Задача. Бурение нефтяной скважины.

Руководитель поисковой группы должен принять решение: бурить нефтяную скважину или нет. Скважина может оказаться " сухой" (С), т.е. без нефти, " маломощной" (М), т.е. с малым содержанием нефти, и " богатой" (Б), т.е. с большим содержанием нефти. Альтернативами руководителя группы являются: x₁ – бурить и x₂ – не бурить. Чистая прибыль при выборе одной из альтернатив в зависимости от возможного типа скважины приведена в таблице прибылей (см. табл. 1)

Таблица 1. Платёжная матрица

Тип скважины Решения	С	М	Б
x1	-70	50	200
x2	0	0	0

Кроме того, руководителю поисковой группы известно, что в данной местности вероятности сухой, маломощной или богатой скважины таковы: P(C)=0.5, P(M)=0.3, P(Б)=0.2.

Руководитель поисковой группы может провести эксперимент с целью уточнения структуры грунта (состояния среды). Этот эксперимент представляет собой сейсморазведку, результатом которой будет ответ – какова структура грунта в данной местности (но не ответ на вопрос о типе скважины! ). В принципе структура грунта может быть либо открытой (О), либо замкнутой (З). Руководитель группы имеет таблицу результатов экспериментов, приведённой в этой местности (см. табл. 2).

Таблица 2. Таблица экспериментальных данных

Тип скважины	Структура грунта		Всего
	открытая (О)	замкнутая (З)
С (сухая)	n11=45	n12=5	50
М (маломощная)	n21=11	n22=19	30
Б (богатая)	n31=4	n32=16	20
Всего	60	40	n=100

Эта таблица показывает, сколько раз на грунтах открытой и грунтах замкнутой структуры встречались скважины типа С, М, Б (т.е. даёт совместную статистику грунта и типа скважин для данной местности).

Проведём анализ экспериментальных данных полученной таблицы. Предположим, что произведено n экспериментов, результаты которых являются значениями дискретных случайных величин X (тип скважины) и Y (структура грунта), которые принимают соответственно значения С, М, Б и О, З. Обозначим через n₁₁ число экспериментов, в которых X=С и Y=О, через n₁₂ число экспериментов, в которых X=С и Y=З, через n₂₁ число экспериментов, в которых X=М и Y=О и т.д. В нашем случае n=100, n₁₁=45, n₁₂=5, n₂₁=11. Разделив значения таблицы 2 на 100 (на число проведённых экспериментов), мы получим закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) заданной в табличной форме (см. табл. 3).

Таблица 3. Статистический ряд распределения двумерной с.в. (X, Y)

X, тип скважины	Y, структура грунта
	открытая (О)	замкнутая (З)
С (сухая)	p11=0.45	p12=0.05	0.50
М (маломощная)	p21=0.11	p22=0.19	0.30
Б (богатая)	p31=0.04	p32=0.16	0.20
	0.60	0.40	1

Из таблицы 3 следует, что Р(X=C)=P(C)=0.5, Р(X=M)=P(M)=0.3, Р(X=Б)=P(Б)=0.2; Р(Y=O)=P(O)=0.6, Р(Y=З)=P(З)=0.4,

Итак, руководитель группы должен принять решение:

· проводить ли эксперимент (его стоимость составляет 10 единиц);

· если проводить, то, как поступать в дальнейшем в зависимости от результатов эксперимента.

Таким образом, получена многошаговая задача принятия решений в условиях риска. Опишем методику нахождения оптимального решения.

Шаг 1. Построим дерево (рис. 1), на котором указаны все этапы процесса принятия решений – дерево решений. Ветви дерева соответствуют возможным альтернативам, а вершины – возникающим ситуациям. Альтернативами руководителя поисковой группы являются: α – отказ от эксперимента, β – проведение эксперимента, x₁ – бурить, x₂ – не бурить. Состояния природы: выбор типа скважины (С, М, Б), а также выбор структуры грунта (О, З).

Построенное дерево определяет игру руководителя группы с природой. Позициями данной игры служат вершины дерева, а ходами игроков – выбираемые ими решения. Позиции, в которых ход делает руководитель группы, изображены прямоугольником; позиции, в которых ход делает природа, – кружком.

Игра протекает следующим образом. В начальной позиции ход делает руководитель группы. Он должен принять решение – отказаться от эксперимента (выбрать решение α ) или проводить эксперимент (выбрать решение β ). Если он отказался от эксперимента, то игра переходит в следующую позицию, в которой руководитель группы должен принять решение: бурить (выбрать альтернативу x₁) или не бурить (выбрать альтернативу x₂). Если же он решает проводить эксперимент, то игра переходит в позицию, в которой ход делает природа, выбирая одно из состояний О или З, соответствующих возможным результатам эксперимента, и т. д. Игра заканчивается тогда, когда она переходит в окончательную позицию (т.е. вершину дерева, для которой нет исходящих из неё ветвей)

Шаг 2. Для каждого решения, которое является ходом природы (т.е. исходит из позиции, изображённой кружком), надо найти вероятность этого хода. Для этого поступаем следующим образом. Для каждой позиции дерева существует единственный путь, соединяющий эту позицию с начальной позицией. Если это для позиции природы, путь, соединяющий её с с начальной позицией, не проходит через позицию (Э), означающую проведение эксперимента, то вероятности состояний Р(С), Р(М) и Р(Б) являются безусловными (доопытными) и находятся из табл. 3:

Р(С)=50/100, Р(М)=30/100, Р(Б)=20/100.

Если же для позиции природы путь, соединяющий её с начальной позицией, проходит через позицию (Э), то вероятности состояний среды становятся условными вероятностями и находятся по формулам (1), используя данные табл. 3:

=45/60; =5/40;

  =1/15; .

В позиции (Э) вероятности ходов, приводящих к позициям (О) и (З), находятся из таблицы 3: Р(О)=0.6, Р(З)=0.4.

Рис. 1. Дерево решений

Шаг 3. Произведём оценку всех позиций дерева игры, " спускаясь" от конечных позиций к начальной. Оценкой позиции служит ожидаемый выигрыш в этой позиции. Оценки конечных позиций находим из таблицы 2. Укажем теперь способ нахождения оценки произвольной позиции дерева игры в предположении, что уже найдены оценки всех следующих за ней позиций.

Для позиции природы её оценка представляет собой ожидаемый выигрыш (см. рис 2);

Д

b₁ b₂ b₃

ля позиции игрока оценкой служит максимум всех за ней позиций. Мотив: в " своей" позиции игрок может сделать любой ход, поэтому он выберет тот, который приводит к наибольшему возможному выигрышу (см. рис 3). В каждой позиции игрок помечает черточкой ту ветвь дерева, которая приводит к позиции, имеющей максимальную оценку.

О

Без проведения эксперимента. Выбираем максимальное значение из (20, 0). Оно равно 20.

братимся к рис. 1. Получаем, что в начальной позиции ожидаемая прибыль без проведения эксперимента (альтернатива α ) – 20 единиц; ожидаемая прибыль с проведением эксперимента (альтернатива β ) – 28 единиц. Таким образом, целесообразным является решение – проводить эксперимент (сейсморазведку). Далее, если эксперимент покажет, что грунт открытый, то бурение производить не следует, а если замкнутый, то нужно бурить.

1 – ветвь: = 20

2 – ветвь: 0

3

С проведением эксперимента.
Выбираем максимальное значение из
(-30, 0, 95, 0). Оно равно 95.

– ветвь: = -30

4 – ветвь: 0

5 – ветвь: =95

6 – ветвь: 0

Как следует из условия задачи, значение в 95 единиц мы можем получить с вероятностью 0.4. Следовательно, ожидаемый выигрыш будет равен 0.4*95=38 единицам. Вычитаем расходы на проведение эксперимента равное 10 единицам.

В итоге получим 28 единиц.

Деревья решений иерархически представляют собой логическую структуру принятия решений, и облегчает тем самым понимание задачи и процесс её решения. В отличие от матрицы решений здесь можно видеть временной ход процесса принятия решения. Дерево решений нельзя, однако, в общем случае представить простой матрицей решений; так могут быть представлены лишь отдельные этапы процесса. Разбиение на этапы производят так, чтобы выбор решения начинался с некоторого узла решений, от которого исходят одна или несколько ветвей, представляющих варианты решений. Далее следуют узлы событий и на конце – листья", представляющие конечные состояния с указанием значений соответствующих выходных параметров. Если же за узлами событий следует опять узел решений с соответствующими действиями, тогда это и всё последующие разветвления относятся к более поздней стадии выбора решения.. Таким образом, можно проследить весь путь с начала до конца дерева решений.

В дереве решений различают узлы событий и узлы решений. Можно себе представить, что в узлах событий выбор дальнейшего пути определяется внешними условиями (природой, в теории игр противником), а в узлах решений – лицом, принимающим решение.

Деревья решений легко поддаются модификации: при необходимости их можно дополнительно развить, а в случаях, когда какие-либо ветви практически лишены значения, – соответственно уменьшить. Узлы решений, если они связаны с одним действием и не разделены узлами событий могут быть объединены. То же справедливо и для узлов событий.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: