Применение операционного исчисления к решению систем линейных дифференциaльных уравнений.

 

     Системы линейных дифференциальных уравнений решаются аналогично тому, как решаются дифференциальные уравнения.

     Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти решение системы.

.

Пусть , а , , изображение системы имеет вид:

 или

Найдём решение этой линейной системы по формулам Крамера:

, отсюда

, отсюда

Примеры для самостоятельного решения.

Операторным методом решить систему дифференциальных уравнений.

1) ; 2) ;

 3)

 

4)

Ответы:

1)  ;  2)

 

3) ;  4)

                                                     

Таблица оригиналов и изображений.

 

N			N
1			14
2			15
3			16
4	, -целое, пол.		17
5			18
6			19
7			20
8			21
9			22
10			23
11			24
N			N
12			25
13			26
27			32
N			N
28			33
29			34
30			35
31			36

 

Таблица сверток оригиналов.

 

1		19
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
37		45
38		46
39		47
40		48
41		49
42		50
43		51
44

 

Образец решения контрольной работы.

Задача1. По данному графику оригинала найти изображение:

 

Решение.

Запишем оригинал:

Преобразуем оригинал к виду, удобному для получения изображения:

Воспользуемся теоремами линейности и теоремой запаздывания, тогда .

Ответ.  

Задача 2. Найти оригинал по заданному изображению:

Решение.

Найдем сначала оригинал для дроби .

Разложим эту дробь на простейшие и найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов

При       получим        

При       получим         .

Приравниваем коэффициенты при равных степенях:

:         0=A+B+C             

:         0=A+D+C             

оригинал этого изображения имеет вид:

.

Так как изображение имеет вид рациональной дроби, умноженной на , применим теорему запаздывания при . Оригинал исходного изображения f ( t )  равен   

Задача3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

 Решить задачу Коши.

Решение.

Пусть – изображение решения x(t) данного уравнения, тогда , .

Изображение правой части: . Составляем операторное уравнение: , отсюда .

;

;

;

;

.

Используя таблицу основных изображений, получаем, что

Задача 4.  Найти решение системы  , если .

Решение.

     Пусть  ,  , , тогда

изображение системы имеет вид

 или  

По формулам Крамера: ,

 

Задания контрольной работы

 

 Задача1. По данному графику оригинала найти изображение:

Варианты 1-10.   

 1.

2.

 

3.

 

 

4.

 

5.

 

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

 

10.

 

Задача 2.  Найти оригинал по заданному изображению:

Варианты1-10

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Варианты1-10.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 4. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям.

Варианты1-10.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

 

Список учебной литературы

 

 

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: В 2т. Т.2/ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.

2. Бубер, В.Б. Операционное исчисление. Опорный конспект лекций по высшей математике/ В.Б. Бубер, З.Д. Ломакина. – Мурманск, 1990.

3. Конторович, М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях/ М.И. Конторович. - М.: Сов.Радио, 1975.

4. Шелковников, Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению/ Ф.А. Шелковников, К.Г. Такайшвили. – М.: Высшая школа, 1976.

5. Данко, П.Б. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.2/ П.Б. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1999.

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: