Частотная классификация фильтров

Вся область частот от f = 0 до f = ¥ подразделяется на: а) области, где ослабление не превышает некоторое заданное значение ослабления  (полосы пропускания - ПП); б) области, где ослабление не менее некоторого заданного значения  (полосы задерживания - ПЗ); в) переходные области (ПО) между ПП и ПЗ, где требования к частотной характеристике ослабления не задаются.

По взаимному расположению ПП и ПЗ различают 4 типа фильтров: а) фильтры нижних частот (ФНЧ); б) фильтры верхних частот (ФВЧ); в) полосовые фильтры (ПФ); г) режекторные фильтры (РФ). Амплитудно-частотные передаточные характеристики идеальных фильтров приведены на рис. 1 (а - ФНЧ, б - ФВЧ, в - ПФ, г - РФ). Требования по ослаблению для всех четырех типов фильтров показаны на рис. 2.

    

H(f)     H(f)           H(f)          H(f)  

    ФНЧ      ФВЧ        ПФ                     РФ

    f              f                   f                        f

   0      0              0  0

а)                б)                          в)                   г)

Рис. 1. Амплитудно-частотные передаточные характеристики

идеальных фильтров

На этих рисунках  и  - граничные частоты полос пропускания,  и  - граничные частоты ПЗ, DА - неравномерность характеристики ослабления фильтра в ПП.

                                   

			РФ
	ПФ

ФВЧ

ФНЧ

 

 

a)                   б)            в)              г)

Рис. 2. Частотные характеристики ослабления идеальных фильтров

Нагрузка фильтров

 

Фильтры могут быть нагружены двухсторонне (рис. 3 а) и односторонне (рис. 3 б, в).

                                   

                 U R_H                                                         

а)                            б)                       в)

Рис. 3. Виды нагрузок фильтров

(1, a)

Операторная передаточная функция для схемы (рис.3, а) определяется выражением

Для схем рис.3, б, в           .                                   (1, б)

Ослабление фильтра для всех трех схем вычисляется по формуле

 

                             (2)

Нормирование

 

При синтезе фильтров широко исполь­зуется нормирование по сопротивлению и частоте:

– нормированное сопротивление;

 - нормированная комплексная частота;

 

W = ω / ω ₀ – нор мированная вещественная частота.

Нормирование по сопротивлению и частоте

(3)

 

В этих формулах  и  - нормирующие сопротивление и частота.

ФПНЧ - это фильтр-прототип нижних частот с нормированными значениями сопротивления и частоты, равными единице.

Нормированные сопротивления r, индуктивности l, емкости c вычисляются по формулам

;  ; .                  (4)

Денормирование

Денормирование - это переход от нормированных величин к действительным (номинальным). Коэффициенты денормирования сопротивлений, индуктивностей и емкостей определяются по формулам

; ; .                          (5)

Действительные номинальные сопротивления, индуктивности и емкости вычисляют через коэффициенты денормирования по формулам

; ; .                            (6)

Полиномиальные фильтры

 Это такие филь­тры, операторная передаточная функция которых определяется выражением

,                                           (7)

здесь  - полином Гурвица порядка n , постоянный множитель  определяет величину ослабления ФНЧП на частоте W=0.

По расположению полос частот пропускания (ПП) и задерживания (ПЗ) фильтры разделяются на ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.

 Ослабление полиномиального фильтра (т.е. его АЧХ) является

четной функцией нормированной частоты вида

Здесь |H(jW)| - модуль передаточной функции фильтра. 

 Если A_n-1=A_n-2=…=A₁=0, а A₀=A_n=1, то

(8)

где _.

Фильтры Баттерворта

Для полиномиальных фильтров с характеристикой Баттерворта принято частоту  нормировать по частоте , при которой  уменьшается до 1/Ö 2 = 0, 707 относительно максимального значения Н(0)=1, т.е. когда ослабление составляет 3 дБ. При этом А₀=1 и

(9)

Такие фильтры называются фильтрами с максимально плоской характеристикой ослабления в ПП или фильтрами с характеристиками Баттерворта.

Передаточные функции этих фильтров определяются по формуле

(10)

 

                                          

1

0, 707               n=2                        n=4

n=4                            n=2

DА

0          1          0        

a)                                  б)

Рис.4. Зависимость модуля передаточной функции H(Ω ) и ослабления A(Ω ) от порядка фильтра Баттерворта

 

На рис.4а приведены графи­ки частотной зависимости модуля передаточной функции  таких фильтров для двух значений n при ослаблении на границе полосы пропускания DА=3 дБ на уровне W=1, а на рис.4, б - кривые ослабления для тех же n.

Ослабление в этом случае определяется по формуле (9).

Если по условиям задачи ослабление в ПП на его граничной частоте  не должно превышать некоторой величины DА, не равной 3 дБ, то нормирующая частота  вычисляется по формуле

 

 

для ФНЧ            (11, а)

для ФВЧ            (11, б)

     а ослабление рассчитывается по формуле

.                                (12)

Передаточная функция ФНЧ Баттерворта в нормированных величинах имеет вид

,                                          (13)

где         – полином Гурвица, а .

Нули полинома Баттерворта рассчитывают по формулам

при n - четных ;                             (13, а)

  при n - нечетных .                                          (13, б)

В этих формулах k = 1, 2, ... 2n. Из этих 2n значений надо выбрать те n значений, которые для  имеют отрицательные ве­щественные части. Произведение сомножителей ( ), соответ­ствующих всем  с отрицательными вещественными частями, образует полином        .          (14)

2.1.5.2. Фильтры Чебышева имеют равномерно-колебатель­ную характеристику в ПП и монотонное возрастание в ПЗ. Для таких фильтров квадрат модуля переда­точной функции

       ,                                             (15)

где  – полином Чебышева степени n, он является четным или нечетным.

Передаточная функция ФНЧ Чебышева имеет вид

(16)

Здесь произведение всех  также полином Гурвица.

Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева, расположенные в левой полуплоскости, рассчитываются по формулам

(17)

Оптимальные свойства чебышевской аппроксимации заключаются в том, что из всех передаточных функций, все полюсы которых лежат в бесконечности, функция Чебышева имеет наименьшую сложность при заданной неравномерности в полосе пропускания и наибольшую крутизну ослабления при переходе к ПЗ.

Фильтры Чебышева целесообразно использовать в тех случаях, когда наиболее важным является равномерное прохождение частот во всей полосе пропускания. Однако эти фильтры обладают суще­ственной нелинейной фазовой характеристикой, а, следовательно, и непостоянным временем задержки.

Зависимости модуля передаточной функции от нормированной частоты для фильтра Чебышева для n нечетного и четного приведены на рис. 5.

Ослабление фильтра Чебышева определяют по формуле

,                      (18)

где  - полином Чебышева степени n,

ε – коэффициент неравномерности, который связан с r-коэффициентом отражения на границе полосы пропускания соотношением 

                                  (19)

                       

                   

                                                       H(f)

                    1                            1

                   n=5                        n=6

                    0                         0      

 

Рис. 5. Зависимость модуля передаточной функции от порядка фильтра

 

Так, например, для r = 0, 1 DA = 0, 044дБ; для r = 0, 15 DA = 0, 099дБ.

На рис. 6, а, б приведены соответствующие кривые ослабления ФНЧ для n нечетного и четного; на рис. 6в - для ПФ при n = 3.

A                        A                    A

n=5                       n=6

DA                      DA

0    1     W 0            1 W 0 W_-1 W₀ W₁ W

а)                          б)                в)

Рис. 6. Кривые ослабления для четного и нечетного порядков фильтра

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: