Перечень принятых сокращений, условных обозначений.

Км - километр,

м - метр,

мм - миллиметр,

т.е. - то есть,

т.к. - так как,

СКО – средняя квадратическая ошибка,

α - дирекционный угол.

Вычисление координат дополнительного пункта, определяемого прямой многократной засечкой

Область применения

 

Задача прямой однократной засечки состоит в определении координат третьего пункта по известным координатам двух исходных пунктов, двум исходным дирекционным углам и двум измеренным углам при данных пунктах.

Для контроля правильности определения координат пункта засечку делали многократной, т.е.  измеряют еще угол при третьем исходном пункте.

Таким образом, для решения задачи с контролем необходимо видеть определяемую точку с трех пунктов исходной сети и измерить при них три угла. Углы между смежными направлениями на определяемый пункт должны быть не менее 30 и не более 150 градусов (см. Приложение 1а).

Существуют различные формулы и схемы для решения задачи прямой многократной засечки. Одним из способов является применение формул Юнга.

 Формулы Юнга. Если между двумя исходными пунктами А и В имеется видимость и при них измерены углы β 1 и β 2, являющиеся углами треугольника АВР, то удобнее всего применять формулы Юнга.

Для того чтобы приступить к работе засечек нужно подсчитать исходные    

данные для решения прямой засечки. Но еще нужно подсчитать значения   

индивидуальных поправок.

Найдем индивидуальные поправки:

∆ β ′ = +2′ * 7 = 14′                                                                                    (1)

∆ x = ∆ y = 23, 3 * 7 = 163, 1 (м.)                                                                        (2)

Где     ∆ β ′ , ∆ x = ∆ y – индивидуальные поправки                                                              

Найдем направление прямой засечки по формуле:

88°44′ 20″ + ∆ β ′ = 88°58′ 20″

43°16′ 20″ - ∆ β ′ = 42°02′ 20″

91°15′ 39″ - ∆ β ′ = 91°01′ 39″

Найдем координаты x и y и занесем все координаты в таблицу 1.

хА = 5450, 55 + ∆ x = 5613, 65 (м.)

хВ = 4751, 04 + ∆ x = 4914, 14 (м.)

хС = 4711, 24 + ∆ x = 4874, 34 (м.)

уА = 2300, 09 + ∆ y = 2463, 19 (м.)

уВ = 2049, 60 + ∆ y = 2212, 7 (м.)

уС = 2906, 33 + ∆ y = 3069, 43 (м.)

Таблица 1. Исходные данные для решения прямой засечки.

 

обозначения пунктов		измеренные направления, ° ′ ″	координаты, м.
			х	у
А	Р В	0 00 00 89 58 20	5613, 65	2463, 19
В	А Р С	0 00 00 43 02 20 72 57 28	4914, 14	2212, 7
С	В Р	0 00 00 91 01 39	4874, 34	3069, 43

1.2 Решение наилучших вариантов засечки

Для решения вариантов засечки применяем формулы Юнга:

Хр = (Х1*ctgβ + Х2*ctgα – Y1 + Y2)/( ctgα + ctgβ )                            (3)

Yp = (Y1*ctgβ + Y2*ctgα + X1 - X2)/( ctgα + ctgβ ),                                  (4)

где Х1, У1, Х2, У2 – координаты исходных пунктов,

 α, β – горизонтальные углы, измеренные на исходных пунктах,

Хр, Yp- ордината и абсцисса определяемой точки.

Используя формулы Юнга, вычислим координаты определяемого пункта Р, считая исходными пунктами сначала пункты А и В, а затем В и С.

1). хР = (5613, 65*1, 07091 + 4914, 14*0, 0179400 – 2463, 719 + 2212, 7) / 1, 08885 = 5372, 07 (м.)

уР = (2463, 19*1, 07091 + 2212, 7*0, 0179400 + 5613, 65 – 4914, 14)/1, 08885 = 3101, 48 (м.)

2). хР = (4914, 14*(-0, 0179351) + 4874, 34*1, 73772 – 2212, 7 + 3069, 43)/1, 719784 = 5372, 08(м.)

уР = ( 2212, 7*(-0, 0179351) + 3069, 43*1, 73772 + 4914, 14 – 4874, 34)/ 1, 719784 = 3101, 50 (м.)

Для удобного вычисления координат составляем схему вычисления координат точки Р (Таблица 2).

Таблица 2- Схема вычисления координат точки Р.

Название пунктов		Углы о  ’ ”	Х, м	ctg α , ctg , ctg α + ctg	У, м
точек	углов
А(1)	α	88 58 20	5613, 65	0, 0179400	2463, 19
В(2)		43 20 20	4914, 14	1, 070910	2212, 7
Р	γ	48 00 00	5 372, 0 7	1, 08885	31 01, 4 8
В(1)	α	29 55 08	4914, 14	1, 73772	2212, 7
С(2)		91 01 39	4874, 34	-0, 0179351	3069, 43
Р	γ	59 00 00	5 372, 08	1, 719784	31 01, 5 0

 

 

Оценка ожидаемой точности полученных результатов

Определяем СКО mР положения точки Р для каждого варианта засечки по формуле:

mP = mβ *√ (S1  + S2 )/ρ sinγ,                                                              (5)

где mβ – СКО измерения углов (=10″ )

γ – угол в треугольнике при точке Р

S1, S2 – стороны засечки, м.

Значение ρ принимаем в секундах (ρ = 206265″ ).

Подставим значения и получим:

1) S1 = 670, 00 м., S2 = 1000, 00 м., γ = 48°00′ 00″.

mP1 = 10″ *√ (670, 00  + 1000, 00 )/206265″ *sin48°00′ 00″ = 0, 078(м.)

2) S2 =1000, 00м., S3 =510, 00 м., γ = 59°00′ 00″

mP2 = 10″ *√ (1000, 00  + 510, 00 )/206265″ *sin59°00′ 00″ = 0, 062 (м.)

M_r = √ ( mP1  + mP2 )                                                                  (6)

M_r = √ (0, 078  + 0, 062 ) = 0, 094(м.)

r = √ (( X_p1-X_p2)  + (Y_p1-Y_p2) ) =√ (( 5372, 07-5372, 08)  + (3101, 48-3101, 50) ) = 0, 02

r ≤ 3*M_r

0, 02 ≤ 0, 28 - верно

 

    Вычисленные результаты позволяют сделать вывод, что при полученных исходных данных найденные координаты пункта Р правильные, а также значения индивидуальных поправок, с помощью которых все результаты соответствуют действительности.

Вычисление координат дополнительного пункта, определяемого обратной многократной засечкой

Область применения

Обратная засечка – это задача определения четвертого пункта по трем исходным пунктам и двум, измеренным на определяемом пункте, углам. Для контроля правильности решения задачи при определяемой точке измеряют третий угол между направлениями на один из первых трех пунктов и на четвертый данный пункт.

Таким образом, для решения задачи с контролем необходимо видеть из
определяемой точки четыре пункта исходной сети и измерить при
определяемой точке три угла.           

 

2.2 Выбор наилучших вариантов засечки через инверсионные треугольники

   Если число исходных точек в обратной засечке больше трех, то необходимо выбрать лучшие варианты. Выбор лучших вариантов производиться также, как и в прямой засечке, то есть выбираются инверсионные треугольники с большей площадью (Рисунок 1).

Рисунок 1-Схема обратной многократной засечки.

 

Для решения инверсионных треугольников по направлениям из исходных точек на определяемый пункт Р отложим отрезки q, которые вычисляем по формуле:

 q=c/S                                                                                             (7)

где S-это длина линии, а с = const.

Схема, формулы вычислений

Таблица 3 - Исходные данные

название пункта	координаты, м.		измеренные на пункте Р направления, °′ ″
	х	у
1	7216, 21	3950, 5	0 00 00
2	6724, 78	3915, 39	59 28 18
3	6764, 56	3058, 65	178 15 10
4	7464, 07	3309, 15	273 27 08

 

Составляем схему расположения исходных пунктов и определяемой точки, используя известные координаты и углы  в масштабе 1: 10000. На схеме выбрали два наилучших варианта засечки путем сравнения площадей инверсионных треугольников- 341 и 342 (см. Приложение 1).

C=10, 2

S1 = 5, 0 см                                                            q₁=2, 04 см

S2 ⁼ 5, 0 см                                                              q₂ = 2, 04 см

S3 = 5, 1 см                                                               q₃ = 2, 0 см

S4 = 5, 0 см                                                               q₄ = 2, 04 см

 

Найдем координаты точки Р, используя формулы:

                   (8)  

 

                                                                        (9)        

 

                                             (10)                        

                                                (11)                             

                                     (12)                       

где - дирекционный угол направления АР,

- дирекционный угол направления  ВР,

 и  - координаты точки Р.

Для вычислений дирекционных углов и координат использовали схему обозначений к вычислениям (Рисунок 2).

 

 

Рисунок 2. Схема обозначений к вычислениям.

                             

Для удобного вычисления координат составляем схему вычислений координат точки Р (Таблица 4).

Таблица 4 - Схема вычислений координат точки Р

Обозначения пунктов

Координаты