Основы теории вероятностей

 

Введение

 

Теория вероятностей – раздел математики, посвященный случайным величинам. Точное определение термина " случайная величина", отвечающее строгим математическим канонам, можно найти в монографиях, которые посвящены фундаментальным основам теории вероятностей. Для прикладных дисциплин можно использовать менее строгие определения.

Случайные величины обычно делят на дискретные и непрерывные. Дискретный или непрерывный характер случайной величины определяется объективными свойствами исследуемого процесса. Для проведения анализа некоторых СМО целесообразно переходить от непрерывных случайных величин к дискретным или наоборот.

Допустим, что мы провели  измерений числа разговаривающих абонентов АТС. При этом  раз численность разговаривающих абонентов (событие " " ) была одной и той же. Тогда вероятность наступления интересующего нас события –  определяется следующим образом:

Рассмотрим пример, когда в результате проведения 1000 измерений мы 50 раз обнаружим 800 разговаривающих абонентов (событие " " ). Оценку 0, 05, строго говоря, нельзя считать вероятностью , так как число проведенных измерений было конечной величиной. Эту оценку 0, 05 называют частотой или частостью.

В теории вероятностей важную роль играют аксиомы, которые сформулированы известным российским математиком А.Н. Колмогоровым. Четыре основные аксиомы приводятся ниже в следующей форме:

 

а) каждому событию " " ставится в соответствие неотрицательное число – его вероятность ;

б) вероятность достоверного события " " равна единице – ;

в) если " " и " " непересекающиеся события, то вероятность события " " или " " (оно обычно обозначается как " " ) – равна сумме ;

г) условная вероятность наступления события " ", если уже произошло событие " ", –  определяется как .

Для пояснения термина " условная вероятность" целесообразно использовать две простые геометрические фигуры. Они приведены в левой части рисунка. Подобный подход позволяет наглядно интерпретировать события и вероятность их наступления. 

 

Геометрическая интерпретация условной вероятности

 

События " " и " " заключаются в попадании точки в одноименные области, которые показаны в левой части рисунка. Событие " " имеет одну особенность. Оно имеет место, когда события " " и " " наступают одновременно. Тогда вероятность события " " при условии, что уже произошло событие " ", представима как отношение площадей " " и " ". Если события " " и " " несовместны, то условная вероятность равна нулю. Этот утверждение наглядно иллюстрирует правый фрагмент рисунка: площадь пересечения двух областей равна нулю.

Из аксиом теории вероятностей можно сделать ряд важных для теории и практики выводов. В частности, если могут наступить только события " " и " ", то справедливы такие соотношения:

 или

Очевидно также, что . Из аксиомы (в) можно получить более общее соотношение для попарно непересекающихся событий:

Полной характеристикой случайной величины служит закон ее распределения. Этот закон устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Знание закона распределения позволяет сравнительно простыми математическими методами получить оценки случайной величины, важные для практической работы.

Закон распределения может быть представлен различными способами. Основной интерес представляет функция распределения (ФР) случайной величины – . В большинстве учебников по теории вероятностей используется ФР вида , но у нас осью абсцисс всегда будет " время". Поэтому аргументом ФР служит буква " ", обычно указывающая на время. По всей видимости, такой выбор объясняется тем, что во многих языках слово " время" начинается с буквы " ". Далее будут рассматриваться случайные величины, определенные для . Пример ФР случайной величины показан на рисунке. Эта функция определена на отрезке

Функция распределения случайной величины

 

ФР представляет собой монотонно возрастающую функцию. Она определяется таким соотношением:

Иными словами ФР равна вероятности соблюдения неравенства  На рисунке указаны две точки  и , которым соответствуют вероятности  и . Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал ( , ), равна разности . В некоторых случаях практический интерес представляет дополнительная ФР – . Очевидно, что

Следует отметить, что в некоторых публикациях ФР  определяется иначе – нестрогим неравенством:

Различие в этих определениях существенно только для дискретных случайных величин.

Основные характеристики случайной величины могут быть получены из функции . Среди этих характеристик большое практическое значения имеют математическое ожидание, дисперсия, асимметрия и эксцесс. Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины –  может быть рассчитано по такой формуле:

.

Математическое ожидание представляет собой начальный момент первого порядка. В общем случае начальный момент порядка  –  определяется таким соотношением:

.

В некоторых монографиях используется иная формула для расчета математического ожидания случайной величины – через плотность вероятности . Последняя формула удобна тем, что она универсальна для непрерывных и дискретных случайных величин. Следует отметить, что случайная величина может не иметь математического ожидания. Для большинства задач такие ситуации не представляют практического интереса.

Математическое ожидание суммы  случайных величин определяется следующим образом:

.

Математическое ожидание произведения  независимых случайных величин может быть вычислено по такой формуле:

.   

Математическое ожидание определяет положение центра распределения случайной величины. Для функции  обычно определяют медиану и моду. Медиана делит площадь под кривой  пополам. Мода непрерывной случайной величины – такое значение , в котором функция  достигает локального максимума. Если функция  имеет один максимум, то распределение называется унимодальным. Мультимодальное распределение имеет несколько мод. На рисунке показаны два графика функции . Эта функция является унимодальной.

Математическое ожидание, медиана и мода

 

В левой части этого рисунка показано распределение, для которого значения математического ожидания, медианы и моды различны. Для функции , изображенной в правой части рисунка, значения математического ожидания, медианы и моды совпадают.

Дисперсия случайной величины –  характеризует меру рассеяния случайной величины. Она рассчитывается как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения:

Дисперсия является центральным моментом второго порядка. Центральный момент порядка  –  определяется таким соотношением:

.

Корень второй степени из дисперсии –  называется среднеквадратическим (или стандартным) отклонением. Отношение среднеквадратического отклонения к среднему значению (если оно больше нуля) именуется коэффициентом вариации случайной величины – :

.

Начальные и центральные моменты порядка  для упрощения часто обозначают как  и  соответственно. Для этих моментов справедливы следующие соотношения:

     

  

Коэффициент асимметрии распределения случайной величины –  определяет степень неравномерности плотности вероятности  относительно своего центра. Он рассчитывается по такой формуле:

.                        

Коэффициент эксцесса распределения случайной величины –  характеризует " островершинность" плотности вероятности . Обычно эту характеристику применяют к унимодальным распределениям.

                             

 

Четыре примера непрерывных распределений

 

Важной характеристикой ФР следует считать квантиль. На рисунке показаны два квантиля, для которых значения ФР составляют 0, 5 и 0, 95 соответственно. Графически квантиль определяется очень просто. Аналитически значения квантиля  можно получить решением уравнения:

Квантили функции распределения

 

Иногда функция распределения определяется в процентах – от 0 до 100%. Тогда квантиль также задается в процентах. В этом случае вместо термина " квантиль" используется термин " процентиль".

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: