ТЕОРИЯ И СООТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ

 

Теория подобия - учение об условиях подобия различных объектов (физ. явлений, процессов, аппаратов, систем), отличающихся масштабами, геометрией или физ. природой.

Основные задачи подобия теории: установление критериев подобия разных объектов, изучение их свойств с помощью этих критериев, определение возможности обобщения результатов решения конкретных задач при отсутствии способов нахождения их полных решений. Успехи в развитии подобия теории связаны с именами И. Ньютона, Ж. Фурье, Дж. Рэлея, T. Афанасьевой-Эренфест, Л. И. Седова и др.

Два объекта подобны, если в соответствующие (сходственные) моменты времени в соответствующих точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одного объекта, пропорциональны значениям соответствующих величин др. объекта. Коэф. пропорциональности соответствующих величин наз. коэффициентами подобия.

Виды подобия. Различают геом., физ., физ.-хим. и мат. подобие.

При геом. подобии пропорциональны геом. характеристики соответствующих элементов объектов (напр., длины, высоты или диаметры аппаратов).

При физ. подобии в пространстве и времени подобны поля соответствующих физ. параметров двух объектов, напр. при кинематич. подобии-поля скоростей, при динамич. подобии-системы действующих сил или силовых полей (силы инерции, тяжести, вязкости, давления и др.); при мех. или гидромех. подобии, предполагающем наличие геом., кинематич. и динамич. подобия,-упругие системы, потоки жидкостей, газов или их смесей и др.; при подобии тепловых процессов-соответствующие поля т-р и тепловых потоков; при подобии массообменных процессов-потоки в-в и поля их концентраций и др.; при подобии хим. процессов - поля концентраций, т-р и др.; при электродинамич. подобии-поля токов, нагрузок, мощностей, электромагн. сил.

Для сложных физ. и физ.-хим. процессов, включающих мех., гидромех., тепло- и массообменные, а также хим. явления, подобия теория устанавливает условия подобия, напр. процессов трения при движении материальных потоков в трубах, каналах и аппаратах, кинетики физ.-хим. превращений и др. явлений. При мат. подобии рассматриваемые объекты описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет говорить, напр., о подобии тепловых и массообменных процессов, и т.п.

Анализ размерностей и нормализация уравнений взаимосвязи физических величин. Осн. метод подобия теории - анализ размерностей физ. величин, характеризующих состояние объекта исследования, и параметров, к-рые определяют это состояние.

Размерность физ. величины – это выражение связи между ней и физ. величинами, положенными в основу системы единиц. Анализ размерностей позволяет определять вид таких ур-ний взаимосвязи физ. величин в изучаемых явлениях. Базой анализа размерностей служит требование, согласно к-рому осн. ур-ния, выражающие связь между переменными и параметрами объекта, должны быть справедливы при любом выборе единиц измерения входящих в них величин; значения переменных определяются решением данной системы ур-ний, значения параметров должны быть заданы для решения этой системы. Из этого требования следует, в общем, что все слагаемые - каждого ур-ния должны иметь одинаковые размерности и, в частности, что с помощью операции, наз. нормализацией (преобразованием), м. б. приведены к безразмерному виду.

Нормализацию обычно проводят в два этапа.

1)На первом этапе все переменные преобразуются к безразмерному виду путем выбора соответствующих масштабов так, чтобы диапазоны изменения всех безразмерных переменных были одинаковы (напр., равны 1). При этом масштабные коэф. переменных включают в состав коэф. соответствующих членов нормализуемого ур-ния.

2)На втором этапе все члены ур-ния делят на один из коэф., что дает возможность сделать каждый член ур-ния безразмерным. Если ур-ние имеет начальные и граничные условия, то и они соотв. преобразуются.

Свойства нормализованных уравнений. Эти ур-ния содержат, как правило, величины двух типов: а) безразмерные зависимые и независимые переменные; б) безразмерные параметры (иногда наз. p-комплексами). Последние включают характерные размеры (масштабы) объекта, а также физ. параметры исходного ур-ния и граничных условий.

Анализ решения нормализованных уравнений. Важное следствие процедуры нормализации состоит в том, что число критериев подобия в безразмерных ур-ниях и их граничных условиях всегда оказывается меньше числа физ. параметров, входящих в исходные соотношения. С одной стороны, это устанавливает необходимое кол-во критериев подобия разл. объектов, принадлежащих к одному классу, с другой - упрощает до нек-рой степени решение целого ряда сложных задач.

Решения безразмерных ур-ний с соответствующими граничными условиями определяют безразмерные переменные объекта как ф-ции независимых переменных и критериев:

где х, у, z - безразмерные пространств.координаты; т-безразмерная переменная, соответствующая времени; p₁-p_n-критерии подобия.

Безразмерный вид ф-ции зависит от вида ур-ний и граничных условий и обычно не м. б. записан в общей форме.

Метод подобия. На практике не всегда удается записать в явном виде полную систему ур-ний, достаточно точно отражающую св-ва объекта, и определить из нее критерии подобия. Одним из методов, позволяющих в этих условиях получить информацию о количеств.оценке подобия, является основанный на использовании соотношений сил, действующих в объекте, т. наз. метод подобия. Последний предполагает, что два объекта подобны, если выполняется их геом., кинематич. и динамич. подобие, причем для соблюдения этих условий достаточно геом. подобия и равенства соотношений всех сил, существующих для данных объектов.

Метод включает след.операции. 1) В рассматриваемом объекте перечисляют силы, к-рые считают наиб. существенными, в т. ч. все независимые и зависимые силы. Каждую из выбранных сил выражают через физ. параметры объекта на основе физ. представлений и соображений размерности. 2) Безразмерные критерии, характеризующие задачу, определяют как соотношения сил. Число критериев, к-рые можно из них образовать, равно числу независимых сил. 3) Для учета геом. подобия составляют соотношения линейных размеров.

Для распространения этого метода на тепловые и по аналогии также на массообменные (диффузионные) процессы предложен обобщенный метод подобия, в к-ром в рассмотрение введены соотношения разл. общих форм энергии (мех., тепловой, хим. и др.). Метод предполагает, что для подобия двух объектов кроме геом. подобия и равенства соотношений сил необходимо также обеспечить подобие соотношений соответствующих энергий.

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Моделирование ‑ это создание модели проектируемой или исследуемой системы или объекта с целью изучения ее свойств или поведения в тех или иных условиях. Применение моделей обусловлено тем, что эксперименты с реальными системами обычно требуют слишком больших затрат средств и времени.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики; это совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование представляет собой метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных математических описаний ‑ математических моделей. При математическом моделировании физика исследуемого процесса при переходе к модели не сохраняется. Математическое моделирование основывается на изоморфизме уравнений, т.е. их способности описывать различные по своей природе явления. Метод математического моделирования основан на идентичности математических описаний процессов, протекающих в моделируемой системе и модели.

Математическая модель может быть получена двумя методами:

· На основе теоретического анализа процесса с использованием основных законов физики, химии и других естественных или экономических наук;

· На основе данных активного или пассивного эксперимента.

Основные этапы математического моделирования:

1. Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4. Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5. Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Классификация моделей. Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем: функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.

 Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями.

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

Примеры математических моделей.

1. Задачи о движении снаряда.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀=30 м/спод углом a=45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально (рис. 1).

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t — время, g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим ответ: y = x – 90x₂, S = 90 м.Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2. Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) — исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) — количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N'(t) пропорциональна N(t), то есть N'(t)=–lN(t), l>0 — константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e^–lt. Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда Например, для радона l = 2,084·10^–6, и следовательно, T = 3,15 сут.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: