Дроби в Древнем Вавилоне.

Известно, что в древнем Вавилоне использовали шестидесятеричную систему счисления. Ученые этот факт связывают с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 60² = 3600, 60³ = 216000 и т.д. Это первые в мире систематические дроби, т.е. дроби, у которых знаменателем являются степени одного и того же числа. Пользуясь такими дробями, вавилоняне должны были многие дроби изображать приближенно. В этом недостаток и в то же время преимущество этих дробей. Эти дроби стали постоянным орудием научных вычислений греческих, а затем арабоязычных и средневековых европейских ученых вплоть до XV века, пока не уступили место десятичным дробям. Но шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов вплоть до XVII, называя их астрономическими дробями.

Шестидесятеричная система счисления предопределила большую роль в математике Вавилона различных таблиц. Полная вавилонская таблица умножения должна была бы содержать произведения от 1х1 до 59х59, то есть 1770 чисел, а не 45 как наша таблица умножения. Запомнить наизусть такую таблицу практически невозможно. Даже в записанном виде она была бы очень громоздкой. Поэтому для умножения, как и для деления, существовал обширный набор различных таблиц. Операцию деления в вавилонской математике можно назвать «проблемой номер один». Деление числа m на число n вавилоняне сводили к умножению числа m на дробь 1\ n и даже термина «делить» у них не существовало. Например, при вычислении того, что мы записали бы как х = m: n, они всякий раз рассуждали так: возьми обратную от n, ты увидишь 1\ n, умножь m на 1\ n, и ты увидишь х. Конечно, вместо наших букв жители Вавилона называли конкретные числа. Таким образом, важнейшую роль в вавилонской математике играли многочисленные таблицы обратных величин.

Кроме того, для вычислений с дробями вавилоняне составляли обширнейшие таблицы, выражавшие в шестидесятиричных дробях основные дроби. Например:

1\16 = 3\60 + 45\60², 1\54 = 1\60 + 6\60² + 40\60³.

Сложение и вычитание дробей вавилонянами производилось аналогично соответствующим действиям над целыми числами и десятичными дробями в нашей позиционной системе счисления. Но как умножалась дробь на дробь? Достаточно высокое развитие измерительной геометрии (землемерие, измерение площадей) позволяет предположить, что вавилоняне преодолевали эти затруднения с помощью геометрии: изменение линейного масштаба в 60 раз дает изменение масштаба площади в 60 · 60 раз. Следует заметить, что в Вавилоне расширение области натуральных чисел до области положительных рациональных чисел окончательно не произошло, так как вавилоняне рассматривали только конечные шестидесятеричные дроби, в области которых деление не всегда выполнимо. Кроме того, у вавилонян в обиходе были дроби 1\2, 1\3, 2\3, 1\4, 1\5, 1\6, 5\6, для которых существовали индивидуальные знаки.

Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд Минута означает по-латыни «маленькая часть», секунда- «вторая»

( маленькая часть). [2]

II. Применение обыкновенных дробей

Аликвотные дроби

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач, в том числе пришедших из глубины веков. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. [3] Разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) на две аликвотные дроби систематизировано в виде формул

2/n=1/n + 1/n; например, при n = 9 2\9 = 1\9 + 1\9

2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1), например, при n = 2 2/5=1/3 + 1/15

2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1) например, при n = 5 2/11=1/6 + 1/66.

Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Эту формулу можно преобразовать и получить следующее полезное равенство: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Например, 1/6=1/(2·3)=1/2 -1/3

То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.

Пример. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

а) трех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

в) пяти слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: