Методические особенности изучения степенной функции

 

Степень с рациональным показателем является наиболее важным этапом изучения степенной функции , где x> 0, α , и наиболее трудным для восприятия материалом в школьном курсе алгебры.

Подходы к изучению степенной функции в науке и в школьном курсе математике различны. Существуют различные способы определения степенной функции; наиболее распространенное и наиболее общее из них – аксиоматическое.

Определение. Степенной функцией называется любой непрерывный гамоморфизм группы R в себя, то есть любая функция f, отображающая множество  в себя, обладающая свойствами:

1)  для всех x, y

2)  – непрерывна.

Для некоторых значений α степенная функция допускает продолжение на более широкую область определения, чем . Например, при  на , кроме этого ; если же , где , то только на .

При α > 0 можно доказать, что lim =0 при , поэтому, чтобы не нарушалась непрерывность функции , и в этомслучае полагают, что .

При нечетном  и  функция  допускает естественное продолжение на всю числовую прямую; при четном n – это невозможно.

Равенство  по сути задает функцию  как функцию, обратную функции , поэтому функцию , например, можно считать определенной для всех , а функцию  только для неотрицательных .

В общем виде на  не накладывается никакие условия, поэтому функция  считается определенной на множестве .

При изучении степенной функции в школьном курсе математики подходят совсем с других позиций: постепенно расширяются значения числа , причем рассматриваются не функции, например, , , а вводится понятие степени определенного вида.

Получаем следующую последовательность: степень с натуральным показателем (7 класс) – степень с нулевым и целым отрицательным показателем (7 класс) – степень с рациональным нецелым показателем (11 класс) – степень с иррациональным показателем (11 класс).

Основным мотивом введения показателей является выполнение свойств степеней.

 

, .

 

Такое расмотрение приводит к ограничениям на и . Подход достаточно естественный и мотивированный, но только до момента рассмотрения степени с рациональным показателем.

Введению степени с рациональным показателем в школьном курсе математики предшествует рассмотрение действий с корнями. Уже на этом этапе проявляются разногласия автором различных учебников и учебных пособий по математике. Большинство из них определяют корень n – ой степени из положительного числа  для всех  (например, «Математика в понятиях, определениях и терминах» из серии «библиотека учителя математики», учебники по математике К.О. Ананченко и др.). Авторы же учебного пособия по алгебре для 11 класса дают следующее определение.

Пусть k – целое число, n – натуральное число, не равное 1. Степенью положительного числа  с рациональным показателем  называется положительный корень n – ой степени из числа .

.

Такие разногласия вряд ли желательны, поэтому учителю приходится объяснять, что при n=1 получаем равенство.!!!!!

Некоторые задания авторов данного учебного пособия сформулированы, с нашей точки зрения, некорректно. Например, задание 1.134: Запишите корни в виде степени с рациональным показателем: , , .

Выполнить это задание можно только для первого примера, во всех остальных случаях выражения имеют смысл при всех значениях переменных (в последнем примере ), переход от корней к степеням с рациональным показателем сужает область значений, при которых выражения имеют смысл.

Невозможно выполнить и упражнение 1.138.

Вычислите 8) , так как выражение  не имеет смысла.

Возникает также правомерный вопрос: почему степень с рациональным нецелым показателем определяется только для положительного числа . Возникает мысль, что можно было бы разделить рациональные не целые показатели  на две группы: p – целое число, q – натуральное нечетное число и вторая группа – p – целое число, q – натуральное нечетное число, и получить различные ограничения на переменную , например, , где , но , где не понятно, почему .

Учащимся можно пояснить, что без ограничения  невозможно бы провести цепочку преобразований, например, следующих: .

Такие пояснения делают для учащихся более понятным, почему при рассмотрении степени с рациональным нецелым показателем основание должно быть положительным, и при каком показателе основание может быть равным нулю. Хорошо бы также привести и графическую иллюстрацию, показать, что область определения функции  – вся числовая прямая, область определения функции  – множество неотрицательных чисел.

После этого целесообразно выполнить упражнение 1.137. Имеет ли смысл выражение: , , ,  и так далее.

Полезно использовать при доказательстве свойств степени с рациональным показателем таблицу «Степени и корни» авторов М.Г. Шраера, В.С. Дувановой «Таблицы по алгебре и началам анализа, 11 классс». Для удобства ссылок в таблице слева помещены свойства арифметических корней, что делает доказательство для учащихся более простым.

Заметим, что свойство 6 степеней с рациональным показателем (при , , при r> 0;  при r< 0) можно в дальнейшем трактовать как возрастание степенной функции  на промежутке  при r> 0 и ее убывание на этом же промежутке при r< 0.

Таким образом, подводя итоги можно отметить, что изучение степенной функции – одна из наиболее сложных проблем в дидактике математики.

При построении методики изучения вопросов, связанных со степенной функцией целесообразно направлять учебную деятельность на освоение общих способов действий.

Необходимо выявлять происхождение вводимых понятий с точки зрения теоретического познания основ математики.

Изучение учебного материала полезно выстроить по принципу содержательного обобщения, при этом с самого начала формировать учебную деятельность как научно-теоретическую.

 

Практическая часть

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: