|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Понятие переключательной функции, наборы, таблицы истинности.Стр 1 из 7Следующая ⇒
Содержание I. Основы алгебры логики 1.1.Понятие переключательной функции, наборы, таблицы истинности ……………………………………………………………………………………......3 1.2.Переключательная функция двух переменных. Функциональные полные базисы………………………………………………………………………………...6 1.3.Основные законы алгебры логики …………………………………………………9 II. Аналитическое представление переключательных функций 2.1.Понятие конституенты единицы и нуля …………………………………………..11 2.2.Понятие совершенных дизъюнктивных нормальных форм (СДНФ) и совершенных конъюнктивных нормальных форм (СКНФ)………………...……12 2.3.Переход от СДНФ и СКНФ в базис Шеффера и Вебба………………………......14 III. Минимизация переключательных функций 3.1.Минимизация переключательных функций ………………………………………17 3.2.Минимизация переключательных функций методом Карно – Вейча…………...21 3.3.Минимизация не полностью определённых переключательных функций……..27 IV. Синтез функциональных узлов комбинационного типа 4.1.Классификация интегральных схем………………………………………………..29 4.2.Двоичные дешифраторы……………………………………………………………30 4.3.Двоичный шифратор………………………………………………………………..35 4.4.Мультиплексоры и демультиплексоры……………………………………………37 4.5.Одноразрядные сумматоры………………………………………………………...40 V. Синтез автоматов с памятью 5.1.Функциональные узлы последовательного типа (Автоматы с памятью)……….45 5.2.Асинхронный и синхронный RS – триггер………………………………………..47 5.3.D – триггер…………………………………………………………………………..52 5.4.Т – триггер…………………………………………………………………………...54 5.5.JK – триггер………………………………………………………………………….55 5.6.Двоичный счетчики…………………………………………………………………58 5.7.Пересчетные схемы……………………………………………………………….62 5.8.Параллельные регистры………………………………………………………….65 5.9.Последовательные регистры………………………………………………...…..69 Список использованных источников……………………………………………………....72
I. Основы алгебры логики. Выводы: · Любую переключательную функцию, а следовательно любое дискретное устройство можно описать таблицей истинности по заданной логике работы. · Количество переменных n переключательной функции или входных сигналов устройства формально определяет количество возможных комбинаций входных сигналов, которое равно · Значение функции или значение выхода устройства определяется по логике работы и, может иметь свой номер. В нашем примере синтезировано устройство трех переменных, что соответствует переключательной функции
Основные законы алгебры логики. Одинарные законы. X v 0 = X X ^ 0 = 0 X v 1 = 1 X ^ 1 = X X v X = X X ^ X = X X v
Отметим, что двойное инвертирование не только одной переменной, а логической формулы дает нам тоже значение формулы. Отметим отдельно свойство конъюнкции: X ^ 1 = Х X ^ 0 = 0 Эти свойства говорят о том, что элемент «И» можно использовать в качестве электронного ключа, который пропускает или не пропускает входной сигнал Х на выход в зависимости от присутствия на втором входе единицы или нуля. Комбинационные законы. В логике операции дизъюнкции и конъюнкции является двойственными, это означает, что если записан закон относительно дизъюнкции и конъюнкции при замене этих операций на двойственные мы также получаем законы Булевой алгебры. 1. Переместительный:
2. Сочетательный:
Например, при использовании двухвходовых схем.
Рисунок 1.3.1
3. Дистрибутивный:
Следующие два закона по сути дела являются следствием дистрибутивного, однако в логике имеют свое название из – за применения в методах минимизации. 4. Закон поглощения.
Говорят, что Что бы понять, как использоваться этот закон докажем:
Если имеется дизъюнкция двух конъюнкций и одна из них полностью входит во вторую (общий сомножитель), то эта конъюнкция поглощает вторую. 5. Закон склеивания.
Говорят, что произошло склеивание по переменной Для того, что бы понять, как работать с этим законом, докажем:
Анализируя доказательство, сделаем вывод: 1. Склеивание двух конъюнкций с одинаковым количеством одинаковых элементов может происходить только по одной переменной, которая в одну конъюнкцию входит прямо, а в другую с инверсией. 2. Все остальные члены конъюнкции должны быть одинаковы (представлять общий сомножитель). 3. Результатом склеивания является общий сомножитель. Пример:
6. Закон Де Моргана.
Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний. Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний. Этот закон справедлив не только для одной переменной, но и для сложных выражений, например, конъюнкций, связанных дизъюнкцией и наоборот. Пример:
II. Аналитическое представление переключательных функций. Пример: Проведем синтез СДНФ функции двух переменных с номером шесть: Эта функция равна единице на первом и втором наборе.
СДНФ =
Рисунок 2.3.1 По записи СДНФ и по возможной реализации в базисе Буля, при сравнении с полученной схеме в базисе Шеффера, видим, что количество использованных элементов не поменялось, просто произошла их унификация. 2. В базис Вебба («ИЛИ, НЕ») проще всего осуществить переход от конъюнктивной нормальной формы. Проводится это таким же способом: берется двойное отрицание, от СКНФ избавляются от одного из отрицаний по закону Де Моргана, заменяя конъюнкцию на дизъюнкцию. Рассмотрим переход на примере реализации
СКНФ=
Рисунок 2.3.2 3. Иногда бывает необходимо имея СДНФ, перейти в базис Вебба. В этом случае подход к преобразованию точно такой же – двойное отрицание. Хотя требуются дополнительные преобразования выражения по законам Булевой алгебры. Для нашего примера проведем такие преобразования.
СДНФ=
В качестве примера построим схему в базисе Шеффера для устройства голосования.
^(0, 1, 2, 4) – запись по нулям
Рисунок 2.3.3 III. Минимизация переключательных функций. Пример 1: Найти СокрДНФ функции f (A, B, C) = Заданную функцию представим в СовДНФ, используя операцию развертывания: 1 2 3 4 5 f (A, B, C) = Произведем все возможные операции неполного склеивания. Первый член склеивается только со вторым членом по переменной В. В результате склеивания получается импликанта В результате всех операций неполного склеивания получим выражение: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Проведем все операции поглощения. Первая импликанта поглощает конституенты 5 и 6, то есть.
Все конституенты оказываются поглощенными соответствующими импликантами. Окончательно получим: f (A, B, C) = В полученном выражении ни одна из импликант не склеивается с другой. Следовательно, найдена СокрДНФ. Может оказаться, что не все конституенты СовДНФ поглотятся импликантами. Такие конституенты войдут в СокрДНФ. Метод импликантных матриц. Для отыскания тупиковых форм методом импликантных матриц исходными формами служат СовДНФ и СокрДНФ. Импликантная матрица представляет собой таблицу, в первый вертикальный столбец которой записывают все простые импликанты СокрДНФ, а в первую горизонтальную строку записывают все конституенты СовДНФ (см. табл. 3.1). Дальнейшую работу с таблицей рассмотрим на примере. Пример 2: Найти все ТДНФ функции трех переменных, СокрДНФ которой f (A, B, C) = СокрДНФ этой функции найдена в примере 1: f (A, B, C) =
Для каждой импликанты крестиком отмечают те конституенты единицы, которые ею поглощаются. Для получения тупиковых форм выбирают импликанты, которые совместно накрывают крестиками все колонки. В примере крестиками окажутся накрыты все колонки, если будут выбраны три импликанты
Обе ТДНФ содержат одинаковое число членов, следовательно, обе формы являются МДНФ. Выделим основные этапы нахождения МДНФ переключательных функций. 1. Переключательную функцию записывают в СовДНФ. Если функция задана таблицей, ее записывают «по единицам». Если функция задана в произвольной аналитической форме, ее преобразуют по правилам де Моргана и булевой алгебры к дизъюнктивной форме и применяют операцию развертывания. Если задано словесное описание функции, на первом этапе составляют таблицу ее значений, а затем записывают функцию «по единицам». 2. В СовДНФ проводят все операции неполного склеивания и поглощения, получая СокрДНФ. 3. Находят все ТДНФ, из которых выбирают МДНФ. Если число членов СокрДНФ мало, пользуются методом испытания членов. При большом числе членов используют метод импликантных матриц.
Пример 1. F(AB)=V(0, 1, 2) – функция задана единицами на трех наборах 0-м, 1-ом и 2-ом.
При правильной минимизации мы получаем истинный смысл функций. Пример 2.
Пример 3.
Склеивание не возможно. Единственной формой для реализации этой функции является СДНФ= Пример 4. Приведем минимизацию 15-ой функции f(AB)= v(0, 1, 2, 3)
Очевидно, что все единицы проклеиваются между собой. Но полученный результат не является минимальной формой, так как допускает дальнейшее упрощение по законам алгебры логики. В такой ситуации когда четыре единицы располагаются рядом и могут проклеиваться друг с друном по всем буквам, проклеиваются одновременно все четыре еденицы за одно склеивание, которое дает в минимальную форму один член.
Отметим, что на карте Карно с большим количеством переменных и клеток можно проклеивать две, четыре, восемь, шестнадцать единиц одновременно. В дизъюнктивную минимальную форму записывается результатат этого склеивания. Причем при склеиваении двух едениц уходит одна буква, четырех – две буквы, восемь – три буквы, у шестнадцати – четыре буквы. Рассмотрим карту Карно для трех переменных:
Карта Карно для трех переменных представляет сабой развернутый целиндр, поэтому в ней, помимо рядом стоящих клеток, могут проклеиваться первый и последний столбец по B. Например 1:
Еще одна ситуация, когда функция имеет четыре еденицы.
Учитывая эти особенности, можно сформулировать общее правило получения минимальных форм. При минимизации по карте Карно необходимо, по возможности, проклеить все единицы, но с минимальным количеством склеиваний с максимально возможным вхождением едениц в каждое склеивание. Такое правило дает минимальное количество членов с минимальным количеством букв. Пример:
Сразу видно, что четыре единицы одновременно проклеить нельзя. Анализирую таблицу, видим, что единица на шестом наборе может склеиваться только с четвертым, следовательно это склеивание обязательно, кроме того, единица третьего набора склеивается только с первым набором, следовательно это склеивание также обязательно. Единица на нулевом наборе может склеиваться с единицей на четвертом и первом наборах, но нам необходимо одно склеивание, следовательно существует две минимальных формы.
Еще один пример:
Как и для двух переменных, существуют случаи, когда склеивание провести нельзя. Например: Проведем минимизацию нашего примера о голосовании
Карта Карно для четырех переменных. Следовательно для реализации устройства достаточно одного инвертора, двух двухвходовых схем «И» и одной двухвходовой схемы «ИЛИ».
Рассмотрим различные примеры. Пример 1:
Из таблицы видно, что конституенты на 6-м наборе ни с одной единицей не склеивается, следовательно она полностью войдет в минимальную форму.
Пример 2:
Из таблицы видно, что возможно проклеивание по 4-м единицам одновременно.
Пример 3:
Как видно из таблицы существует несколько минимальных форм, причем в склейки единицу в клетках 10 – 11 обязательна, а остальные склейки могут варьироваться.
Сплошными линиями показаны склейки для Двоичные дешифраторы Дешифратором (ДС) называют комбинационное логическое устройство, преобразующее двоичный n – разрядный код числа, поступающего на его входы, в сигнал только на одном из выходов. ДС имеет n входов, причем на каждый из входов поступает определенный разряд дешифрируемого кода. Число выходов ДС равно количеству возможных кодовых комбинаций, т.е Выходы n – разрядного ДС
..................
Дешифратор трехразрядного кода функционирует в соответствии с таблицей истинности. Таблица 4.2.1
Очевидно, что каждый вход ДС описывается «своей» конституантой единицы. Рисунок 2.
Схемная реализация ДС достаточно проста. В соответствии с уравнениями (3.1) каждый из сигналов На рис 4.2.1 в качестве примера приведена схема трехразрядного ДС, выполненного на элементах «И» и имеющего парафазные входы (входы для прямых и инверсных значений разрядов). Кроме информационных входов ДС обычно имеет один или два входа разрешения работы, обозначаемых как EN (Enable). При наличии разрешения по этому входу EN=1, ДС работает обычным способом, а при отсутствии (EN=0), ДС пассивны. Например, запись выходного сигнала ДС на нулевом наборе
Рисунок 4.2.1 Характерной особенностью рассмотренной схемы ДС является то, что каждая функция Промышленность выпускает логические элементы с ограниченным числом входов, поэтому линейные схемы могут дешифрировать коды ограниченной разрядности. Для дешифрации кодов, разрядность которых превышает число входов базовых логических элементов, используют другие схемные решения ДС, а именно: пирамидальные и ступенчатые(прямоугольные) ДС.
Рисунок 4.2.2 Пирамидальные – ДС вне зависимости от разрядности дешифрируемого кода строятся на двухвходовых логических элементах. Схема пирамидального ДС состоит из нескольких уровней. В первом уровне вырабатываются конъюнкции двух младших переменных. В следующем уровне каждая конъюнкция умножается на третью переменную или ее инверсию и т.д., от уровня к уровню, до получения конституант требуемой разрядности. На рис 4.2.3 приведена схема пирамидального ДС трехразрядного двоичного кода.
Рисунок 4.2.3 Возможность построения схемы на логических элементах, имеющих ограниченное число входов, является достоинством пирамидальной схемы. Однако по быстродействию пирамидальные ДС уступают линейным. Время задержки распространения сигнала от входа до выхода в пирамидальной схеме в m-1 раз больше, чем в линейной схеме той же разрядности (m – число уровней в схеме ДС). Многоступенчатые Малоразрядность стандартных дешифраторов ставит вопрос о наращивании их разрядности. Из малоразрядных дешифраторов можно построить схему, эквивалентную дешифратору большей разрядности. Для этого входное слово делится на поля. Разрядность поля младших разрядов соответствует числу входов имеющихся дешифраторов. Оставшееся поле старших разрядов служит для получения сигналов разрешения работы одного из дешифраторов, декодирующих поле младших разрядов. В качестве примера на рис 4.2.4 приведена схема дешифрации пятиразрядного двоичного кода с помощью дешифраторов «3 – 8 » и «2 – 4 ». Для получения нужных 32 выходов составляется столбец из четырех дешифраторов «3 – 8 ». Дешифратор «2 – 4 » принимает два старших разряда входного кода. Возбужденный единичный выход этого дешифратора отпирает один из дешифраторов столбца по его входу разрешения EN. Выбранный дешифратор столбца расшифровывает три младших разряда входного слова.
Рисунок 4.2.4 Схема наращивания размерности двоичного дешифратора. Каждому входному слову соответствует возбуждение только одного выхода. Например, при дешифрации слова Общее разрешение или запрещение работы схемы осуществляется по входу EN дешифратора первого яруса. Дешифраторы совместно со схемами ИЛИ можно использовать для воспроизведения произвольных логических функций. Действительно, на выходах дешифратора вырабатываются все конъюнктивные термы (конституенты единицы ), которые только можно составить из данного числа аргументов. Логическая функция в СНДФ есть дизъюнкция некоторого числа таких термов. Собирая нужные термы по схеме ИЛИ, можно получить любую функцию данного числа аргументов. На рис. 4.2.5 в качестве примера показана схема выработки двух функций
Рисунок 4.2.5 Схема воспроизведения произвольных логических функций с помощью дешифратора и дизъюнкторов. Двоичный шифратор. Обозначение CD (coder) – выполняет функции обратные DC, то есть при появлении единицы на одном из его входов на выходе появляется соответствующий двоичный код следовательно если CD имеет Как и у DC средней серии интеграции существует готовые CD с разрядностью 2 – 1, 4 – 2, 8 – 3, 16 – 4.
Рисунок 4.3.1
В качестве примера рассмотрим подход к построении CD на восемь входов.
На основании таблицы можно записать выражения для каждого из выходов.
Из полученных выражений видно, что каждый из выходов в базисе Буля можно реализовать на дизъюнкторе.
Рисунок 4.3.2 4.4.Мультиплексоры и демультиплексоры Мультиплексоры осуществляют подключение одного из входных каналов к выходному под управлением управляющего (адресующего) слова. Разрядности каналов могут быть различными, мультиплексоры для коммутации многоразрядных слов составляются из одноразрядных.
Рисунок 4.4.1 Входы мультиплексора делятся на две группы: информационные и адресующие. Работу мультиплексора можно упрощенно представить с помощью многопозиционного ключа. Для одноразрядного мультиплексора это представлено на рис. 4.4.1, а. Адресующий код А задает переключателю определенное положение, соединяя с выходом F один из информационных входов При нулевом адресующем коде переключатель занимает верхнее положение Хо, с увеличением кода на единицу переходит в соседнее положение Работа мультиплексора описывается соотношением
которое иногда называется мультиплексной формулой. При любом значении адресующего кода все слагаемые, кроме одного, равны нулю. Ненулевое слагаемое равно Схемотехнически мультиплексор реализует электронную версию показанного переключателя, имея, в отличие от него, только одностороннюю передачу данных. На рис. 2.9, б показан мультиплексор с четырьмя информационными входами, двумя адресными входами и входом разрешения работы. При отсутствии разрешения работы (Е = 0) выход F становится нулевым независимо от информационных и адресных сигналов. В стандартных сериях размерность мультиплексоров не более 16x1. Наращивание размерности Наращивание размерности мультиплексоров возможно с помощью пирамидальной структуры из нескольких мультиплексоров. При этом первый ярус схемы представляет собою столбец, содержащий столько мультиплексоров, сколько необходимо для получения нужного числа информационных входов. Все мультиплексоры столбца адресуются одним и тем же кодом, составленным из соответствующего числа младших разрядов общего адресного кода (если число информационных входов схемы равно Много ступенчатая схема, выполняющая функции мультиплексора " 32-1" и построенная на мультиплексорах меньшей размерности, показана на рис. 4.4.2 (сокращение МUХ от английского МUltiр1еХеr). Демультиплексоры выполняют операцию, обратную операции мультиплексоров — передают данные из одного входного канала в один из нескольких каналов- приемников. Многоразрядные демультиплексоры составляются из нескольких одноразрядных. Условное обозначение демультиплексоров на примере размерности " 1—4" показано на рис. 4.4.3. Нетрудно заметить, что дешифратор со входом разрешения работы будет работать в режиме демультиплексора, если на вход разрешения подавать информационный сигнал. Действительно, при единичном значении этого сигнала адресация дешифратора (подача адресного кода на его входы) приведет к возбуждению соответствующего выхода, при нулевом — нет. А это и соответствует передаче информационного сигнала в адресованный выходной канал. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-02-16; Просмотров: 187; Нарушение авторского права страницы
.
с номером 10111 (23), то есть 
.
X ^ 
= 0 
.
; 
.
.
.
; 
.
; 
.
– поглощает второй член 
.
.
; 
.
.
.
; 
– склеивание не возможно
; 
.
= 
; 
. Шестая функция равна нулю на нулевом и третьем наборе.
– запись по единицам
C v 
v AB 
.
v A 
(по С); третий и четвертый = 
v 
v AB 
; 2-я – 6 и 8; 3-я – 7 и 8; 4-я – 7 и 9.
C
C, A 
= 
C v A 
.
v 
, которую легко записать по карте.
.
.
.
. То есть одновременно проклеить четыре единицы.
. Из карты видно, что можно три раза проклеить по четыре единицы.
.
. Следовательно реализация этой функции возможно только по СДНФ. СДНФ = 
.
.
.
.
. Пунктирами еще два варианта 
могут быть описаны конституентами единицы n – переменных: 
, 
, 
При этом ДС в целом представляет собой совокупность 
. Условное графическое изображение этого ДС приведен на рис 4.2.2 инверсные входы не отмечены.
реализуется на отдельном конъюнкторе и, следовательно, для дешифрации n – разрядного кода по такой схеме потребуется n – в ходовые логические элементы. ДС, построенные по такому принципу, называются линейными или матричными. 
на входе дешифратора первого яруса имеется код 11, возбуждающий его выход например три (показано крестиком), что разрешает работу DC4. На входе DC4 действует код 001, поэтому единица появится на его первом выходе, т.е. на 25 выходе схемы в целом, что и требуется.
Такое решение может быть целесообразным при необходимости выработки нескольких функций одних и тех же аргументов. В этом случае для выработки дополнительной функции добавляется только один дизъюнктор. Заметим, что для проверки правильности схемы рис. 4.2.5 удобно перевести функции 
в СДНФ.
.
.
и т. д.
, где i — значение текущего адресного кода.
, то общее число адресных разрядов равно п, младшее поле 
адресного кода используется для адресации мультиплексоров первого яруса). Старшие разряды адресного кода, число которых равно n -