Высокого порядка на базе ИНУН

 

При реализации фильтров высокого порядка наибольшее применение имеют каскадно-развязанное соединение звеньев второго порядка. Такое соединение обеспечивается при весьма высоких входных и малых выходных сопротивлениях. Важным преимуществом каскадно-развязывающей реализации является возможность проводить независимую подстройку каждого звена фильтра. Кроме того, это почти всегда приводит к фильтровым структурам, обладающим меньшей чувствительностью к изменениям параметров по сравнению с фильтрами непосредственной реализации.

 

Порядок расчетов фильтра

 

1. Определяется нормированная граничная частота ПЗ ФНЧП по формуле .

2. По формуле (23) для фильтра Баттерворта и по формуле (24) для фильтра Чебышева определяется порядок n ФНЧП.

3. Нормированная передаточная функция  рассматривается в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев второго и первого порядков. Если n - четное число, то фильтр состоит из  звеньев второго порядка. При n - нечетном в составе фильтра будет  звеньев второго порядка и одно звено первого порядка, которое обычно включают на выходе фильтра.                    ,                           (45)

где  - передаточные функции отдельных звеньев.

4. Определяются нормированные значения полюсов   передаточных функций второго порядка:

- для фильтра Баттерворта по формуле (13, а) или (13, б);

- для фильтра Чебышева по формуле (17).

5. Для каждой пары комплексно-сопряженных полюсов  и  вычисляются выражения квадратного трехчлена

                             (46)

и соответствующее выражение передаточной функции звена второго порядка                                                                      .                                                                  (47)

  6. Путем замены  на  выполняется денормирование передаточной функции звена второго порядка

.                             (48)

7. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменного p знаменателей передаточных функций (28) или (33) и (48), соответствующей схеме рис. 8 ARC-фильтра. Эта система из двух уравнений содержит пять неизвестных. Это означает, что она не имеет однозначного решения. Для их определения обычно задаются дополнительные условия. С учетом этого вычисляют остальные неизвестные.

Если порядок фильтра n - нечетный, то схема будет содержать одно звено первого порядка. Для него передаточная функция будет иметь вид

.                                            (49)

Заменяя  на , получим . (50)          

Схема звена ФНЧ первого порядка реализуется пассивной RC цепью (рис. 9). Ее передаточная функция равна

.                                           (51)

Сравнивая свободные члены знаменателей в (50) и (51), получаем значения .                      

 

                                                                

 

Рис. 9. Схема звена ФНЧ первого порядка.

3. Примеры расчетов электрических фильтров

Расчет ФВЧ Баттерворта

Рассчитать с использованием таблиц фильтр верхних частот Баттерворта, нагруженный двухсторонне по данным: граничная частота ПП  = 60 Гц, неравномерность характеристики ослабления в ПП не должна превышать =2 дБ, а при частотах = 30 Гц ослабление фильтра должно быть не менее =15 дБ, =75 Ом. Определить ослабление фильтра на частотах: 0, 2 ; 0, 5 ; ; ; .

Решение

Вычисляем нормированную граничную частоту полосы задерживания ФНЧП  = 60/30 = 2. По формуле (23) или по программе Exel (см. приложение П.2.3.1) определяем порядок ФНЧП

.

Округляем полученный результат до большего целого числа. Принимаем n=3. По найденному значению порядка фильтра n = 3 по табл. П.1.1 определяем нормированные значения параметров элементов ФНЧП .

Схемы ФНЧ прототипа при n = 3 приведены на рис.10.

                                                  

r_г

            с₂                                  J                  

 

E₁

 

а)                                                 б)

Рис. 10. Схемы ФНЧ прототипа при n=3

Выберем для дальнейшего расчета схему рис.10, а.

C₁            C₃

 

R_Г

                                              

                                                          

                                                          L ₂              R _H

 

E_Г

Рис. 11. Схема ФВЧ Баттерворта

 

Преобразуем полученную схему ФНЧП (рис.10, а) в схему требуемого ФВЧ (рис.11). Вычислим частоту, на которой ослабление фильтра равно 3 дБ.

Определяем коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей

,

.

Рассчитаем номинальные значения элементов ФВЧ (табл. 5) по формулам

,

.

Расчет частотной характеристики ослабления А(f) проводим по формуле

(9, а) или по программе Excel (см. приложение П.2.3, П.2.4)

                                                                                         Таблица 6

Результаты расчета A(f) LC ФВЧ Баттерворта прядка n=3

	0, 2	0, 5
, кГц	6	15	30	54.8	60
	10	4	2	1.1	1
A, дБ	57, 6	33, 7	15, 8	3	2

График зависимости ослабления от частоты А(f) приведен на рис.12.

           А, дБ

 

50

40

30

20

15                                  ПП

10 ПЗ

                 0   10 20 30 40  60    80 , Гц

Рис. 12. Частотная характеристика ослабления ФВЧ

= 30 Гц = 60 Гц

 

Из графика рис. 12 и табл. 6 видно, что  = 15, 8 дБ > = 15 дБ,

 = 2 дБ = , что удовлетворяет заданным требованиям.

 

Расчет ФВЧ Чебышева

 

Рассчитать с использованием таблиц ФВЧ Чебышева, удовлетворяющий требованиям: граничная частота ПП = 5 кГц, максимальное ослабление в этой полосе не должно превосходить =1 дБ, а ослабление в ПЗ = 2, 5 кГц должно быть не менее = 37 дБ. Нагрузочные сопротивления: =75 Ом. Рассчитать ослабление фильтра на частотах: 0, 2 ; 0, 5 ; ;  и построить кривую ослабления A(f).

Решение

  Определяем нормированную граничную частоту ПЗ ФНЧП

=5/2, 5=2.

По формуле (24) определяем порядок фильтра

.

Так как порядок фильтра должен быть целым числом, округляем полученный результат до большего целого числа n = 5. По таблице П.1.2 определяем значения элементов ФНЧП при n = 5 и =1 дБ

c₁ ( )=2, 135; c₃( )=3; c₅( )=2, 135; (с₂) = 1, 091; (с₄)=1, 091.

Схемы ФНЧП при n = 5 приведены на рис. 13.

r_г   ℓ ₁     ℓ ₃        ℓ ₅         r_г      ℓ ₂       ℓ ₄

e_г                   с₂       c₄         r_н   e_г    с₁       c₃        c₅ r_н

 

а)                                 б)

Рис. 13. Варианты схем ФНЧП Чебышева при n = 5

Выберем для дальнейшего расчета схему рис.13, а. Преобразуем схему ФНЧП в схему ФВЧ путем замены индуктивного элемента емкостным, и наоборот (табл. 5). R_г         C₁           C₃              C₅

e_г                              L₂            L₄                      R_H

 

Рис. 14. Схема ФВЧ Чебышева при n = 5

Определим коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей

             ;

            .

Рассчитаем номинальные значения элементов ФВЧ (табл. 5)

C₁ = C₅ = k_С/ℓ ₁= 0, 425/2, 135 = 0, 199 мкФ;

                          L₂ = L₄ = k_L/c₂=2, 39/1, 091 = 2, 19 мГн;

                                C₃ =k_С/ℓ ₃= 0, 425/3 =0, 142 мкФ.

Рассчитаем ослабление фильтра по формуле (18). Результаты расчета сведем в табл. 7.

Таблица 7

	0, 2	0, 5
, кГц	0, 5	1, 25	2, 5	5
	10	4	2	1
A, Дб	118	77, 7	45, 3	1

 

Рис. 15. График ослабления LC  ФВЧ Чебышева

Для проверки правильности расчета фильтра сравним значения ослабления, рассчитанные и требуемые на частотах  и . 45, 3 дБ > =37 дБ; 1 дБ = DA, что подтверждает правильность расчета.

Расчет ПФ Баттерворта

Рассчитать параметры симметричного двусторонне нагруженного LC ПФ Баттерворта по данным: гра­ничные частоты ПП = 4 кГц, = 9 кГц, в этой полосе ослабление должно быть не более DA = 3 дБ, а на частоте

= 12 кГц ослабление должно быть не менее A_s=20 дБ. Соп­ротивление генератора и нагрузки фильтра R_г = R_Н = R = 600 Ом. Рассчитать ослабление фильтра при частотах , , , , , 1, 5 , 2 . Начертить график зависимости .

Решение

Определяем среднюю геометрическую частоту ПФ

Из этого выражения определяем нижнюю граничную частоту ПЗ

.

Нормированная граничная частота ПЗ ФНЧП

.

По формуле (23) определяем порядок ФНЧП

Полученный результат округляем до большего целого n = 4. По таблице П.1.2 определяем нормированные значения элементов ФНЧП при n = 4

c₁(ℓ ₁^’)=0, 7654; ℓ ₁(c₁^’)=1, 8478; c₃(ℓ ₃^’)=1, 8478; ℓ ₄(c₄^’)=0, 7654.

r_г’    ℓ ₁‘ ℓ ₃‘                                           ℓ ₂   ℓ ₄

 е_г                   c₂’     c₄’                     j g_г c₁     c₃        g_н

а)                                                        б)

Рис. 16. Схемы ФНЧП при n = 4

Выберем для дальнейшего расчета схему рис. 16, а. Преобразуем схему ФНЧП в схему ПФ, заменив каждую индуктивность на последовательный колебательный контур, а каждую емкость – на параллельный колебательный контур (табл. 5). В результате преобразования получим схему ПФ (рис. 17).

 

R_г   L₁ C₁    L₃ C₃

e_г                   C₂  L₂  C₄     L₄ R_н

 

 

                           Рис. 17. Схема ПФ Баттерворта

Коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей равны

;

.

Коэффициент преобразования ширины полосы пропускания ПФ в ФНЧП равен                 .

По формулам табл.5 вычисляем номинальные значения параметров элементов ПФ                   ;

;

;

;

;

;

;

.

При расчете ослабления ПФ следует иметь в виду, что его надо вести на соответствующих частотах ФНЧП. В табл.8 приведены пары частот  и  ПФ, связанные соотношением , и соответствующая им нормированная частота Ω ФНЧП, определяемая по формуле . Расчет ослабления ведется по формуле (9, а). Расчёт A(f)  существенно упрощается при использовании программы Excel (см. приложение П.2.4.4 и П.2.5) Результаты расчета сведены в табл. 8.

Таблица 8

		и	и	и 1, 5	и 2
, кГц	6	4 и 9	3 и 12	2 и 18	1, 5 и 24
	0	m1	m1, 8	m3, 4	m4, 5
A, дБ	0	3	20, 44	42, 5	52, 24

 

 

 

 

									ПЗ

 

 

Рис. 18. График зависимости ослабления от частоты ПФ Баттерворта

Для проверки правильности расчета фильтра сравним расчетные и заданные ослабления на граничных частотах ПП и ПЗ:  = 20, 44 дБ > A_s = 20 дБ;  = 3 дБ = DA, что подтверждает правильность расчета.

 

Расчет LC ПФ Чебышева

Рассчитать параметры симметричного двусторонне нагруженного LC ПФ Чебышева по данным: ширина ПП = 4, 5 кГц, верхняя граничная частота ПП

=12, 5 кГц, в этой полосе ослабление должно быть не более DA=1 дБ, а при частоте = 16 кГц и более ослабление должно быть не менее A_s=18 дБ. Сопротивления нагрузок фильтра R_г= R_Н = R = 600 Ом. Рассчитать ослабление фильтра при частотах , , , f, , 1, 5 , 2 . Начертить кривую ослабления в зависимости от частоты .

Решение

Определим нижнюю граничную частоту ПП

=12, 5 - 4, 5=8 кГц.

Средняя геометрическая частота ПФ равна

Из этого выражения определяем нижнюю граничную частоту ПЗ

.

Определяем нормированную граничную частоту ПЗ ФНЧ - прототипа

, где .

По формуле (24) определяем порядок ФНЧП

Округлив результат до ближайшего большего целого, принимаем n = 3.

По табл. П.1.2 для DA =1 дБ и n = 3 нормированные элементы ФНЧП имеют значения   c₁(ℓ ₁)=2, 024; ℓ ₂(c₂)=0, 994;    c₃(ℓ ₃)=2, 024.

Схемы ФНЧП третьего порядка представлены на рис. 19.

                                                        ℓ ₂

 E_г                                                J_г g_г c₁     c₃         g_н

 

а)                                       б)

Рис. 19. Варианты схем ФНЧП Чебышева третьего порядка

Выберем для дальнейшего расчета схему рис. 19, а. От схемы ФНЧП перейдем к схеме ПФ, воспользовавшись таблицей П.1.2.

                      R_г   L₁ C₁    L₃ C₃

E_г                  C₂        L₂           R_н

Рис. 20. Схема ПФ Чебышева при n=3

      Коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей равны

                   ,

                     .

По формулам таблицы 5 вычисляем номинальные значения элементов ПФ

             ;

             ;

             ;

                     .

Расчет ослабления проводим по формуле (18). Нормированная частота определяется по формуле . Расчёт существенно упрощается при использовании программы Excel (см. приложение П.2.7). Результаты расчета сведены в табл. 9.

Таблица 9

		и	и	и 1, 5	и 2
, кГц	10	8 и 12, 5	6, 25 и 16	4, 1 и 24	3, 1 и 32
	0	m1	m2, 167	m4, 4	m6, 4
A, дБ	0	1	24, 8	44, 4	54, 4

 

А, дБ

60

50

40

30

20

10

3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 , кГц

Рис. 21. График зависимости ослабления от частоты ПФ Чебышева при n = 3

Из выше приведенного расчета видно, что =24, 8дБ> A_s=20дБ и =1 дБ = DA, что подтверждает правильность расчета.

Расчет ARC ФНЧ Баттерворта

Рассчитать активный RC фильтр нижних частот Баттерворта, удовлетворяющий требованиям: =175 Гц; =2, 5 дБ; =350 Гц;

= 21 дБ; C₁ = C₂ = C₁₀ = 70 нФ; R₁ = R₂ = R₁₀. Рассчитать частотную характеристику ослабления на частотах: , , , 1, 5 , 2 .

Решение

Определяем нормированную граничную частоту ПЗ .

Порядок ФНЧП определяется по формуле (23).

Полученное значение округляем до ближайшего большего целого числа, т.е. принимаем n = 4.

Рассчитаем нули полинома знаменателя передаточной функции Баттерворта при n = 4 по формуле (13, а)

при n=4, k=1; =0, 9238+j0, 3827;

при n=4, k=2; =0, 3827+j0, 9238;

при n=4, k=3; =-0, 3827+j0, 9238;

при n=4, k=4; =-0, 9238+j0, 3827;

при n=4, k=5; =-0, 9238-j0, 3827;

при n=4, k=6; =-0, 3827-j0, 9238.

Выберем те s_k, у которых вещественные части отрицательные. Вычислим квадратные трехчлены:

(s - s₃) (s - s₆) = (s + 0, 3827 –j 0, 9238) (s + 0, 3827 + j0, 9238) = s² + 0, 7654s + 1;

 

(s - s₄) (s - s₅) = (s + 0, 9238 - j0, 3827) (s + 0, 9238 + j0, 3827) = s² + 1, 8476s +1.

Передаточная функция ФНЧ - прототипа имеет вид

Таким образом, схема фильтра будет состоять из двух звеньев 2-го порядка.

Определим частоту среза ФНЧ Баттерворта по формуле (11 а)

.

Выполним денормирование передаточной функции путем замены . Тогда передаточная функция первого звена примет вид

.

Приравнивая коэффициенты при равных степенях p знаменателей, составим систему уравнений

.

Так как                  , то ,

,

 

        ,

 

.

 

                                                        

 

 

                                                         

 

Рис. 22. Схема первого звена ФНЧ Баттерворта

 

Выполним аналогичные действия с передаточной функцией второго звена H₂(s) и получим

по формуле (34)

,

.

Так как , то .

, .

 

 

Рис. 23. Схема второго звена ФНЧ

 

При каскадном соединении звеньев схема фильтра будет иметь вид рис.24.

 

   R₁₀ R₁₀ C₁₀ K₁           R₂₀   R₂₀ C₂₀   K₂

 

 

                C₁₀                                         C₂₀

 

 

     

 

Рис. 24. Схема ARC ФНЧ Баттерворта четвертого порядка

Расчет частотной характеристики ослабления A( ) фильтра производится по формулам

;

 

.

Расчёт частотной характеристики ослабления A(f) существенно упрощается при использовании табличного процессора Excel (см. приложение П.2.8)

Результаты расчета сведены в табл. 10.

                                                                               Таблица 10

				1, 5	2
, кГц	175	180, 6	350	525	700
А, дБ	2.5	3	23	37	47

Рис. 25. Частотная характеристика ослабления A(f)

ARC ФНЧ Баттерворта четвертого порядка

 

Из таблицы 10 и графика рис.25 видно, что  = 23 дБ> A_S = 21 дБ и  = 2, 5 дБ = DA, следовательно, рассчитанный фильтр удовлетворяет заданным требованиям.

Расчет ARC ФНЧ Чебышева

 

Рассчитать активный RC фильтр нижних частот Чебышева, удовлетворяющий требованиям: = 40 Гц; =1, 5 дБ; =100 Гц; = 30 дБ; С₁ = С₂ = С₁₀; R₁ = R₂ = R₁₀ =10 кОм.

Рассчитать частотную характеристику ослабления на частотах , , 1, 5 , 2 .

Решение

 

Нормированная граничная частота ПЗ равна

W_S= / =100/40 = 2, 5.

Порядок фильтра определяется по формуле (24)

.

Принимаем n=3, т.е. необходимо синтезировать фильтр, схема которого состоит из одного звена второго порядка и одного звена первого порядка.

Расчет коэффициентов полинома знаменателя функции Чебышева проводим по формулам

;

;

.

Нормированные значения полюсов передаточной функции определяются по формуле (17)

.

При n = 3 и k = 1: ;

при n = 3 и k = 2:

при n = 3 и k = 3: .

Вычислим выражение квадратного трехчлена, соответствующего паре сопряженных полюсов s₁ и s₃

(s - s₁) (s - s₃) = (s +0, 2085 - j0, 9353) (s + 0, 2085 + j0, 9353) = s² + 0, 417s + 0, 91826.

Синтез фильтра осуществим на основе каскадного соединения двух звеньев - первого и второго порядков. Передаточная функция ФНЧ -прототипа имеет вид

Передаточная функция звена второго порядка ФНЧП равна

.

Поделим числитель и знаменатель H₁(s) на 0, 91826 и получим

.

Выполним денормирование передаточных функций путем замены s на  (для фильтра Чебышева = )

Передаточная функция звена второго порядка при условии R₁= R₂ = R₁₀ и

С₁ = С₂ = С₁₀   имеет вид     .

Приравняем коэффициенты при равных степенях p в знаменателях двух последних выражений и получим систему двух уравнений

.

Совместное решение этих двух уравнений дает следующий результат:

            ; R₁₀ = 10 кОм;

;

   ; .

 

 

                                     

 

                                              

 

Рис. 26. Схема ARC звена ФНЧ второго порядка

Аналогично произведем расчет второго звена фильтра

.

 

Эта передаточная функция может быть реализована пассивной схемой ФНЧ первого порядка, передаточная функция которого равна

.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: