Законы распределения случайных величин

 

В теории телетрафика часто используется предположение о пуассоновском законе распределения случайных величин. Такое предположение, например, было подтверждено экспериментально для потока вызовов, поступающих от абонентов телефонной станции. Для математического ожидания  (интенсивность потока вызовов) плотность вероятности –  определяется следующим образом:

.

Переменную " " можно рассматривать как число вызовов, поступающих в течение интервала времени фиксированной длины. Функция распределения этого потока вызовов –  равна нулю для  Для  она определяется таким соотношением:

.

Основные характеристики пуассоновского распределения приведены в таблице.

 

Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс

 

На рисунке показаны два примера функции . В левой части рисунка , а в правой –

 

Два примера распределения Пуассона

 

Второй интересный пример – дискретное равномерное распределение. Буквой " " обозначена левая граница области изменения случайной величины. Допустим, что рассматриваемая случайная величина принимает n значений.

Дискретное равномерное распределение

 

Основные характеристики дискретного равномерного распределения приведены в таблице.

 

Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс
		0

 

Для обоих примеров ФР будет ступенчатой. Это утверждение справедливо для всех законов распределения дискретных случайных величин.

 

В теории телетрафика часто используется экспоненциальное распределение, для которого функции  и  определяются такими формулами:

,

.

Основные характеристики экспоненциального распределения будут приведены после следующего примера. Рассмотрим распределение Эрланга  порядка. Функции  и  для этого распределения вычисляются следующим образом:

,                                                                                               

.

Очевидно, что при  мы получаем экспоненциальное распределение. Несложно убедиться, что при  эта формула определяет детерминированное (вырожденное) распределение. Это свойство позволяет эффективно использовать распределение Эрланга  порядка для многих моделей телетрафика. Численные характеристики последних распределений приведены в таблице.

 

Название распределения	Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс
Экспоненциальное			2	6
Эрланга  порядка

 

На рисунке показано семейство распределения Эрланга  порядка. Приведены три кривые  для различных значений . Для всех трех кривых принято, что математическое ожидание равно единице.

Семейство распределений Эрланга  порядка

 

Последний пример связан с распределением случайной величины на ограниченном интервале. Речь идет о равномерном распределении на отрезке времени . В этом интервале функции  и  определяются следующим образом:

,

.

На рисунке показаны функции  и . Основные характеристики этого распределения представлены в таблице.

Равномерное распределение на интервале

 

Основные характеристики равномерного распределения приведены в таблице.

 

Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс
		0	–1, 2

 

 

Преобразование Лапласа-Стилтьеса

 

Преобразование Лапласа устанавливает однозначную связь между функциями действительной –  и комплексной переменной – . Эти функции обычно называют оригиналом и изображением соответственно. Для оригиналов, существующих только в области неотрицательных значений аргумента (времени), целесообразно использовать одностороннее преобразование Лапласа:

.

Функция  комплексной переменной  позволяет найти оригинал по такой формуле:

.

Это соотношение известно в математике как формула обращения Римана-Моллина. Его также называют обратным преобразованием Лапласа.

В обеих формулах используются интегралы Римана. Во многих случаях приходится оперировать с дискретными функциями плотности вероятности. Тогда предпочтительнее становится интеграл Стилтьеса, позволяющий унифицировать тип распределения случайной величины. Интеграл Стилтьеса определяется для двух функций – интегрируемой (x) и интегрирующей :

Очевидно, что интеграл Римана представляет собой частный случай интеграла Стилтьеса, когда . Преобразование Лапласа-Стилтьеса для функции  будет определяться следующим образом:

.

Если изображения  и  существуют, то они связаны между собой очевидным соотношением:

.

Интерес к преобразованию Лапласа-Стилтьеса объясняется тем, что оно позволяет упростить исследование некоторых функций и вычисление параметров распределения. С точки зрения вопросов, рассматриваемых в курсе лекций, следует выделить ряд свойств, которые характерны для преобразования Лапласа-Стилтьеса:

1. Преобразование Лапласа-Стилтьеса производной от функции  определяется по такой формуле:

.

2. Дифференцируя изображение, можно получить  начальный момент ( ) распределения:

 

3. ФР двух независимых случайных величин –  определятся произведением их преобразований Лапласа-Стилтьеса – и :

        

4. Сдвиг аргумента у оригинала на величину  – первая теорема смещения – соответствует такому изменению изображения:  

.

Из всех свойств, присущих преобразованию Лапласа-Стилтьеса, следует выделить свертку оригиналов – третье свойство. Вычисление свертки функций с помощью подобных преобразований можно рассматривать как одну из самых эффективных операций среди возможностей, присущих преобразованию Лапласа-Стилтьеса.

Использование преобразования Лапласа-Стилтьеса в большинстве случаев можно представить в виде алгоритма, показанного на рисунке. Этот алгоритм универсален с точки зрения решаемых задач.

 

Использование преобразования Лапласа-Стилтьеса

 

Функция  представляет собой выражение, которое необходимо преобразовать для искомого результата. Эту функцию можно считать своего рода условием задачи. Сначала находится изображение этой функции – . Изображение может быть получено с помощью таблиц преобразования Лапласа-Стилтьеса. Именно для функции  выполняются преобразования, позволяющие получить ответ в виде функции . Для решения поставленной задачи необходимо найти функцию . Эта процедура может быть выполнена с использованием таблиц или иным способом.

Для вычисления оригинала по известному изображению часто применяют теорему разложения, предложенную Хевисайдом (разложение на элементарные дроби). Такой способ приемлем, если изображение  является рациональной дробью следующего вида:

.

Числителем и знаменателем этого выражения служат полиномы  и . Существенно то, что степень полинома  меньше степени полинома . Если уравнение  имеет  различных корней, то функция  представима такой суммой:

.

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа, можно найти оригинал в следующем виде:

.

 

Лекция 2

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: