шестидесятеричную систему счисления. Ученые этот факт связывают с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 60² = 3600, 60³ = 216000 и т.д. Это первые в мире систематические дроби, т.е. дроби, у которых знаменателем являются степени одного и того же числа. Пользуясь такими дробями, вавилоняне должны были многие дроби изображать приближенно. В этом недостаток и в то же время преимущество этих дробей. Эти дроби стали постоянным орудием научных вычислений греческих, а затем арабоязычных и средневековых европейских ученых вплоть до XV века, пока не уступили место десятичным дробям. Но шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов вплоть до XVII, называя их астрономическими дробями.

Шестидесятеричная система счисления предопределила большую роль в математике Вавилона различных таблиц. Полная вавилонская таблица умножения должна была бы содержать произведения от 1х1 до 59х59, то есть 1770 чисел, а не 45 как наша таблица умножения. Запомнить наизусть такую таблицу практически невозможно. Даже в записанном виде она была бы очень громоздкой. Поэтому для умножения, как и для деления, существовал обширный набор различных таблиц. Операцию деления в вавилонской математике можно назвать «проблемой номер один». Деление числа m на число n вавилоняне сводили к умножению числа m на дробь 1\ n и даже термина «делить» у них не существовало. Например, при вычислении того, что мы записали бы как х = m: n, они всякий раз рассуждали так: возьми обратную от n, ты увидишь 1\ n, умножь m на 1\ n, и ты увидишь х. Конечно, вместо наших букв жители Вавилона называли конкретные числа. Таким образом, важнейшую роль в вавилонской математике играли многочисленные таблицы обратных величин.

Кроме того, для вычислений с дробями вавилоняне составляли обширнейшие таблицы, выражавшие в шестидесятиричных дробях основные дроби. Например:

1\16 = 3\60 + 45\60², 1\54 = 1\60 + 6\60² + 40\60³.

Сложение и вычитание дробей вавилонянами производилось аналогично соответствующим действиям над целыми числами и десятичными дробями в нашей позиционной системе счисления. Но как умножалась дробь на дробь? Достаточно высокое развитие измерительной геометрии (землемерие, измерение площадей) позволяет предположить, что вавилоняне преодолевали эти затруднения с помощью геометрии: изменение линейного масштаба в 60 раз дает изменение масштаба площади в 60 · 60 раз. Следует заметить, что в Вавилоне расширение области натуральных чисел до области положительных рациональных чисел окончательно не произошло, так как вавилоняне рассматривали только конечные шестидесятеричные дроби, в области которых деление не всегда выполнимо. Кроме того, у вавилонян в обиходе были дроби 1\2, 1\3, 2\3, 1\4, 1\5, 1\6, 5\6, для которых существовали индивидуальные знаки.

Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд Минута означает по-латыни «маленькая часть», секунда- «вторая»

( маленькая часть). [2]

Аликвотные дроби

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач, в том числе пришедших из глубины веков. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. [3] Разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) на две аликвотные дроби систематизировано в виде формул

2/n=1/n + 1/n; например, при n = 9 2\9 = 1\9 + 1\9

2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1), например, при n = 2 2/5=1/3 + 1/15

2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1) например, при n = 5 2/11=1/6 + 1/66.

Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Эту формулу можно преобразовать и получить следующее полезное равенство: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Например, 1/6=1/(2·3)=1/2 -1/3

То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.

Пример. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

а) трех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

в) пяти слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

Вместо мелких долей крупные

На машиностроительных заводах есть очень увлекательная профессия, называется она - разметчик. Разметчик намечает на заготовке линии, по которым эту заготовку следует обрабатывать, чтобы придать ей необходимую форму.

Разметчику приходится решать интересные и подчас нелегкие геометрические задачи, производить арифметические расчеты и т. д.
" Понадобилось как-то распределить 7 одинаковых прямоугольных пластинок равными долями между 12 деталями. Принесли эти 7 пластинок разметчику и попросили его, если можно, разметить пластинки так, чтобы не пришлось дробить ни одной из них на очень мелкие части. Значит, простейшее решение - резать каждую пластинку на 12 равных частей - не годилось, так как при этом получалось много мелких долей. Как же быть?
Возможно ли деление данных пластинок на более крупные доли? Разметчик подумал, произвел какие-то арифметические расчеты с дробями и нашел все-таки самый экономный способ деления данных пластинок.
Впоследствии он легко дробил 5 пластинок для распределения их равными долями между шестью деталями, 13 пластинок для 12 деталей, 13 пластинок для 36 деталей, 26 для 21 и т. п.

Оказывается, разметчик представил дробь 7\12 в виде суммы единичных дробей 1\3 + 1\4. Значит, если из 7 данных пластинок 4 разрезать на три равные части каждую, то получим 12 третей, то есть по одной трети для каждой детали. Остальные 3 пластинки разрежем 4 равные части каждую, получим 12 четвертей, то есть по одной четверти для каждой детали. Аналогично, используя представления дробей в виде суммы единичных дробей 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9. [4]

III. Занимательные дроби

Дроби-домино

Домино – настольная игра, распространенная во всем мире. Игра домино чаще всего состоит из 28 прямоугольных плиток-костей. Костяшка домино представляет собой прямоугольную плитку, лицевая сторона которой разделена линией на две квадратные части. Каждая часть содержит от нуля до шести точек. Если убрать кости, не содержащие очков хотя бы на одной половине (бланши), то оставшиеся кости можно рассматривать как дроби. Кости, обе половины которых содержат по одинаковому количеству очков (дубли), представляют из себя неправильные дроби, равные единице. Если убрать еще эти кости, то останется 15 костей. Их можно располагать по-разному и получать интересные результаты. [4]

1. Расположение в 3 ряда, сумма дробей в каждом из которых, равна 2 .

; ;

2. Расположение всех 15 костей в три ряда по 5 костей в каждом, употребляя некоторые из костей домино как неправильные дроби, например 4/3, 6/1, 3/2 и т. д., так, чтобы сумма дробей в каждом ряду равнялась числу 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Расположение в ряды дробей, сумма которых будет числом целым (но разным в разных рядах).

Из глубины веков.

«Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это означает, что вопрос изучен до конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово «скрупулёзно» от римского названия 1/288 асса – «скрупулус».

«Попасть в дроби». Это выражение означает попасть в трудное положение.

«Асс» - единица измерения массы в фармакологии (аптекарский фунт).

«Унция» - единица массы в английской системе мер, единица измерения массы в фармакологии и химии.

IV. Заключение.

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XVв. пишет: «Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…».

Я сделала вывод, что история обыкновенных дробей - это извилистая дорога со многими препятствиями и трудностями. При работе над рефератом я узнала много нового и интересного. Прочитала много книг и разделов из энциклопедий. Познакомилась с первыми дробями, которыми оперировали люди, с понятием аликвотная дробь, узнала новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. Сама попробовала решать олимпиадные и занимательные задачи, самостоятельно подбирала примеры разложения обыкновенных дробей на аликвотные дроби, разбирала решение приведенных в текстах примеров и задач. Ответ на вопрос, который я задала себе перед началом работы над рефератом: обыкновенные дроби необходимы, они важны. Интересно было готовить презентацию, пришлось обращаться за помощью к учителю и одноклассникам. Так же при наборе текста я впервые столкнулась с необходимостью печатать дроби и дробные выражения. На школьной конференции я представила свой реферат. Так же выступала перед своими одноклассниками. Слушали очень внимательно и, по-моему, им было интересно.

Задачи, которые я ставила перед началом работы над рефератом, считаю, мною выполнены.

Введение

Большинство применений математики связано с измерением величин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно; не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел – получили рациональные числа, а в V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позже, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными.

Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня – этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Исходя из актуальности данной проблемы мы выбрали темой нашего исследования «Формирование математических понятий» (Дроби.5 класс).

Объект исследования – процесс формирования понятия дроби.

Предмет исследования – приемы введения и формирования математических понятий на уроках математики.

Цель исследования – разработать приемы введения и формирования математических понятий на уроках математики.

В соответствии с целью в основу исследования была положена гипотеза, что понятие дроби будет сформировано у учащихся 5 классов при систематической и целенаправленной работе, направленной на формирование понятия дроби как рационального числа.

В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:

- проанализировать методико-математическую и психолого-педагогическую литературу и выявить теоретические положения, связанные с понятием дроби;

- проанализировать методико-математическую литературу и выявить приемы введения и формирования понятия дроби на уроках математики, рассмотреть различные подходы к введению понятия дроби;

- отобрать и апробировать упражнения, направленные на формирование дроби как рационального числа;

- разработать методические рекомендации по приемам введения и формирования дроби как рационального числа.

Для решения поставленных задач использованы методы исследования: наблюдение, педагогический эксперимент, анализ продуктов деятельности учащихся, тестирование.

Исследования проводились в три этапа:

1 этап – поисково-теоретический. В процессе анализа психолого-педагогической и методической литературы были обеспечены методология, методика исследования, его понятийный аппарат, проблема, объект, предмет, задачи, методы и гипотеза исследования.

2 этап – опытно-экспериментальный. На этом этапе разработаны и проведены уроки математики с использованием заданий творческого характера, осуществлялась проверка рабочей гипотезы; проводилась обработка полученных результатов.

3 этап – заключительно-обобщающий. Этот этап включал обработку и систематизацию материала, апробацию и внедрение результатов в практику.

Все 3 этапа носили отражение в нашей работе.

Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, включающего 20 наименований, приложений.

База исследования: Исследование осуществлялось на базе Семибугровской СОШ с. Семибугры Камызякского района.

Испытуемые – ученики 5 «А» класса в количестве 14 учащихся и ученики параллельного 5 «Б» класса в количестве 14 учащихся.

Практическая значимость исследования состоит в формировании математического понятия дроби как рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дроби как рационального числа.

Обыкновенная дробь – это число вида , где и – натуральные числа. Число называется знаменателем дроби и показывает, на сколько равных частей разделена единица. Число называется числителем дроби и показывает, сколько таких частей взято. Если , то дробь правильная, если же , то дробь неправильная.

Например, дроби и – правильные, а дроби и – неправильные.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится: и .

Дробь является несократимой, если числитель и знаменатель этой дроби представлены взаимно простыми числами.

Например, дроби и – несократимые, а дроби и – сократимые.

Числа вида называют смешанными. Как правило, в записи этих чисел знак « » между целой и дробной частью числа опускают и пишут: .

Всякое смешанное число можно представить в виде обыкновенной дроби: .

Например, .

У обыкновенной дроби всегда можно выделить целую часть. Например, у правильной дроби целая часть равна нулю; у неправильной дроби целая часть равна , т.е. .