Занятие  11. Конверсия и замена рент

 

На практике часто сталкиваются со случаями, когда на этапе разработки условий контракта или в ходе его выполнения необходимо изменить условия выплаты ренты. Простейшими случаями конверсии являются: замена ренты разовым платежом (выкуп ренты); или наоборот: замена разового платежа рентой (рассрочка платежей). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент в одну – консолидация рент.

Цель проведения занятия – научиться рассчитывать характеристики заменяющих рент, используя формулы финансовых вычислений.

Основные формулы

 

    Выкуп ренты.  Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом, поэтому для вычисления размера разового платежа выбирается формула для нахождения приведенной стоимости аннуитета постнумерандо или пренумерандо:

 

                          (11.1)

                    (11.2)

 

 

    Рассрочка платежей. Рассрочка платежей – обратная задача к задаче выкупа ренты. Обязательство по уплате некоторой суммы заменяется равными платежами в рассрочку. Для решения задачи приравнивают современную стоимость ренты, с помощью которой проводится рассрочка, к сумме долга. Задача может заключаться в определении параметров этой ренты - члена ренты или ее срока, при условии, что остальные параметры заданы. Подобные задачи рассматриваются в лабораторной работе № 12.

    Объединение (консолидация) рент. Объединение рент заключается в замене нескольких рент с заданными параметрами новой рентой, параметры которой необходимо определить. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стоимостей заменяющих и заменяемых (консолидированных) рент, что соответствует равенству:

                                (11.3)

где PV- современная стоимость заменяющей ренты;

PV_i – современная стоимость i-той заменяемой ренты.

 

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется немедленная рента с параметрами A, n, r. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности равенство приведенных стоимостей запишется следующим образом:

            (11.4)

где PV ₁ - современная стоимость немедленной ренты;

PV ₂ –  современная стоимость отложенной ренты.

    Пусть срок отложенной ренты не изменяется, тогда неизвестный платеж отложенной ренты находится из уравнения:

                                                (11.5)

Где А₁  - платеж исходной ренты

 А ₂ – неизвестный платеж отложенной ренты

t – время отложения ренты

Пусть платеж отсроченной ренты не изменяется, тогда новый срок отложенной ренты находится из уравнения:

                             (11.6)

 где n ₂ – неизвестный срок отложенной ренты

n ₁ – срок исходной ренты

t – время отложения ренты

   

    в общем случае, когда   из равенства  следует:

                            (11.7)

  

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока ренты. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.

Решение

По формуле (11.4) при А₁ = 2; t =2; r =0, 2

А ₂=2∙ (1+0, 2)²

А ₂ =2, 88

Отказ от немедленной выплаты ренты приводит к увеличению платежа до 2, 88 млн.руб.

Задача 2. Рента с ежегодными платежами в 2 млн. руб. и сроком 5 лет откладывается на три года без изменения сумм выплат. Найти новый срок ренты при условии, что на поступающие платежи ежегодно начисляются сложные проценты по ставке 8% годовых.

Решение

В соответствии с (11.5) при n ₁ =5; t =3; r =0, 08; A =2

Отказ от немедленной выплаты ренты увеличивает ее срок до 6, 689 года, т.е. на 1, 689 года.

Пусть продолжительность новой ренты в целых годах равна 6. тогда приведенная стоимость новой ренты составит

Современная стоимость исходной ренты составит

Разность в сумме 0, 6458 млн. руб. необходимо уплатить в начале действия контракта.

Задача 3. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года с изменением срока ренты до 11 лет. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.

Решение

По формуле (11.6) при А₁ = 2; t =2; r =0, 2; n ₁ =8; n ₂ =11

 

Платеж отложенной ренты равен 2, 5539 млн.руб.

Задача 4. Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 100 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты будут осуществляться 1) через 3 года; 2) немедленно, а сложная процентная ставка равна 4% годовых?

Решение.

1) используем формулу (11.3), считая полугодие базовым периодом, при t =6

PV =100 × FM 2(2%, 6) × FM 4(2%, 30)=100 × 0, 888 × 22, 3965=1988, 809

Ренту можно приобрести за 1 988 809 руб.

2) используем формулу (11.3), считая полугодие базовым периодом при t =0

PV =100 × FM 4(2%, 30)=100 × 22, 3965=2239, 65

Ренту можно приобрести за 2239650 руб.

Задача 5. Три ренты постнумерандо - немедленные, годовые, заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент:

А₁ =100; А₂ =120; А₃ =300 (тыс. руб.); n₁=6; n₂=11; n₁=8 лет. Необходимо:

1) Определить платеж заменяющей ренты при использовании сложной ставки 20% годовых:

2) Определить срок заменяющей ренты при условии, что размер платежа равен 1500 тыс. руб.

Решение

Данные для определения приведенных стоимостей заменяемых рент занесем в таблицу:

№№ ренты	Платеж ренты	Срок ренты	FM4(r, n)	PV
1	100	6	3, 32551	332, 551
2	120	11	4, 32706	519.472
3	300	8	3.83716	1151, 148
Итого				2002, 946

 

1) Платеж заменяющей ренты находим из уравнения:

Платеж заменяющей ренты равен 960 189 руб.

Если бы заменяющая рента была бы немедленной, ее платеж находим из уравнения:

2) Определим современную стоимость заменяющей немедленной ренты:

PV =2002, 946∙ (1+0, 2)³ =3461, 091

Неизвестный срок ренты находим из формулы (10.4) (Занятие  № 10):

 при А=1500; r=20%; PV=3461, 091

Установим срок заменяющей ренты 4 года. При этом приведенная стоимость ренты равна

PV =1500∙ FM 4(20%, 4)=1500∙ 2, 5887=3883, 05

Излишек в сумме 3883, 05-3461, 091=421, 959 компенсируем в начале финансовой операции.

 

Задачи для подготовки к занятию

Задача 1. Три ренты пренумерандо - немедленные, годовые, заменяются одной отложенной на два года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 6 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент:

А₁ =200; А₂ =120; А₃ =100 (тыс. руб.); n₁=6; n₂=11; n₁=8 лет. Необходимо:

1) Определить платеж заменяющей ренты при использовании сложной ставки 20% годовых:

2) Определить срок заменяющей ренты при условии, что размер платежа равен 500 тыс. руб.

Задача 2. Индивидуальный предприниматель погашает кредит равными ежемесячными платежами в 100 тыс. руб. в течение 3 лет. Банк согласился уменьшить платежи до 80 тыс. руб. Насколько увеличится срок погашения кредита, если банк использует сложную ставку 12% годовых с ежемесячным начислением процентов?  

Задание на практическое занятие 11. Замена и консолидация рент.

Контрольные вопросы

1. Что такое выкуп ренты? Каковы методы решения этой задачи?

2. В чем заключается сущность консолидации рент?

3. Как заменить немедленную ренту на отсроченную ренту?

 

Задача 1. Найти годовую ренту - сумму сроком в 10 лет для двух годовых рент: одна продолжается 5 лет с годовым платежом 1 млн. руб., другая - продолжительностью 8 лет и годовым платежом 0, 8 млн. руб. Годовая ставка сложных процентов равна 8%.

Задача 2. Необходимо выкупить полугодовую ренту с платежами в 50 тыс. руб., срок ренты – 10 лет; сложные проценты по ставке 10% начисляются по полугодиям.

Задача 3. Годовая рента постнумерандо с платежами А=200 тыс. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты. Процентная ставка для пролонгирования равна 10% годовых. Определить размер платежа отложенной ренты. Как изменится ответ, если платежи в отложенной ренте будут производиться в начале года?

Задача 4. Рента постнумерандо с платежами А=500 тыс. руб. и сроком 10 лет откладывается на 3 года без изменения сумм выплат. Определить срок отложенной ренты при ставке пролонгирования 12% годовых.

Занятие  12. Практическое приложение финансовых вычислений

 

Рассмотрим практическое приложение финансовых вычислений на примере планирования погашения задолженности и ипотечных кредитов.

На практике часто применяются способы погашения долга равными платежами или равными выплатами долга через равные промежутки времени. Каждый из способов имеет свои преимущества. При равных платежах заемщик до конца договора выплачивает одни и те же суммы, включающие в себя проценты и погашающие части долга, которые не равны между собой. При равных выплатах долга платежи не одинаковы, но легко определяются остатки долга.

Цель проведения занятия – рассмотреть способы практических приложений финансовых вычислений, научиться выбирать оптимальную схему погашения задолженности и ипотечных кредитов, используя формулы финансовых вычислений и электронные таблицы EXCEL.

Типовые задачи с решениями

 

Пусть заем в сумме Р выдан под r простых ссудных процентов на n периодов. К концу финансовой операции величина займа составит величину

.

    Если предполагается возвращать займ одним платежом в конце срока финансовой операции, то величина F и есть размер возвращаемого платежа.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: