Конспекты лекций: http :// nicksokolov . narod . ru

Стр 1 из 18Следующая ⇒

Лекция 1

Содержание курса лекций

По теории телетрафика

1. Предмет курса " Теория телетрафика"

2. Математический аппарат теории телетрафика

3. Концепция качества обслуживания

4. Потоки вызовов

5. Телефонная нагрузка. Системы с потерями

6. Системы с ожиданием

7. Системы с приоритетами

8. Методы измерения телефонной нагрузки

9. Современные модели телетрафика

10. Итоги курса " Теория телетрафика"

Литература:

1. Л. Клейнрок. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение, 1979.

2. Л. Клейнрок. Вычислительные системы с очередями. – М.: Мир, 1979.

3. Ю.Н. Корнышев, А.П. Пшеничников, А.Д. Харкевич. Теория телетрафика. – М.: Радио и Связь, 1996.

4. В.В. Крылов, С.С. Самохвалова. Теория телетрафика и ее приложения. – СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 2005.

5. Г.П. Башарин. Лекции по математической теории телетрафика. – М.: РУДН, 2009.

6. С.Н. Степанов. Основы телетрафика мультисервисных сетей. – М.: Эко-Трендз, 2010.

7. А.Н. Соколов, Н.А. Соколов. Однолинейные системы массового обслуживания. – Учебное пособие, СПбГУТ, 2010

Конспекты лекций: http: // nicksokolov. narod. ru

Предмет курса " Теория телетрафика"

Краткая история дисциплины " Теория телетрафика"

Базовые результаты теории массового обслуживания были сформулированы в начале XX века. Основоположником ее прикладной ветви – теории телетрафика – считается датский математик А.К. Эрланг, родившийся в 1878 и умерший в 1929 году. Именно на результаты А.К. Эрланга – как на базовые положения теории массового обслуживания – ссылаются специалисты, занимающиеся подобными исследованиями. В настоящее время теория массового обслуживания, помимо инфокоммуникационных систем, эффективно используется для решения задач торговли, транспорта и других сфер экономической деятельности.

Примеры задач, исследуемых методами теории телетрафика

Основные задачи, с которых началось развитие теории телетрафика, можно перечислить, используя классификацию Кендалла. Рассмотрим одну из самых простых СМО (систем массового обслуживания), обозначаемых в классификации Кендалла следующим образом:

. (1)

Символ в первой позиции классификации Кендалла определяет вид функции распределения длительности интервалов между моментами поступления соседних заявок – :

(2)

Величина – интенсивность входящего потока заявок. Она измеряется числом заявок, поступающих в единицу времени. Математическое ожидание (среднее значение) длительности интервалов между моментами поступления соседних заявок (оно обычно обозначается символами или ) определяется следующим соотношением:

. (3)

Величина для любого вида функции может быть получена по известному правилу вычисления математического ожидания случайной величины. Символ во второй позиции классификации Кендалла определяет вид функции распределения длительности обслуживания заявок – :

(4)

Величина – интенсивность обслуживания заявок. Она измеряется числом заявок, которое СМО обслуживает в единицу времени. Математическое ожидание длительности обслуживания ( или ) определяется по такой формуле:

(5)

Символ " " в третьей позиции классификации Кендалла определяет численность обслуживающих приборов.

Модель широко используется в теории телетрафика. Например, пучок СЛ (соединительных линий) между коммутационными станциями в большинстве случаев изучают с помощью модели . Для пучка СЛ заявкой будет вызов, поступающий на вход соответствующей СМО. Длительностью обслуживания становится время занятия линии в пучке СЛ. Обслуживающим прибором следует считать набор из линий, образующих пучок СЛ.

Обычно пучок СЛ работает как СМО с потерями. Это означает, что при занятости всех линий поступивший вызов теряется. Вероятность потери вызова обозначим буквой . Для рассматриваемого примера практический интерес представляют четыре задачи:

· по известным величинам интенсивности входящего потока вызовов и интенсивности обслуживания найти такую емкость пучка СЛ (величину ), чтобы вероятность потерь не превышала заранее выбранный порог ;

· по известным величинам интенсивности входящего потока вызовов , интенсивности обслуживания и емкости пучка СЛ найти вероятность потери вызовов ;

· по известным величинам интенсивности входящего потока вызовов , емкости пучка СЛ и допустимой вероятности потерь вызовов найти допустимую величину интенсивности обслуживания ;

· по известным величинам интенсивности обслуживания , емкости пучка СЛ и допустимой вероятности потерь вызовов найти допустимую величину интенсивности входящего потока вызовов .

Если удастся составить уравнение с четырьмя неизвестными ( и ), то его всегда можно решить (хотя бы численными методами). Рассматриваемый пример – одна из важнейших практических задач эффективного развития сетей телефонной связи в начале XX века. Ее успешно решил А.К. Эрланг. Он вывел формулу, определяющую зависимость вероятности потерь от величин , и . Она получила название " Первая формула Эрланга".

Теперь усложним задачу. Рассмотрим цифровой тракт между коммутационными станциями мультисервисной сети. По этому тракту передаются пакеты, для обслуживания которых используется дисциплина с ожиданием. Из очереди пакеты извлекаются с учетом назначенных им приоритетов для обработки и передачи. Понятно, что исследование систем, описывающих процессы обмена пакетами в мультисервисной сети, заметно сложнее, чем анализ модели . К перечисленным выше четырем задачам, представляющим практический интерес, следует добавить такие проблемы:

· анализ длительности задержки пакетов в узлах мультисервисной сети;

· выбор оптимальных правил назначения приоритетов с учетом факторов, характерных для мультисервисной сети.

Сложность анализа систем телетрафика зависит от вида функций и , а также от алгоритма обслуживания заявок. Кроме того, сложность этого анализа определяется способом нормирования показателей качества обслуживания. Если показатель качества обслуживания нормируется только средним значением (математическим ожиданием), то анализ систем телетрафика обычно не сложен. Если нормируется параметр, для которого необходимо знать вид распределения случайной величины, то часто требуются сложные исследования.

Основы теории вероятностей

Введение

Теория вероятностей – раздел математики, посвященный случайным величинам. Точное определение термина " случайная величина", отвечающее строгим математическим канонам, можно найти в монографиях, которые посвящены фундаментальным основам теории вероятностей. Для прикладных дисциплин можно использовать менее строгие определения.

Случайные величины обычно делят на дискретные и непрерывные. Дискретный или непрерывный характер случайной величины определяется объективными свойствами исследуемого процесса. Для проведения анализа некоторых СМО целесообразно переходить от непрерывных случайных величин к дискретным или наоборот.

Допустим, что мы провели измерений числа разговаривающих абонентов АТС. При этом раз численность разговаривающих абонентов (событие " " ) была одной и той же. Тогда вероятность наступления интересующего нас события – определяется следующим образом:

Рассмотрим пример, когда в результате проведения 1000 измерений мы 50 раз обнаружим 800 разговаривающих абонентов (событие " " ). Оценку 0, 05, строго говоря, нельзя считать вероятностью , так как число проведенных измерений было конечной величиной. Эту оценку 0, 05 называют частотой или частостью.

В теории вероятностей важную роль играют аксиомы, которые сформулированы известным российским математиком А.Н. Колмогоровым. Четыре основные аксиомы приводятся ниже в следующей форме:

а) каждому событию " " ставится в соответствие неотрицательное число – его вероятность ;

б) вероятность достоверного события " " равна единице – ;

в) если " " и " " непересекающиеся события, то вероятность события " " или " " (оно обычно обозначается как " " ) – равна сумме ;

г) условная вероятность наступления события " ", если уже произошло событие " ", – определяется как .

Для пояснения термина " условная вероятность" целесообразно использовать две простые геометрические фигуры. Они приведены в левой части рисунка. Подобный подход позволяет наглядно интерпретировать события и вероятность их наступления.

Геометрическая интерпретация условной вероятности

События " " и " " заключаются в попадании точки в одноименные области, которые показаны в левой части рисунка. Событие " " имеет одну особенность. Оно имеет место, когда события " " и " " наступают одновременно. Тогда вероятность события " " при условии, что уже произошло событие " ", представима как отношение площадей " " и " ". Если события " " и " " несовместны, то условная вероятность равна нулю. Этот утверждение наглядно иллюстрирует правый фрагмент рисунка: площадь пересечения двух областей равна нулю.

Из аксиом теории вероятностей можно сделать ряд важных для теории и практики выводов. В частности, если могут наступить только события " " и " ", то справедливы такие соотношения:

или

Очевидно также, что . Из аксиомы (в) можно получить более общее соотношение для попарно непересекающихся событий:

Полной характеристикой случайной величины служит закон ее распределения. Этот закон устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Знание закона распределения позволяет сравнительно простыми математическими методами получить оценки случайной величины, важные для практической работы.

Закон распределения может быть представлен различными способами. Основной интерес представляет функция распределения (ФР) случайной величины – . В большинстве учебников по теории вероятностей используется ФР вида , но у нас осью абсцисс всегда будет " время". Поэтому аргументом ФР служит буква " ", обычно указывающая на время. По всей видимости, такой выбор объясняется тем, что во многих языках слово " время" начинается с буквы " ". Далее будут рассматриваться случайные величины, определенные для . Пример ФР случайной величины показан на рисунке. Эта функция определена на отрезке

Функция распределения случайной величины

ФР представляет собой монотонно возрастающую функцию. Она определяется таким соотношением:

Иными словами ФР равна вероятности соблюдения неравенства На рисунке указаны две точки и , которым соответствуют вероятности и . Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал ( , ), равна разности . В некоторых случаях практический интерес представляет дополнительная ФР – . Очевидно, что

Следует отметить, что в некоторых публикациях ФР определяется иначе – нестрогим неравенством:

Различие в этих определениях существенно только для дискретных случайных величин.

Основные характеристики случайной величины могут быть получены из функции . Среди этих характеристик большое практическое значения имеют математическое ожидание, дисперсия, асимметрия и эксцесс. Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины – может быть рассчитано по такой формуле:

Математическое ожидание представляет собой начальный момент первого порядка. В общем случае начальный момент порядка – определяется таким соотношением:

В некоторых монографиях используется иная формула для расчета математического ожидания случайной величины – через плотность вероятности . Последняя формула удобна тем, что она универсальна для непрерывных и дискретных случайных величин. Следует отметить, что случайная величина может не иметь математического ожидания. Для большинства задач такие ситуации не представляют практического интереса.

Математическое ожидание суммы случайных величин определяется следующим образом:

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин может быть вычислено по такой формуле:

Математическое ожидание определяет положение центра распределения случайной величины. Для функции обычно определяют медиану и моду. Медиана делит площадь под кривой пополам. Мода непрерывной случайной величины – такое значение , в котором функция достигает локального максимума. Если функция имеет один максимум, то распределение называется унимодальным. Мультимодальное распределение имеет несколько мод. На рисунке показаны два графика функции . Эта функция является унимодальной.

Математическое ожидание, медиана и мода

В левой части этого рисунка показано распределение, для которого значения математического ожидания, медианы и моды различны. Для функции , изображенной в правой части рисунка, значения математического ожидания, медианы и моды совпадают.

Дисперсия случайной величины – характеризует меру рассеяния случайной величины. Она рассчитывается как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения:

Дисперсия является центральным моментом второго порядка. Центральный момент порядка – определяется таким соотношением:

Корень второй степени из дисперсии – называется среднеквадратическим (или стандартным) отклонением. Отношение среднеквадратического отклонения к среднему значению (если оно больше нуля) именуется коэффициентом вариации случайной величины – :

Начальные и центральные моменты порядка для упрощения часто обозначают как и соответственно. Для этих моментов справедливы следующие соотношения:

Коэффициент асимметрии распределения случайной величины – определяет степень неравномерности плотности вероятности относительно своего центра. Он рассчитывается по такой формуле:

Коэффициент эксцесса распределения случайной величины – характеризует " островершинность" плотности вероятности . Обычно эту характеристику применяют к унимодальным распределениям.

Четыре примера непрерывных распределений

Важной характеристикой ФР следует считать квантиль. На рисунке показаны два квантиля, для которых значения ФР составляют 0, 5 и 0, 95 соответственно. Графически квантиль определяется очень просто. Аналитически значения квантиля можно получить решением уравнения:

Квантили функции распределения

Иногда функция распределения определяется в процентах – от 0 до 100%. Тогда квантиль также задается в процентах. В этом случае вместо термина " квантиль" используется термин " процентиль".

Лекция 2

Данные – сведения, полученные путем измерения, наблюдения, логических или арифметических операций. Данные должны быть представленные в форме, пригодной для постоянного хранения, передачи и (автоматизированной) обработки.

Информатика – в широком смысле – отрасль знаний, изучающая общие свойства и структуру научной информации, а также закономерности и принципы ее создания, преобразования, накопления, передачи и использования в различных областях человеческой деятельности. Информатика – в узком смысле – отрасль знаний, изучающая законы и методы накопления, передачи и обработки информации с помощью компьютера.

Искусственный интеллект – способность прикладного процесса обнаруживать свойства, ассоциируемые с разумным поведением человека. Искусственный интеллект – раздел информатики, занимающийся вопросами имитации мышления человека с помощью компьютера.

Кибернетика – наука об управлении, связи и переработке информации. Основным объектом исследования кибернетики являются абстрактные кибернетические системы: от компьютеров до человеческого мозга и человеческого общества. В зависимости от области применения различают политическую, экономическую и социальную кибернетику. Особое значение в теории управления имеет принцип саморегулирования (принцип кибернетики – гомеостазис), позволяющий противостоять воздействию извне и перестраиваться в целях самосохранения.

Информационная экономика – экономика, в которой значительная часть валового внутреннего продукта обеспечивается деятельностью по производству, обработке, хранению и распространению информации и знаний. Некоторые специалисты полагают, что критерием перехода следует считать работу половины всех занятых (в сфере производства) информационной деятельностью.

Сетевая экономика – хозяйственная деятельность, осуществляемая с помощью электронных сетей (телекоммуникаций). Технологически сетевая экономика представляет собой среду, в которой юридические и физические лица могут контактировать между собой по поводу совместной деятельности

Электронный бизнес – бизнес, основанный на использовании информационных технологий с тем, чтобы обеспечить оптимальное взаимодействие деловых партнеров и создать интегрированную цепочку добавленной стоимости. Электронный бизнес включает: продажи, маркетинг, финансовый анализ, платежи, поиск сотрудников, поддержку пользователей и поддержку партнерских отношений.

С точки зрения инфокоммуникационной системы (связь плюс информация) процесс обмена информацией может быть представлен следующей схемой. Объем передаваемых (принимаемых) данных может быть больше или меньше объема сообщения. Один из характерных примеров – сжатие изображений.

Информация, сообщения и поток данных

К передаче (обмену) некоторых видов информации предъявляется требование поддержки реального времени (в частности, речь и трансляция телевизионных программ). В ряде случаев такие требования отсутствуют (например, при передаче телеграмм). Можно ввести некоторые функции " ценности информации", зависящие от времени доставки сообщений.

В сетях электросвязи используются средства коммутации, которые – в общем случае – выполняют две основные функции:

· распределение информации;

· концентрация трафика.

Распределение информации – доставка сообщения по заданному (постоянно или оперативно) адресу. В качестве адреса в телефонной сети обычно используется номер вызываемого абонента.

Концентрация трафика – функция оборудования коммутации, которая позволяет эффективно использовать транспортные ресурсы. Характерный пример: концентрация абонентского трафика в соотношении " 8 к 1" (одна соединительная линия на восемь абонентских линий).

Функции распределения информации и концентрации трафика

Лекция 3

Качество обслуживания

Основные понятия

Термин " качество обслуживания" часто встречается в технической литературе. В публикациях на английском языке ему соответствует словосочетание Quality of Service (QoS). Термин " качество обслуживания" употребляется при описании различных аспектов функционирования телефонных сетей. В документах МСЭ термины, относящиеся к качеству обслуживания, определяются рекомендацией E.800. Показатели QoS в этой рекомендации рассматривается как результат совместного проявления характеристик обслуживания – рисунок 1.

Рис. 1. Модель МСЭ, объясняющая термины в области качества обслуживания

На рисунке 1, заимствованном из рекомендации МСЭ E.800, показана модель, которая определяет компоненты качества обслуживания и их взаимные связи. Пунктирная линия делит рисунок на две части. В верхней части приведены основные характеристики качества обслуживания. Характеристики сети перечислены в нижней части модели. Во всех блоках указаны только названия на русском языке. В тексте приведены термины и на языке оригинала. Эти термины применимы как для ТФОП, так и для других сетей связи.

Ожидаемый уровень обслуживания может оцениваться такими характеристиками:

· поддержка обслуживания (service support);

· удобство обслуживания (service operability);

· предоставление обслуживания (serveability);

· безопасность обслуживания (service security).

Характеристики поддержки обслуживания отражают способность Оператора (или иного участника инфокоммуникационного рынка) предоставить услуги и способствовать их использованию. Характеристики удобства обслуживания оценивают успешность и простоту пользования услугами. Характеристики предоставления обслуживания, в свою очередь, делятся на три группы:

· доступность услуг (service accessibility);

· стабильность обслуживания (service retainability);

· полноценность обслуживания (service integrity).

Характеристики доступности услуг оценивают возможность их получения по требованию пользователя (с заранее специфицированными допусками и с соблюдением других заданных условий) и продолжения обслуживания в течение запрошенного интервала времени без ощутимого ухудшения. Характеристики устойчивости обслуживания определяют возможность пользования полученной услугой с заданными атрибутами в течение запрошенного интервала времени. Характеристики полноценности обслуживания – общая мера того, что обслуживание, будучи полученным, происходит без значительного ухудшения.

Характеристики безопасности обслуживания связаны со следующими аспектами функционирования сети электросвязи: несанкционированный мониторинг, жульническое использование, злонамеренное повреждение, неправильное применение, ошибка человека, стихийное бедствие.

Все перечисленные выше характеристики обслуживания зависят от качества работы сети, а также от ее функциональных возможностей. Соответствующие связи показаны на рис. 1 ниже пунктирной линии.

Характеристики начисления платы (charging performance) оцениваются в тексте рекомендации E.800 проще, чем в ряде других международных документов. Они определяются через вероятность корректного начисления платы с точки зрения вида связи, пункта назначения, времени суток и длительности соединения.

Характеристики пропускной способности (trafficability performance) определяют способность технических средств обслуживать трафик с определенными параметрами. Эти характеристики разделены на три большие группы. Термины для первой группы – " Ресурсы и оборудование" – еще не определены. По всей видимости, определения для характеристик планирования (planning performance), предоставления услуг (provisioning performance) и административного управления (administration performance) будут разработаны в ближайшее время.

Вторая группа названа функциональной надежностью (dependability). Этот собирательный термин указывает на характеристики готовности (работоспособности), учитывая основные влияющие факторы. Выделяются четыре важные характеристики:

· готовность (availability) – способность технического средства выполнить требуемые функции в данный момент времени или в любой момент внутри заданного интервала времени (при наличии соответствующих внешних ресурсов, если они необходимы);

· надежность (reliability) – способность технического средства выполнять требуемые функции при заданных условиях в течение определенного интервала времени;

· восстанавливаемость (maintainability) – способность технического средства в установленных условиях его использования поддержать восстановление такого его состояния, в каком оно может выполнять требуемые функции при условии, что техническое обслуживание проводится с применением установленных процедур и ресурсов;

· поддержка технического обслуживания (maintenance support) – способность эксплуатационной компании при заданных правилах технического обслуживания по требованию использовать ресурсы, необходимые для обеспечения работоспособности определенного технического средства.

К третьей группе относятся характеристики передачи сигналов (transmission performance). Они определяются как уровень воспроизведения сигнала, переданного через систему связи, которая находится в работоспособном состоянии. В рекомендации МСЭ E.800 выделены характеристики среды распространения (propagation performance). Они определяются способностью этой среды обеспечивать прохождение сигнала с заданными допусками без искусственного регулирования этого процесса.

Очевидно, что исследование вопросов качества обслуживания в ТФОП, как и в любой другой сети электросвязи, требует решения комплекса взаимосвязанных задач. Тем не менее, подход, предложенный МСЭ, позволяет выделить ряд задач, решение которых – применительно к ТФОП – можно рассматривать как самостоятельные проблемы. Одна из важных задач построения ТФОП состоит в том, чтобы обслуживание вызова, которое включает в себя ряд этапов, происходило с соблюдением всех установленных норм, а при телефонном разговоре соблюдались заданные показатели качества передачи речи. Эти нормы и показатели в каждой стране регламентируются национальной Администрацией связи. Их совокупность, а также соответствующие численные значения базируются на документах МСЭ и ETSI.

Для российской ТФОП показатели качества обслуживания традиционно делятся на две большие группы. В первую группу входят показатели качества обслуживания вызовов. Значительная часть этих показателей входит в блок, названный на рис. 1 характеристиками предоставления обслуживания. Характерные примеры показателей качества обслуживания вызовов рассматриваются во втором разделе данной лекции. Параметры, определяющие качество передачи речи, образуют вторую группу показателей. В третьем разделе приведены соответствующие примеры.

Качество телефонной связи

Показатели качества обслуживания, рассмотренные в предыдущем разделе этой лекции, интересны – при использовании технологии " коммутация каналов" – для этапов установления и прекращения соединений в ТФОП. Соответствующие операции выполняются до и после основного этапа обслуживания вызова – телефонного разговора двух абонентов (в общем случае – обмена информацией между терминалами). На этом этапе для абонентов ТФОП существенны показатели качества телефонной связи. Они определяются характеристиками транспортной сети и коммутационных станций.

Важнейшей оценкой качества телефонной связи считается мнение абонента. В качестве меры качества речи МСЭ использует среднюю экспертную оценку, известную по аббревиатуре MOS (Mean Opinion Score). Она определяется по пятибалльной шкале. В стандартах ETSI для оценки качества телефонной связи используется величина . Она связана с оценкой MOS нелинейной зависимостью. В практически значимом диапазоне MOS (от 2, 5 до 4, 4) применяется простое правило пересчета: . Для основной массы абонентов приемлема оценка . Связь величины с абонентской оценкой телефонной связи иллюстрируется таблицей 1.

Таблица 1. Связь величины с абонентской оценкой телефонной связи

Диапазон	Категория качества речи	Удовлетворенность абонентов
90 – 100	наилучшая (best)	удовлетворены в высшей степени
80 – 90	высокая (high)	удовлетворены
70 – 80	средняя (medium)	некоторые не удовлетворены
60 – 70	низкая (low)	многие не удовлетворены
50 – 60	плохая (poor)	почти все не удовлетворены

С точки зрения восприятия звуковой информации особое значение придается показателю LSQ (Listener Speech Quality) – качеству речи для слушающего абонента. Величины LSQ, как и значения , определяются субъективно. Тем не менее, существуют и объективные оценки качества телефонной связи. Они прямо или косвенно связаны с субъективными оценками качества передачи речи. Объективные оценки, как правило, отражают один или несколько аспектов качества телефонной связи. Ценность подобных оценок заключается в том, что они позволяют планировать ТФОП с учетом требований к качеству передачи речи. Для объективных оценок обычно используются характеристики, которые могут быть измерены в процессе эксплуатации ТФОП.

Оценки, подобные приведенным в таблице 1, интересны также и для других сетей связи. Правда, для обеспечения заданного уровня показателей качества обслуживания в этих сетях приходится решать ряд других задач.

На рис. 3 приведена модель тракта обмена информацией между телефонными аппаратами двух абонентов. Как и для модели, рассмотренной ранее, предполагается, что соединение установлено через транзитных станций, а включение обоих телефонных аппаратов осуществляется по индивидуальным двухпроводным абонентским линиям. Для показателей, определяемых между абонентскими терминалами, в качестве нижнего индекса используется цифра " 0". В других случаях вводятся буквенные обозначения при нормируемых показателях.

Рис. 3. Тракт обмена информацией между телефонными аппаратами двух абонентов

Одним из важнейших показателей качества телефонной связи считается величина остаточного затухания между абонентскими терминалами – . Она определяется как разность между уровнями сигнала частотой 1020 Гц на входе и на выходе канала, который организован между абонентскими терминалами. Снижение уровня принимаемого сигнала (при значительном остаточном затухании) ухудшает восприятие речи. В сочетании с другими мешающими факторами (в частности, с шумами) рост остаточного затухания может привести к невозможности телефонного разговора.

Требования абонентов ТФОП к остаточному затуханию разговорного тракта можно оценить при помощи сравнения с общением двух человек, находящихся на расстоянии друг от друга. Процессы, связанные с восприятием речи, очень схожи. В обоих случаях сигнал ослабевает. В таблице 2 приведены данные об изменении требований абонентов к качеству телефонной связи.

Таблица 2. Изменение требований абонентов к допустимому затуханию

Вид соединения в ТФОП	Эквивалентное расстояние при обычном общении, м
Вид соединения в ТФОП	1923 год	1933 год	1950 год	1985 год	Оптимальное
Местное	14	8, 3	3, 5	2, 0	0, 6
Междугородное	25	11, 7	5, 0	2, 0	0, 6

Очевидно, что величина остаточного затухания в процессе модернизации ТФОП должна уменьшаться. При цифровизации ТФОП такая возможность достигается за счет использования концепции " наложенной сети", рассмотренной в третьей лекции. Для цифрового участка ТФОП (между двумя АЦП) остаточное затухание целесообразно устанавливать на уровне 7 дБ. Эта величина относится к базовой сети, о которой говорилось во вводной лекции. Тогда в цифровой ТФОП (рис. 4) остаточное затухание разговорного тракта будет определяться параметрами абонентских линий.

Рис. 4. Распределение остаточного затухания в цифровой телефонной сети

В скобках для каждого обозначения остаточного затухания (между терминалами двух абонентов – , абонентской линии – и базовой сети – ) приведены те перспективные нормы, которые рекомендуются для цифровой ТФОП. Следует заметить, что повышение допустимой величины остаточного затухания для абонентской линии (ранее было нормировано значение 4, 5 дБ) может привести к проблемам с применением технологий xDSL. Кроме того, увеличиваются затраты на построение сети доступа. Эти вопросы рассматриваются в следующей лекции.

Еще одним важным показателем качества телефонной связи в цифровой ТФОП является коэффициент искажений битов – BER (Bit Error Rate). В ряде публикаций этот коэффициент называется частотой появления искаженных битов. Увеличение количества таких битов может заметно искажать речевой сигнал и существенно влиять на процессы обмена данными при использовании ресурсов ТФОП для передачи дискретной информации. Качество тракта E1, соединяющего цифровые коммутационные станции между собой, считается хорошим, если коэффициент искаженных битов не превышает уровень .

Лекция 4

Потоки заявок

Словосочетание " поток заявок" – одно из фундаментальных понятий в теории телетрафика. Его описанию в классификации Кендалла (включая все модификации) отводится первая позиция.

Поток заявок в редких случаях можно считать детерминированным. Для него время между поступлением соседних заявок – постоянная величина. Процесс поступления заявок обычно является случайным. Длительность обслуживания заявок в большинстве случаев также будет случайной величиной. Постоянная длительность обслуживания заявок встречается в некоторых элементах инфокоммуникационных сетей чаще. Как правило, функциям и , описывающим свойства входящего потока заявок и процесса их обслуживания, свойственна ненулевая дисперсия.

Этот факт иллюстрируют результаты измерений трафика, которые проводятся Операторами ТФОП. На рисунке 1 приведены статистические данные о вызовах, которые обслуживаются телефонной станцией. Статистические данные собирались о числе вызовов за каждую минуту в течение суток. Во всех случаях соединения были установлены для телефонной связи.

Рисунок 1. Количество вызовов, обслуживаемых телефонной станцией

Гистограмма, показанная на рисунке 1, была построена в результате обработки статистических данных, которые собирались в течение десяти дней. Эти десять дней соответствовали двум рабочим неделям. Конечно, такая выборка не позволяет судить об изменении количества поступающих вызовов в течение квартала или года. Правда, в некоторых случаях можно выделить тренды, описывающие изменения исследуемого процесса в течение нескольких лет. В любом случае, данные, подобные тем, что приведены на рисунке 1, представляют большой практический интерес.

Количество поступивших вызовов усреднялось по интервалам длительностью 15 минут. Такая длительность интервала очень часто используется при измерении трафика в телефонных сетях. Для сравнения на рисунке 2 показана гистограмма, которая получена при измерении трафика, поступающего в модемный пул. Все соединения в данном случае устанавливались для обмена данными или для выхода в Internet.

Рисунок 2. Количество вызовов, поступающих в модемный пул

Гистограммы, приведенные на двух рисунках, иллюстрируют существенные различия в характере потока вызовов, свойственных трафику речи и данных. Если же обратиться к потокам вызовов, поступающих в различные телефонные станции, то можно обнаружить и несоответствия для трафика одного вида. В данном случае речь идет о трафике речи. Для телефонной станции, вызовы которой иллюстрирует рисунок 1, час наибольшей нагрузки (ЧНН) приходится на дневное время. Такая ситуация характерна для телефонных станций с существенной долей абонентов делового сектора. Если телефонная станция расположена в так называемом " спальном районе", ее ЧНН приходится на вечернее время. Иногда выделяют два ЧНН – дневной и вечерний.

Следует отметить, что слово " заявка" используется как универсальный термин. Вызов – только один из примеров заявки (правда, очень важный в теории телетрафика). Поступивший вызов может породить несколько процессов (например, в системах технической эксплуатации, тарификации и других), которые не связаны с установлением соединений в инфокоммуникационной сети. Иногда в теории телетрафика используется слово " требование" как синоним термина " заявка".

В теории телетрафика – за редким исключением – рассматривают случайные потоки вызовов. Детерминированные потоки вызовов встречаются в практической деятельности очень редко. Тем не менее, именно для детерминированных потоков вызовов проще сформулировать некоторые положения теории телетрафика.

Детерминированный поток вызовов может быть представлен последовательностью ( ). Вызовы поступают только в моменты времени . Могут накладываться некоторые ограничения на число поступающих вызовов. Простейший случай – в любой момент времени ( ) может поступить не более чем один вызов. Такой поток называется ординарным.

На рисунке 3 показаны два способа представления потока вызовов. Способ (а) иллюстрирует изложенный выше метод описания потока вызовов. Способ (б), основанный на применении ступенчатой функции , позволяет наглядно отразить ряд свойств потока вызовов. Функция представляет ординарный поток вызовов. Очевидно, что функция описывает неординарный поток вызовов. Обе функции для наглядности имеют приращения в одних и тех же точках по оси абсцисс. Для функции все приращения по оси одинаковы, так как в любой момент времени поступает один вызов. Для неординарного потока на рисунке 3 показана возможность поступления двух ( и ) и даже трех ( ) вызовов, что определяется величиной приращения функции по оси ординат.

Рисунок 3. Два способа представления потока вызовов

Ось абсцисс для некоторых приложений удобно определять как последовательность промежутков ( ) между вызовами. Величина представляет собой разность для

Различия между детерминированным и случайным потоками вызовов можно свести к свойствам функции . Для случайного потока вызовов и моменты , и приращения функции уже нельзя рассматривать как детерминированные. В телефонной связи обычно рассматриваются финитные случайные потоки, для которых математическое ожидание числа вызовов, поступивших за известный период времени, представляет собой конечную величину. Более того, обычно предполагают, что потоки вызовов обладают свойством рекуррентности. Поток вызовов считается рекуррентным, если промежутки времени между вызовами ( ) независимы и одинаково распределены. Для полноценного описания рекуррентного потока необходимо знать функцию распределения (ФР) длительности интервалов между вызовами – :

(1)

Если случайные величины нельзя считать независимыми, то ФР следует заменить более сложной функцией. Фактически необходимо задать ФР, определяющую взаимосвязь между величинами . Подобные потоки в классической теории телетрафика обычно не рассматриваются.

Важное свойство некоторых классов потоков вызовов – отсутствие последействия. Допустим, что мы рассматриваем поток вызовов после какого-то момента времени . Если его характеристики не зависят от поведения потока для , то можно говорить об отсутствии последействия. Для потока вызовов без последействия характерно следующее: для двух попарно не пересекающихся промежутков времени разности функций будут независимыми случайными величинами.

Важным атрибутом потока вызовов следует считать стационарность. Рассмотрим конечную совокупность непересекающихся интервалов времени. Если вероятность поступления вызовов – не меняется при сдвиге этой совокупности интервалов на любой отрезок времени, то поток стационарен. Допустим, что интересна вероятность для отрезка – . Для стационарного потока искомая вероятность зависит не от величин и , а только от их разности.

Для потока вызовов иногда определяют вероятность поступления хотя бы вызовов – . Эта вероятность позволяет сформулировать условие ординарности потока вызовов. Он считается ординарным, если при отношение

(2)

равномерно на любом конечном интервале времени. Параметром потока называется следующий предел (если, конечно, он существует):

. (3)

В телефонии, как и в ряде других приложений, часто используют предположение о том, что входящий поток вызовов является простейшим. Такому потоку присущи три важных свойства: он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Это означает, что . Распределение длин промежутков между вызовами для простейшего потока подчиняется экспоненциальному закону:

. (4)

Вероятность поступления ровно вызовов за период длительностью определяется распределением Пуассона:

(5)

Среднее число заявок, поступающих за время , составляет . Математическое ожидание числа заявок, поступающих за единицу времени, называется интенсивностью потока – . Для простейшего потока . Поэтому величину (вместо ) обычно называют интенсивностью потока заявок. Правильным названием величины следует считать " параметр потока".

Замечательным свойством обладает объединение независимых простейших потоков вызовов с интенсивностями и так далее. Результатом операции объединения является также простейший поток с интенсивностью .

Во многих случаях сумма большого числа малых стационарных потоков близка к простейшему потоку. Это положение часто используется в теории телетрафика. Оно помогают существенно упростить анализ СМО. Правда, в ряде практических задач речь идет о суммировании сравнительно малого числа потоков.

Для телефонной сети, построенной на базе технологии " коммутация каналов", наиболее достоверным выглядит предположение об ординарности потока вызовов. Действительно, телефонные вызовы не приходят пачками в отличие от заявок в некоторых других инфокоммуникационных системах. Свойство стационарности опровергает первый рисунок. Правда, расчет телефонной сети осуществляется для ЧНН, что необходимо для соблюдения заданных показателей качества обслуживания вызовов в любое время суток. В пределах ЧНН допущение о стационарном характере потока вызовов в телефонной сети считается допустимым. Гипотеза об отсутствии последействия опровергается ситуациями, когда один вызов порождает несколько других. Например, в процессе телефонного разговора с одноклассником Вы решили собрать школьных друзей на дачу. Ваш друг берет на себя задачу обзвонить их. В результате осуществляется ряд вызовов (возможно, что процесс будет чем-то похож на " цепную реакцию" ). С другой стороны, при большой емкости телефонной станции предположение об отсутствии последействия может быть обосновано математически.

Использование гипотезы о пуассоновском характере потока вызовов не всегда правомерно. К сожалению, большинство других рекуррентных потоков, интересных с точки зрения адекватного представления исследуемого процесса, не позволяют получить формулы для расчета всех необходимых характеристик СМО.

Для некоторых приложений целесообразно использовать ступенчатые функции при анализе сложных СМО. В классификации Кендалла СМО такого рода можно представить следующим образом:

(6)

Символ " " образован из двух букв. Буква используется для обозначения детерминированного распределения. Предшествующая ей буква – по аналогии с гиперэкспоненциальным распределением – указывает на то, что рассматривается " смесь" функций. Ранее использовался также символ – первая буква в слове " ступенька" на английском языке.

Для потока заявок, поступающего в СМО вида (6), распределение интервалов между вызовами удобно определять преобразованием Лапласа-Стилтьеса – На основе первой теоремы смещения (она была рассмотрена в первой лекции) эта функция может быть представлена в таком виде:

. (7)

Если обозначить через наибольший общий делитель для всех значений из множества , то формулу (7) можно переписать в иной редакции:

. (8)

Точка определяет такое значение , после которого все величины приращений . Можно показать, что даже при усложнения процесса вычисления ФР не происходит.

На рисунке 4 представлена модель СМО, для которой можно выделить разные виды входящих и выходящих потоков. Рассматривается гипотетическая модель, но можно представить какой-либо элемент инфокоммуникационной системы с такой (или близкой) совокупностью входящих и выходящих потоков.

Рисунок 4. СМО с различными видами входящих и выходящих потоков

Анализируемая СМО расположена в правой части предложенной модели. Для нее следует выделить три вида входящих потоков. Во-первых, потоков выходит из такого же числа СМО. Они, одновременно, являются входящими потоками для рассматриваемой СМО. Во-вторых, потоков создают терминалы, посредством которых пользователи осуществляют обмен информацией. В-третьих, в некоторых СМО существует своего рода петля обратной связи, которая образует путь для еще одного вида потока заявок.

В некоторых случаях выделяют пуассоновский поток первого и второго рода. Пуассоновский поток первого рода создается бесконечным числом источников трафика. Понятно, что это некая идеализация. Пуассоновский поток второго рода генерируется конечным числом источников трафика.

Некоторые заявки могут теряться по различным причинам (ограниченное число мест для ожидания, чрезмерная задержка обслуживания и так далее). Поэтому в нижней части нашей модели показан поток потерянных заявок. На выходе СМО формируется выходящих потоков.

На рисунке 5 показана модель сети доступа, позволяющая выделить, как минимум, два вида потоков входящего вызова. Эти потоки порождают заявки, попадающие на вход СМО, которая формализует некое гипотетическое устройство обработки вызовов.

Рисунок 5. Модель сети доступа с двумя видами потоков вызовов

Предполагается, что коммутационное поле цифровой АТС поддерживает два типа интерфейсов. Выносные модули включаются по интерфейсу V5.2, которому свойственна высокая концентрация потока вызовов. Индивидуальные двухпроводные физические цепи включаются по интерфейсу Z. Обычно эти линии создают небольшой трафик. В правой части рисунка 5 показана исследуемая СМО, на вход которой поступают два вида потоков вызовов, численность которых равна и соответственно.

Самая лучшая – для исследования СМО – ситуация подразумевает, что оба типа потоков являются пуассоновскими. Тогда суммарный поток можно считать также пуассоновским. В противном случае определение характера потока, поступающего на вход СМО, существенно усложняется. Правда, для тех рекуррентных потоков, которые могут быть представлены распределением (8), задача упрощается. Для объединенного потока преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР интервалов между вызовами – также определяет ступенчатую функцию:

. (9)

Конечно, определение верхнего предела суммирования – и (главное) величин приращений – представляет собой нетривиальную процедуру. Переход к моделям, для которых преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР интервалов между вызовами представимо формулой (8), целесообразен в тех случаях, когда гипотеза о простейшем потоке далека от реальности.

Некоторые дополнения и обобщения:

Математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервале времени , называется ведущей функции потока – . Потоки с непрерывной ведущей функций называются регулярными, а со ступенчатой – сингулярные. Ранее теория телетрафика изучала только регулярные потоки.

Важными свойствами потоков считаются стационарность, ординарность, отсутствие последействия.

Параметром потока называется предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время к длине этого интервала времени при :

Простейший поток

Вероятность поступления ровно вызовов за период длительностью определяется распределением Пуассона:

Этому потоку присущи три важных свойства: он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Это означает, что . Распределение интервалов между моментами поступления вызовов определяется таким законом:

Лекция 5

Потоки заявок (продолжение)

Основной акцент в предыдущей лекции был сделан на характеристиках простейшего потока заявок. Этому потоку свойственны: стационарность, ординарность и отсутствие последействия.

Вероятность поступления ровно вызовов за период длительностью определяется распределением Пуассона:

. (1)

Распределение интервалов между моментами поступления вызовов определяется экспоненциальным законом:

. (2)

Практический интерес для расчета сетей и систем связи (следовательно, и для теории телетрафика) представляют потоки заявок, отличающиеся от простейшего потока. Ряд таких потоков заявок рассматривается в этой лекции.

Поток с повторными вызовами

Поток заявок (вызовов), поступающих в СМО (местную телефонную станцию), часто можно рассматривать как совокупность первичных и повторных заявок. Первичная заявка генерируется терминалом, ранее не занятым исходящим соединением. Повторная заявка создается терминалом, который (в недавнем прошлом) получил отказ в обслуживании. Параметр потока первичных вызовов (заявок) можно считать независящим от состояния местной телефонной станции. Для параметра повторных вызовов такое допущение нельзя считать приемлемым. Чем больше занято обслуживающих приборов, тем больше параметр потока повторных вызовов.

Различить первичные и повторные заявки достаточно сложно. В любом случае, надо учитывать, что поток, интенсивность которого измеряется на входе СМО, образован двумя видами заявок – первичными и повторными. Способы снижения интенсивности повторных заявок – предмет отдельного анализа.

Выходящие потоки

Свойства выходящих потоков часто представляют большой практический интерес. Эти потоки являются входящими для последующих СМО. Свойства выходящего потока зависят от множества факторов, среди которых следует выделить:

· характеристики входящего потока заявок;

· длительность обслуживания заявок и соответствующий закон распределения;

· численность обслуживающих приборов;

· алгоритм выбора заявки на обслуживание.

Наиболее просто исследовать однолинейную СМО с ожиданием, на вход которой поступает пуассоновский входящий поток. Для такой модели известно преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения интервалов между заявками, покидающими СМО:

. (16)

Из этого выражения можно найти коэффициент вариации длительности интервалов между заявками, покидающими СМО – . Для этого необходимо взять первую и вторую производные от . В точке эти производные определяют первый и второй моменты функции распределения интервалов между заявками, покидающими СМО. Из-за отсутствия потерь заявок первый момент составляет . По двум моментам легко определяется величина :

. (17)

В этой формуле величина определяет коэффициент вариации длительности обслуживания заявок. Очевидно, что выходящий поток будет близок к простейшему (по критерию ) при соблюдении хотя бы одного из двух условий:

· низкая загрузка системы , что приближает величину к единице вне зависимости от характера функции ;

· близость коэффициента к единице (в этом случае не так существенна величина загрузки системы).

Строго говоря, условие нельзя считать достаточным для утверждения о пуассоновском характере выходящего потока. Можно подобрать ряд распределений, для которых , но функция распределения длительности интервалов между вызовами не будет похожа на экспоненциальный закон.

Лекция 5

Потоки заявок (продолжение)

Вероятность поступления ровно вызовов за период длительностью определяется распределением Пуассона:

. (1)

Распределение интервалов между моментами поступления вызовов определяется экспоненциальным законом:

. (2)

Поток с повторными вызовами

Выходящие потоки

· характеристики входящего потока заявок;

· длительность обслуживания заявок и соответствующий закон распределения;

· численность обслуживающих приборов;

· алгоритм выбора заявки на обслуживание.

. (16)

. (17)

· низкая загрузка системы , что приближает величину к единице вне зависимости от характера функции ;

· близость коэффициента к единице (в этом случае не так существенна величина загрузки системы).

Лекция 7

Телефонная нагрузка

Слово " нагрузка" чаще используется специалистами по телефонии. Оно является синонимом термина " трафик". Для определения термина " нагрузка" рассмотрим рисунок. Он иллюстрирует изменение численности занятых линий в пучке СЛ в течение пяти периодов времени . Функция , которая принимает положительные целочисленные значения, определяет число занятых линий в момент времени . Для каждого периода можно определить среднее значение числа занятых линий. Эта величина может быть дробной.

Численность занятых линий в пучке СЛ

Допустим, что в качестве единицы времени выбран отрезок . Тогда нагрузкой можно считать то время, в течение которого были заняты СЛ. Это время можно высчитать, суммируя длительность занятия всех СЛ, которая измеряется на отрезке . Если пучок насчитывает СЛ, а суммарная длительность занятия линии на отрезке составляет , то пропущенная (или обслуженная) нагрузка – определяется очевидной формулой:

= . (1)

Нагрузка обладает важным свойством – аддитивностью. За пять отрезков времени, показанных на графике, – нагрузка рассчитывается следующим образом:

(2)

Очевидно, что нагрузка – с точки зрения физики рассматриваемого процесса – измеряется в единицах времени. В телефонии за единицу измерения нагрузки принято одно часо-занятие. Под ним понимается такая нагрузка, которая может быть обслужена одним прибором в течение часа при непрерывном использовании этого прибора. Реже (как правило, в зарубежной технической литературе) встречается словосочетание минуто-занятие.

Одно часо-занятие, отнесенное к одному часу, называется интенсивностью нагрузки. Единицей измерения интенсивности нагрузки принят один эрланг (Эрл). Эта величина получила свое название в честь выдающегося специалиста по теории телетрафика. С точки зрения логики рассматриваемого процесса интенсивность нагрузки – безразмерная величина. Строго интенсивность нагрузки – определяется так:

(3)

Иными словами, первая производная нагрузки определяет ее интенсивность. Интенсивность обслуженной нагрузки, выраженной в Эрлангах, равна числу одновременно занятых приборов.

Кроме пропущенной выделяют еще два вида нагрузки – поступающую (называемую также предложенной) – и потерянную – . Поступающая нагрузка, в некотором смысле, может считаться прогнозируемой. Достоверно может оцениваться лишь число поступающих вызовов – . Часть вызовов – теряется; время их обслуживания (если оно не является постоянной величиной) неизвестно. Аналогичная ситуация связана с потерянной нагрузкой. Потерянная нагрузка может быть вычислена как разность .

Состояние любого обслуживающего прибора может быть представлено с помощью периодов занятости и свободности. За исключением систем, работающих по расписанию, длительность каждого их этих двух периодов представляет собой случайную величину.

Два состояния обслуживающего прибора

Для телефонной нагрузки весьма существенны три параметра. Во-первых, важно знать число источников нагрузки – . Характерный пример этого параметра – число терминалов, включенных в концентратор. Во-вторых, необходимо определить среднее число вызовов, поступающих от одного источника за единицу времени – . В-третьих, следует оценить математическое ожидание длительности обслуживания одного вызова – . Тогда поступающая нагрузка определяется следующим соотношением:

(4)

В зарубежных публикациях обычно используются иные обозначения. В частности, в рекомендации МСЭ E.500 формула (4) представлена в таком виде:

(5)

Между обозначениями, входящими в обе формулы, устанавливаются следующие соответствия:

Телефонная нагрузка заметно меняется в течение дня (колебания можно проследить по дням недели, месяцам, годам). Расчет оборудования, необходимого для обслуживания телефонного трафика, осуществляется для часа наибольшей нагрузки (ЧНН). В некоторых публикациях предлагается – в дополнение к ЧНН – выделять период наибольшей нагрузки. Его длительность ( ) может быть различной в зависимости от цели, для которой необходимо знать период максимальной нагрузки. Она может быть меньше или больше одного часа. В данном случае составляет три часа.

Час и период наибольшей нагрузки

Доля нагрузки, создаваемой в ЧНН – , часто оценивается коэффициентом концентрации – . Для его оценки необходимо также знать нагрузку за сутки – :

(6)

Диапазон изменения этого коэффициента значителен. Для многих телефонных сетей в крупных городах он составляет около 0, 1. В менее крупных сетях величина может достигать 0, 2. Если рассмотреть два города, находящихся в таких часовых поясах, для которых разница во времени составляет половину суток, то коэффициент концентрации будет очень большим.

Выделение ЧНН или периода максимальной нагрузки преследует конкретную цель. Установленные Администрацией связи показатели качества обслуживания телефонной нагрузки должны соблюдаться и в периоды высокого трафика. Естественно, что в другое время (в частности, ночью) ресурсы телефонной сети будут использоваться не так эффективно как в ЧНН. Правда, Оператор с помощью технических и маркетинговых операций может обеспечить экономичное функционирование инфокоммуникационной системы. Характерный пример – предоставление ресурсов для обслуживания трафика Internet.

Как правило, среди источников нагрузки выделяют группы, для которых характерны различные средние значения числа вызовов от одного источника за единицу времени ( ) и длительности обслуживания одного вызова ( ). Иными словами, речь идет о существовании трех множеств: и . Очевидно, что среднее значение числа вызовов от одного источника за единицу времени может быть рассчитано по такой формуле:

(7)

Среди элементов множества чаще всего выделяют терминалы абонентов квартирного и делового секторов, таксофоны, а также линии от УАТС, включаемые на правах абонентских установок. Возможны и иные способы разбиения множества .

Величина определяет среднее значение числа вызовов для группы абонентов численностью . Далеко не каждый вызов – в силу различных причин – заканчивается установлением соединения. Можно выделить четыре основные причины неудачной попытки вызова. Каждой причине свойственны вероятности ее появления – :

· занятость линии вызываемого абонента – ;

· отсутствие ответа вызываемого абонента – ;

· ошибки вызывающего абонента в процессе установления соединения – ;

· отказы в установлении соединения по вине телефонной сети – ;

Доля вызовов, окончившихся удачным установлением соединения ( ), может быть получена на основе очевидного соотношения:

(8)

Обычно в телефонных сетях величина находится в диапазоне 0, 5 – 0, 7. В сетях мобильной связи – по понятным причинам – доля вызовов, закончившихся удачным установлением соединения (в данном случае можно считать, что разговором, благодаря персонализации связи), существенно выше.

На рисунке показана структура длительности занятия в случае успешного вызова. Этот простой рисунок позволяет наглядно представить случайный процесс, который характерен для обслуживания телефонной нагрузки.

Длительность занятия для успешного вызова

Время начинается с момента поднятия микротелефонной трубки (или проведения аналогичной операции) и заканчивается набором первой цифры номера. Если абонент не начинает набор номера, то по истечении некоторого контрольного времени он услышит зуммер " Занято". Существует некоторое минимальное время , до которого набор номера невозможен. Это время, измеряемое миллисекундами, необходимо для подачи абоненту акустического сигнала " Ответ станции". Кроме того, абонент может положить трубку, не приступив к набору номера. Таким образом, случайная величина как-то распределена на отрезке ( , ).

Время начинается с момента набора первой цифры номера и заканчивается, когда передана вся адресная информация. Абонент может прекратить набор, когда ему это покажется целесообразным. Число набираемых цифр зависит от типа соединения. Кроме того, некоторые абоненты делают паузы в процессе набора номера. Продолжая подобные рассуждения можно уяснить, что случайная величина распределена на неком отрезке ( , ).

Случайная величина нормируется в рекомендациях МСЭ серии Q. За это время должен быть создан тракт между терминалами вызывающего и вызываемого абонентов. Если такой процесс не реализуем или линия вызываемого абонента недоступна, то вызывающий абонент должен получить акустический сигнал " Занято".

За время должен завершиться процесс прослушивания вызывающим абонентом акустического сигнала " Контроль посылки вызова". Можно выделить три характерных события:

· вызывающий абонент повесил трубку, не ожидая ответа (передумал или потерял терпение);

· вызываемый абонент не ответил в течение допустимого (разумного) времени;

· соединение успешно установлено.

Несложно убедиться, что рассматриваемая случайная величина распределена на отрезке ( , ).

Далее начинается фаза разговора (обмена информацией). Случайной величине часто приписывают экспоненциальное распределение. Правда, в ряде работ, основанных на результатах измерений, говорится о целесообразности использования иных законов распределения. Можно отметить, что в общем случае областью изменения случайной величины считается диапазон .

Случайная величина определяет отрезок времени, который начинается после завершения разговора, а заканчивается освобождением всех коммутационных станций и транспортных ресурсов. Эта величина измеряется миллисекундами, что часто позволяет исключить ее из формул для расчета длительности занятия.

Можно ввести два коэффициента, которые будут характеризовать отношение между длительностью разговора и временем занятия. Первый коэффициент – определяется так:

(9)

Этот коэффициент позволяет оценить долю длительности разговора в суммарном времени занятия. Второй коэффициент – оценивает непроизводительное занятие сети (время, которое вызывающий абонент не оплачивает):

(10)

При росте длительности телефонного разговора (в общем случае – времени обмена информацией) коэффициенты и приближаются к единице и нулю соответственно. Оператор в принципе может влиять на длительность телефонного разговора или обмена информацией, изменяя, например, тарифную политику. Возможность управления такого рода ограничена коммуникативными потребностями абонентов. Эффективный способ для достижения разумных величин и – снижение непроизводительных затрат времени на операции, осуществляемые при установлении соединения.

Для решения ряда проектных задач необходимо определить среднюю величину поступающей нагрузки ( ). В качестве исходной информации часто используется среднее значение так называемой разговорной нагрузки ( ). Эту нагрузку проще всего измерять. По аналогии с коэффициентами и можно ввести множитель – , который связывает два вида нагрузки:

. (11)

Очевидно, что . Величина может быть определена в результате измерений или рассчитана на основе ранее введенных вероятностей . Ее аналогом можно считать коэффициент ASR (Answer Seizure Ratio), измеряемый рядом Операторов развитых стран.

В некоторых публикациях, посвященных нагрузке, используется иная терминология. В частности, термин " часо-занятие" заменяется словом " работа", а различие между понятиями " нагрузка" и " интенсивность нагрузки" отсутствует.

Нагрузка в телефонной сети распределяется между коммутационными станциями. Свойства этого распределения можно установить с помощью матрицы , которая определяет для момента времени долю трафика, направляемого из коммутационной станции в коммутационную станцию . Обычно эту матрицу определяют для ЧНН. Это означает, что можно оперировать величинами . Как правило, .

Нагрузку можно рассматривать (и, в ряде случаев, нужно) рассматривать как меру доходов Оператора. Обычно Операторы сетей электросвязи используют различные принципы для разработки тарифных планов на предоставляемые ими услуги. Для гипотетической услуги величина платы , которую должен внести абонент, может быть представлена такой суммой:

(12)

Величина – постоянная составляющая, которая не зависит от длительности соединения и полученной (или переданной) абонентом информации. Слагаемое определяется величиной трафика ( – коэффициент пропорциональности). Плата за полученную (или переданную) абонентом информацию обозначена через . В эту формулу не входит стоимость подключения терминала к телекоммуникационной сети.

Значение может быть равно нулю. Примером такой ситуации можно считать вызов оператора экстренных служб, осуществляемый набором двух цифр (01, 02, 03 и 04) в местной телефонной сети. Формула (12) для каждой конкретной услуги может включать одно, два или все три слагаемых.

Лекция 8

Лекция 9

СМО с ожиданием

1. СМО вида

Распределение промежутков между заявками (вызовами) подчиняется экспоненциальному закону:

. (1)

Распределение длительности обслуживания вызовов подчиняется экспоненциальному закону:

(2)

Средние значения интервалов между вызовами и времени обслуживания определяется так:

, = . (3)

Условие стационарности СМО:

. (4)

Вероятности состояний СМО:

. (5)

Среднее число заявок в СМО:

. (6)

Дисперсия числа заявок в СМО:

. (7)

Среднее время ожидания заявок в очереди:

. (8)

Среднее время пребывания заявок в системе:

. (9)

ФР длительности ожидания начала обслуживания:

. (10)

ФР длительности задержки заявок в СМО:

. (11)

Зависимости длины очереди и времени пребывания заявок в СМО от загрузки системы.

Преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР интервалов между заявками, покидающими СМО:

. (12)

По двум моментам легко определяется коэффициент вариации:

. (13)

2. СМО вида

Состояние определяет наличие в СМО – в обслуживании и на ожидании – ровно заявок. Вероятность такого состояния СМО обозначается через . Можно показать, что СМО рассматриваемого вида справедливы такие соотношения:

при

при (14)

Ожидание (Waiting) обычно обозначат буквой " W". В некоторых старых монографиях встречается обозначение . Вероятность ожидания определяется второй формулой Эрланга:

, (15)

где – вероятность потери вызова, рассчитанная по первой формуле Эрланга для СМО без возможности ожидания.

Средняя длина очереди в СМО рассматриваемого вида определяется по такой формуле:

. (15)

Среднее время ожидания начала обслуживания рассчитывается по теореме Литтла:

. (17)

На графике показано поведение функции при различных величинах трафика и числа обслуживающих приборов.

ФР длительности ожидания:

. (18)

Для оценки эффективности дисциплины обслуживания с ожиданием определяется величина , при которой :

. (19)

На графике показано влияние дисциплины обслуживания заявок на поведение плотности .

3. СМО вида

Среднее время ожидания заявок в очереди (формула Полячека-Хинчина):

. (20)

Среднее время пребывания заявок в системе (формула Полячека-Хинчина):

. (21)

Преобразование Лапласа-Стилтьеса ФР длительности ожидания начала обслуживания (уравнение Полячека-Хинчина):

. (22)

Преобразование Лапласа-Стилтьеса для ФР времени пребывания в СМО (уравнение Полячека-Хинчина):

. (23)

4. СМО вида

Вероятность потери заявок для рассматриваемой модели – определяется состоянием СМО , то есть . Для СМО с местами для ожидания эта вероятность определяется таким соотношением:

(24)

Для СМО с неограниченным числом мест для ожидания в очереди вероятности состояний определяются следующим образом:

(25)

Следовательно, вероятность того, что заявка застанет СМО в состоянии , будет определяться так:

(26)

Относительная ошибка в оценке вероятности потерь заявок – определяется простым соотношением:

(27)

На рисунке показана зависимость от при различных значениях . При достаточно малых вероятностях потерь (сравнительно больших значениях ) величины и быстро сближаются. Ошибка меньше для СМО с невысокой загрузкой. Кстати, – рекомендуемая величина загрузки для некоторых элементов сетей электросвязи. Если , то значения ошибки при представляются приемлемыми для оценки исследуемых характеристик СМО. Величины представляют интерес для режимов перегрузки отдельных элементов инфокоммуникационной сети. Для подобных задач использование величины вместо нельзя считать корректным из-за высоких значений ошибки .

Относительная ошибка при расчете

вероятности потерь заявок в двух видах СМО

Итак, при малой загрузке хорошей моделью системы можно считать СМО с неограниченным числом мест для ожидания.

5. СМО вида

Для модели ФР длительности ожидания получена Кроммелином. Обычно результаты расчета ФР представляются в графической форме. Они известны как кривые Кроммелина. Для однолинейной системы , на которую поступает поток заявок с интенсивностью выражение для расчета ФР длительности ожидания имеет следующий вид:

. (28)

На графике показано поведение дополнительных ФР, то есть для СМО вида и .

Лекция 10

Неполнодоступные системы

Первый патент, выданный на неполнодоступную схему коммутации, датирован 1907 годом. С тех пор продолжаются исследования оптимальной реализации подобных схем коммутации. Значительная часть этих исследований основана на имитационном моделировании. Дело в том, что получение необходимых соотношений в виде точных формул не всегда представляется возможным или целесообразным.

Простейшая неполнодоступная схема приведена на первом рисунке. Первому потоку доступны линии под номерами 1 и 3, а второму – 2 и 3.

Рисунок 1

Для подобных схем, обслуживающих потоков с помощью линий, всегда выполняется следующее неравенство:

, (1)

где – доступность, то есть число обсуживающих устройств, доступных любому входу. Равенство справедливо для полнодоступной схемы, а при рассматриваемая модель представляет собой полнодоступных схем.

Классическая задача построения неполнодоступной схемы состоит в выборе такого включения линий в контактное поле из элементов, при котором вероятность потери вызова будет минимальной. Одной из основных характеристик неполнодоступной схемы считается коэффициент уплотнения – :

. (2)

Величина этого коэффициента определяет среднее число групп (контактов) на одну линию (обслуживающий прибор). Для неполнодоступных схем, используемых в АТС, коэффициент уплотнения обычно находится в диапазоне [2, 4].

Различают два способа искания: упорядоченный и случайный. Способы включения линий в неполнодоступную схему делятся на такие виды: прямой, с перехватом и со сдвигом.

Для модели, показанной на втором рисунке, . Линии под номерами 3 и 6 включены прямо, линия 1 – с перехватом, а линия 4 – со сдвигом.

Рисунок 2

Выделяют два вида неполнодоступных схем: ступенчатые и равномерные. В ступенчатых схемах по мере роста номера шага искания растет число потоков, которым доступна линия. В равномерных схемах число потоков, которым доступна линия, всегда одинаково.

В телефонии неполнодоступное включение стало применяться для эффективного использования обслуживающих приборов и сокращения их численности (иными словами – для экономии затрат). Наибольшее распространение неполнодоступное включение нашло в эпоху создания электромеханических АТС. Это объясняется природой формирования стоимости точки поля (коммутации) – третий рисунок.

Рисунок 3

В электромеханических АТС обычно выделяют нагрузочных групп. Каждая такая группа представляет собой полнодоступную схему, которая может быть как однозвенной, так и многозвенной – рисунок 4.

Рисунок 4

Синтез неполнодоступной схемы сводится к поиску способа соединения выходов с линиями.

Следует отметить, что анализ некоторых видов неполнодоступных схем вновь становится актуальным. Это объясняется применением принципов неполнодоступного включения при построении коммутаторов на базе ATM и ряда других технологий.

Повторные вызовы

Источники повторных вызовов иллюстрируются с помощью модели, показанной на седьмом рисунке. Между абонентом " А" и абонентом " В" показана схема установления соединения через две АТС и два транзитных узла.

Рисунок 7

Вероятность установления соединения равна . Следовательно, доля неудачных попыток абонента " А" может оцениваться вероятностью . Причины повторных попыток вызова объясняются потерями (в процессе установления соединения), занятостью абонента " В" или отсутствием ответа. Характеристики " повторения" попыток установления соединения в значительной мере определяются психологическими факторами. Наличие повторных попыток искажает ряд классических представлений о функционировании сети телефонной связи. Измерения показали, что величина потерь вызовов в несколько раз может превосходить уровень, определяемый по формуле Эрланга.

Одна из проблем анализа повторных попыток – сложность разделения первичных и вторичных вызовов. На восьмом рисунке показана соответствующая модель с указанием точек, в которых целесообразно производить измерения: X и Y. На самом деле для измерений обычно доступна только точка Z.

Рисунок 8

В первой таблице представлены данные измерений отношения успешных попыток к безуспешным для УАТС, ГТС и АМТС.

Таблица 1

Исход попытки	Отношение успешных попыток к безуспешным
Исход попытки	УАТС	ГТС	АМТС
Успешная	0, 57	0, 44	0, 25
Безуспешная:	0, 43	0, 56	0, 75
блокировка	0, 04	0, 29	0, 56
ошибка набора	0, 02	0, 06	0, 06
абонент занят	0, 26	0, 14	0, 10
нет ответа	0, 11	0, 07	0, 03

Поведение абонента может характеризоваться функцией настойчивости, которая определяется распределением вероятности для попытки. Одна из таких моделей – абсолютно настойчивый абонент, который продолжает попытки до бесконечности. Тогда при вероятности неуспешного установления соединения – на каждой из фаз обслуживания отношение интенсивности суммарного потока вызовов к интенсивности потока первичных вызовов определяется так:

. (5)

Для расчета СМО с повторными вызовами разработано множество моделей и методов, ориентированных на использование таблиц и/или программных продуктов. Для простых моделей получены аналитические выражения, позволяющие анализировать ряд СМО.

Лекция 11

Сложные СМО

1. СМО вида

Вероятности состояний ( ) определяются следующим образом:

, (12)

где – единственное решение уравнения

(13)

в области .

Распределение длительности ожидания для рассматриваемого класса СМО также определяется через переменную :

. (14)

Средняя длительность ожидания начала обслуживания рассчитывается так:

(15)

Для СМО вида уравнение (13), учитывая, что , принимает такой вид:

( . (16)

В уравнении (16) интересен только один корень в силу сформулированных ограничений – . Поэтому .

2. СМО вида

Среднее время ожидания начала обслуживания определяется следующим образом:

. (17)

В этой формуле используются такие оценки:

– дисперсия промежутков времени между заявками, поступающими в СМО;

– дисперсия времени обслуживания заявок в СМО;

– момент для времени между соседними заявками (процесс );

– момент для длительности периода свободного состояния СМО (система, если она работоспособна) находится в двух состояниях: занятости и свободности.

Другие сложные СМО

Другие сложные СМО могу быть представлены такими примерами:

СМО вида
ненадежный обслуживающий прибор;
приоритетное обслуживание (разные алгоритмы);
системы с обратной связью.

Преобразование модели многофазной системы

Модель СеМО, предназначенная для анализа IP сети

Модель процесса обмена IP-пакетами в сети NGN

Лекция 12

Аспекты измерения трафика

1. Измерения трафика проводятся с целью решения ряда практических и теоретических задач:

· проектирование сетей электросвязи;

· управление сетями электросвязи;

· прогнозирование нагрузки;

· заключение соглашений SLA;

· проверка гипотез о количественных и качественных свойствах нагрузки;

· другие задачи.

2. Для организации процесса измерений трафика (с учетом конкретной цели измерения) необходимо выбрать:

· объект (или совокупность объектов) измерения;

· длительность периода измерения;

· микроструктуру периода измерения;

· вид и объем собираемых данных;

· величину допустимой ошибки;

· другие атрибуты.

3. Объектами измерений, которые выбраны для решения задачи, могут быть:

· общее количество поступающих вызовов;

· численность вызовов от конкретных источников трафика;

· доля состоявшихся разговоров;

· длительность обслуживания вызовов;

· задержки и потери вызовов;

· другие объекты.

4. Все виды измерений параметров трафика можно классифицировать следующим образом:

· по способу получения данных (автоматические и ручные);

· по способу регистрации данных (прямые и косвенные);

· по типу организации измерений (непрерывные, периодические и эпизодические);

· по охвату изучаемых объектов (сплошные и выборочные).

5. Примером непрерывного измерения нагрузки можно считать способ, основанный на контроле силы тока:

6. На практике сплошные измерения – до появления коммутационных станций с программным управлением – не производились из-за проблем финансового и организационного характера. В математической статистике всю изучаемую совокупность однородных элементов принято называть генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности, выбранной для измерений, называют выборочной совокупностью. Обычно исследуется поведение выборочной совокупности. Различают три способа измерения:

· непрерывное наблюдение;

· сканирование исследуемого процесса;

· анализ случайных событий.

Использование схемы с амперметром – один из примеров непрерывного наблюдения за изучаемой величиной.

7. В процессе измерений можно получить математическое ожидание для генеральной совокупности ( ) и для выборочной совокупности ( ). Пусть и – численность -ой группы элементов в генеральной и выборочной совокупности. Объем элементов определяется по таким формулам:

и .

Степень расхождения между собой отдельных значений изучаемого процесса характеризуется дисперсией для и генеральной, и для выборочной совокупности:

и .

8. Пример рекомендаций по измерению трафика для полнодоступного пучка обслуживающих приборов. Будем считать, что время занятия равно единице, то есть Если время измерений более чем в 20 раз превышает среднее время занятия, то для распределения статистических оценок можно использовать нормальный закон. Некоторые важные постулаты:

I) Точность измерения растет пропорционально .

II) Абсолютная среднеквадратическая погрешность измерений для обслуженной нагрузки (Y) при малой вероятности потерь (менее 0, 01) определяется по такой формуле:

III) Относительная среднеквадратическая погрешность измерений для обслуженной нагрузки (Y) определяется по такой формуле:

IV) Абсолютная среднеквадратическая погрешность измерений при малой вероятности потерь (менее 0, 01) определяется по такой формуле:

V) Относительная среднеквадратическая погрешность измерений при малой вероятности потерь определяется по такой формуле:

Допустим, что мы провели 10000 измерений вероятности потерь 0, 01. Тогда относительная среднеквадратическая погрешность измерений составит примерно 14%, что не всегда удовлетворяет требованиям экспериментатора. В таблице приведено количество контрольных вызовов для выбранной точности оценки.

Нормативное значение для показателя	Количество контрольных вызовов при точности:
Нормативное значение для показателя	5%	10%	20%
0, 01	39600	9900	2500
0, 02	19600	4900	1200
0, 03	12900	3200	800
0, 04	9600	2400	600
0.05	7500	1900	500

9. Указания для проектирования сети содержатся в рекомендациях МСЭ (ITU) и национальных стандартах Администрации связи.

МСЭ рекомендует, чтобы при международной телефонной связи для 30 максимальных ЧНН потери не превышали 0, 01. В то же время для 5 таких ЧНН разрешается устанавливать норму потерь в 0, 07.

Примерные нормы для потерь вызовов " от абонента до абонента" (end-to-end) для ТФОП приведены в таблице

Вид устанавливаемого соединения	Допустимые потери
В пределах ГТС	0, 03 – 0, 05
В пределах СТС	0, 12
Внутризоновая связь	0, 07
Междугородная связь (через ГТС)	0, 07
Международная связь	0, 13

Примерные нормы для коэффициента эффективности вызовов в ТФОП приведены в таблице.

Вид устанавливаемого соединения	Коэффициент эффективности вызовов
Местная связь (ГТС или СТС)	0, 5 – 0, 6 (1, 6 – 2, 0 на разговор)
Внутризоновая связь	0, 4 – 0, 5 (2, 0 – 2, 5 на разговор)
Междугородная связь (через ГТС)	0, 4 (2, 5 на разговор)

Среднее значения количество вызовов за сутки измеренное в течение трех последних месяцев 2006 года в одной из ГТС России

Недельные изменения количества вызовов в течении января, февраля, марта 2007 года в одной из ГТС России

Средняя нагрузка по часам суток

Среднее значения количество вызовов/ответов за сутки измеренное за март 2007 года

Среднее значения количество сеансов связи Internet за сутки измеренное за март 2007 года

Изменение количество вызовов по месяцам

Средняя нагрузка Internet по часам суток

Средняя пропускная способность одной линии пучка СЛ за сутки

Лекция 13

Примеры задач, решаемых методами теории телетрафика

Лекция 14

Литература

1. О.И. Шелухин, А.М. Тенякшев, А.В. Осин. Модели информационных систем. – М.: Радиотехника, 2005.

2. А.Л. Лифшиц, Э.А. Мальц. Статистическое моделирование систем массового обслуживания. – М.: Советское радио, 1978.

Лекция 15

Лекция 1

Содержание курса лекций

По теории телетрафика

1. Предмет курса " Теория телетрафика"

2. Математический аппарат теории телетрафика

3. Концепция качества обслуживания

4. Потоки вызовов

5. Телефонная нагрузка. Системы с потерями

6. Системы с ожиданием

7. Системы с приоритетами

8. Методы измерения телефонной нагрузки

9. Современные модели телетрафика

10. Итоги курса " Теория телетрафика"

Литература:

1. Л. Клейнрок. Теория массового обслуживания. – М.: Машиностроение, 1979.

2. Л. Клейнрок. Вычислительные системы с очередями. – М.: Мир, 1979.

3. Ю.Н. Корнышев, А.П. Пшеничников, А.Д. Харкевич. Теория телетрафика. – М.: Радио и Связь, 1996.

4. В.В. Крылов, С.С. Самохвалова. Теория телетрафика и ее приложения. – СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 2005.

5. Г.П. Башарин. Лекции по математической теории телетрафика. – М.: РУДН, 2009.

6. С.Н. Степанов. Основы телетрафика мультисервисных сетей. – М.: Эко-Трендз, 2010.

7. А.Н. Соколов, Н.А. Соколов. Однолинейные системы массового обслуживания. – Учебное пособие, СПбГУТ, 2010

Конспекты лекций: http: // nicksokolov. narod. ru

Предмет курса " Теория телетрафика"

Краткая история дисциплины " Теория телетрафика"

Примеры задач, исследуемых методами теории телетрафика

. (1)

(2)

. (3)

(4)

(5)

Символ " " в третьей позиции классификации Кендалла определяет численность обслуживающих приборов.

· анализ длительности задержки пакетов в узлах мультисервисной сети;

· выбор оптимальных правил назначения приоритетов с учетом факторов, характерных для мультисервисной сети.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-06-09; Просмотров: 202; Нарушение авторского права страницы