Фрактальные процессы и теория телетрафика

 

Фракталами называются структуры, состоящие из частей, которые, в каком-то смысле, подобны целому. Детерминированные фракталы имеют ясный физический смысл. Например, тонна воды, ведро воды и капля воды имеют одну и ту же формулу – . То есть, от изменения масштаба (в данном примере – объема) структура воды не меняется. Этот вывод не может считаться справедливым в отношении свойств льда, если изучается прочность конкретного сосуда для хранения воды. С этой точки зрения в определении важным представляются подчеркнутые слова: " в каком-то смысле".

Другой пример – уравнение прямой: . При изменении величины отрезка , на котором мы графически оцениваем значения , поведение функции  остается неизменным. Если рассматривать кривую , то вид графика  будет в значительной мере определяться величиной отрезка  и его расположением на оси . Очевидно, что мерой " фрактальности" служит поведение производной . Если она постоянна, то функция  удовлетворяет определению фрактала. В частности, кроме функции  это свойство присуще экспоненте.

В теории телетрафика приходится иметь дело с так называемыми стохастическими фрактальными процессами. Определение фрактала в этом случае необходимо изменить. Для стохастического фрактала неизменность процесса при различных масштабах (при вариации времени наблюдения) можно оценивать корреляцией. Ее существование на неком отрезке времени  называют долговременной зависимостью.

Характерной особенностью корреляции для фрактальных процессов считается тот факт, что она убывает по полиномиальному закону. Для привычных (в теории массового обслуживания) моделей убывание этой функции обычно представимо экспонентой.

В технической литературе вместо термина " фрактальность" иногда используют слово " самоподобность" – перевод с английского " self-similarity". Аналогично, вместо термина " долговременная зависимость" (long-term dependence) употребляется слово " персистентность" (калька с английского " persistence" ).

Обычно для задач, связанных с теорией телетрафика, вводится определение для фрактального процесса, основанное – в большей мере – на степенных соотношениях исследуемых величин при изменении масштаба. С этой точки зрения, детерминированные и стохастические фракталы мало схожи между собой. Одно из определений имеет такой вид: " трафик проявляет фрактальные свойства, когда некоторые из его оцененных статистических характеристик проявляют степенную зависимость в широком временном или частотном диапазонах".

Это определение связано с весьма важной особенностью процессов, присущих ряду систем телетрафика. Функции  и/или  имеют распределения с так называемыми " тяжелыми хвостами" – heavy-tailed distributions. Обычно речь идет о распределениях, для которых коэффициент вариации больше единицы. Примером такого распределения может служить функция, описывающая длительность сеансов связи в Интернет. Действительно, по статистике количество сеансов с большей длительностью велико по сравнению со временем телефонного разговора. Поэтому наличие " тяжелых хвостов" – реальная ситуация. Другой пример – появление " пачек" вызовов. В этом случае функция  " хуже" экспоненциальной зависимости в том смысле, что  или даже .

Входящий поток заявок представляется удобным процессом для объяснения свойств фрактальности в системах телетрафика. В частности, одно из объяснений основано на свойстве " последействие". Отсутствие последействия (которое характерно, например, для простейшего потока) не всегда приемлемо для модели исследуемой системы. В подобных случаях вводятся потоки с ограниченным последействием. Их примером может служить поток Пальма – стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием.

Если зависимость от " прошлого" ярко выражена, то модели простейшего потока, потока Пальма и другие (в частности, просеянные) не адекватно представляют функцию . Долговременная (долгосрочная) зависимость от " прошлого" может быть учтена при использовании моделей, основанных на свойствах фрактальности. Для измерения этой зависимости может использоваться функция корреляции. В качестве значений случайного процесса удобно рассматривать количество вызовов, поступающих в единицу времени. Это число целое и положительное. Тогда, случайный процесс можно рассматривать как дискретную последовательность случайных величин. Аргументом будет считаться порядковый номер такой единицы времени:

.

Предположим, что все рассматриваемые далее случайные процессы являются стационарными с ограниченной ковариацией:

.

Дисперсия  и автокорреляционная функция  определяются следующими выражениями:

,     .

Для оценки фрактальности необходимо рассмотреть агрегированные процессы, построенные при усреднении значений исходного процесса на непересекающихся интервалах времени:

.

Определение, данное ранее (трафик проявляет фрактальные свойства, когда некоторые из его оцененных статистических характеристик проявляют степенную зависимость в широком временном или частотном диапазонах), теперь может быть дополнено следующим образом:

Во-первых, убывание дисперсии  для фрактальных процессов представимо соотношением , то есть вариация агрегированных процессов (средних выборок) уменьшается медленнее, чем величина, обратная размеру выборки. Во-вторых, долгосрочная зависимость для фрактальных процессов выражается в том, что автокорреляционная функция расходится: .

Эта функция спадает гиперболически. Иногда вводится третье дополнение, касающееся флуктуационного характера спектра мощности случайного процесса. Применительно к теории телетрафика спектр мощности случайного процесса считают подобным спектру сигнала.

Понятно, что приведенные выше соображения не пригодны для практического выявления свойств фрактальности. Для решения данной задачи предложен параметр Хёрста (Hurst). Он назван по фамилии автора этой идеи. Для выборочного случайного набора  определяют выборочное среднее, выборочную дисперсию и интегральное отклонение:

.

Изменчивость случайного процесса на интервале  определяется как неубывающая функция длины следующего интервала (для ):

.

Хёрст показал, что для многих естественных процессов справедливо соотношение такого вида:

.

Параметр Хёрста лежит в диапазоне от 0, 5 до 1, 0. Для процессов, которые не относятся к фрактальным, . Для фрактальных процессов с так называемой долгосрочной зависимостью параметр Хёрста лежит в диапазоне от 0, 7 до 0, 9.

Трафик данных, как считает ряд специалистов, хорошо описывается фрактальными процессами. Измерения трафика речи свидетельствуют, что они лишь в исключительных случаях представимы фрактальными процессами. На самом деле даже параметр Хёрста не связан с характеристиками, определяющими фрактальность случайного процесса.

 

Литература

 

1. А.Я. Городецкий, В.С. Заборовский Информатика. Фрактальные процессы в компьютерных сетях. Учебное пособие, СПб, СПбГТУ, 2000 г.

2. О.И. Шелухин, А.М. Тенякшев, А.В. Осин. Фрактальные процессы в телекоммуникациях. – М.: Радиотехника, 2003.

3. В.В. Крылов, С.С. Самохвалова. Теория телетрафика и ее приложения. – СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 2005.

 

 

[1] Иногда нормируемые вероятности указываются в промилле (от латинского " pro mille"; буквально – " к тысяче" ). Для перехода к промилле норму в процентах следует умножить на десять.

⇐ Предыдущая9101112131415161718

Поделиться: