Статистические характеристики. Алгебра - 7 класс. Свойства степени «a в степени n» а - основание n - показатель   ( Стр 1 из 3Следующая ⇒ Алгебра - 7 класс   Свойства степени «a в степени n» а - основание n - показатель   ( ,  не определено)         пр:    Системы линейных уравнений С двумя неизвестными решением является пара значений (x; y), при которых оба уравнения обращаются в верные равенства; система может не иметь решений, или иметь бесконечно много решений пр: метод подстановки: выразить одну неизвестную из одного уравнения и подставить в другое уравнение, получится уравнение с одной неизвестной пр: из первого уравнения выразим x:   и подставим во второе уравнение:   теперь найдем x:   ответ: (3; 2) метод сложения: преобразовать уравнения системы так, чтобы при сложении (или вычитании) уравнений одна из неизвестных сократилась, и получилось уравнение с одной неизвестной пр: умножим первое уравнение на 2:   сложим уравнения (x сократится):   подставим найденное значение y в любое из уравнений и найдем x: ответ:  (3; 2) графический метод: построить две прямые, точка их пересечения является решением системы пр: построим две прямые (прямую можно построить по двум точкам) эти прямые пересекаются в точке (3; 2) несовместная система  не имеет решений (прямые параллельны) недоопределенная система  бесконечно много решений (прямые совпадают)
Буквенные выражения буквенное выражение - конструкция, составленная из чисел, букв («неизвестных» величин), скобок и знаков арифметических действий пр: найти значение выражения  при  подставим вместо x его значение   пр: выражение  при  не определено («не имеет смысла», т.к. «на ноль делить нельзя») раскрытие скобок        пр:   формулы сокращенного умножения           пр:  =  = разложение на множители - представление в виде произведения. Используются методы: - вынесение общего множителя за скобки пр:       - группировка пр:   - формулы сокращенного умножения пр:
Функции переменная - величина, которая может принимать различные значения функция - это зависимость одной переменной от другой, когда для каждого значения независимой переменной («аргумента», обычно обозначают x) задано единственное значение зависимой переменной («функции», обычно обозначают y) функция может быть задана описанием, таблицей, графиком, формулой область определения - все значения аргумента, для которых функция задана (определена) область значений - все значения функции нули функции – такие значения аргумента,  для которых значение функции равно нулю  (точки пересечения графика с осью x) пр: графики функций  (каждому значению x соответствует единственное значение y)  - значение функции в т. пр: эти линии не являются графиками функций (некоторым значениям x соответствует несколько значений y)	Линейная функция график - прямая k - «угловой коэффициент» b - «сдвиг вдоль оси y » при функция возрастает при функция убывает при функция постоянна построение графика: по двум точкам по очереди подставляем в уравнение два любых значения x и находим соответствующие значения y, получаем координаты двух точек, принадлежащих прямой, проводим прямую через эти точки проще всего найти две точки по коэффициентам: (0; b ) и (1; b + k ) пр: построить график функции    точка пересечения с осью y  (0; -1)  функция убывает («на 3 клеточки»)  (1; -4) проводим прямую через эти точки взаимное расположение двух прямых: если прямые пересекаются (точку пересечения можно найти из уравнения ) если прямые параллельны (или совпадают) если прямые перпендикулярны
Статистические характеристики статистика  анализ количественных данных числовой ряд  набор чисел пр: ряд из 8 чисел -2; 11; -2; 5; 7, 5; 11; 0; -2, 5 среднее арифметическое - сумма всех чисел ряда, деленная на их количество пр: размах - разность между наибольшим и наименьшим из чисел ряда мода - число, которое встречается в ряду чаще других (может быть несколько, или не быть ни одной) пр: размах:   моды:  и медиана - число в середине упорядоченного ряда (при четном количестве чисел в ряду - среднее арифметическое двух чисел всередине) пр: упорядочим ряд:  -2, 5; -2; -2; 0; 5; 7, 5; 11; 11 медиана:
	Функции  и   график - парабола кубическая парабола

Алгебра - 8 класс

 

Арифметический квадратный корень «корень из a » - число, квадрат которого равен a пр:     «арифметический корень из a » - неотрицатель- ное число, квадрат которого равен a пр: пр: пр: (иррациональное число) свойства:    пр:   от иррациональности (корней) в знаменателе принято «избавляться» пр:   пр:

Р ациональные дроби

рациональная дробь  содержит переменную в знаменателе

основное свойство дроби- если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на одно и то же выражение (не равное нулю), то получится равная дробь

   

Стандартный вид числа:

 (мантисса)  (порядок)

пр:

 

 

Функция

 «прямая пропорциональность»

  «обратная пропорциональность»

не определено   график - гипербола

Погрешность приближения абсолютная погрешность - модуль разности истинного и приближенного значений относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к модулю истинного или приближенного значения пр:   абс. погр.   отн. погр. пр: алгебраическое выражение - конструкция из чисел и букв («переменных»), соединенных скобками и знаками арифметических действий   ОДЗ - область допустимых значений - значения переменных, при которых выражение имеет смысл

	выражение в знаменателе
	выражение под знаком корня
	основание степени
…	и др.

пр: найти ОДЗ выражения

Уравнения n -ой степени

· если  - корень многочлена , то

 

· если  - целый корень многочлена с целыми коэф-ми, то   

пр:  

попробуем найти целый корень:  проверим числа  (подставив в уравнение, или по схеме Горнера, или угадав графически)  число 2 является корнем  найдем

· если рациональный корень многочлена с целыми коэф-ми, то и и если , то пр: рац.корни ур-я     следует искать среди чисел: при всех отриц. корней нет возьмем должны выпол-ся условия , т.е. подходит только  (но нужно проверить) Теорема Виета для уравнений n -ой степени        

Алгебра - 9 класс

 

Функция (квадратичная) нули функции (точки пересечения с осью x ) - корни квадратного уравнения     вершина параболы:   ветви направлены вверх ветви направлены вниз парабола «прижата» к оси y парабола «прижата» к оси x   точка пересечения с осью y сдвиг вдоль оси х налево сдвиг вдоль оси х направо парабола пересекает ось x в двух точках парабола касается оси x в одной точке парабола не пересекает ось x

Квадратные неравенства

 

- решить квадратное уравнение

- схематично изобразить параболу - корни, направление ветвей

- выписать нужные промежутки

пр:
пр:
пр:
пр:

 Графический метод решения уравнений и неравенств с двумя переменными для уравнений - нахождение точек пересечения линий координатной плоскости для неравенств - нахождение пересечения областей координатной плоскости

			прямая
			гипербола
			парабола
		окружность радиуса r c центром в точке (x0; y0)
пр:

  Функция   (модуль)

	решение уравнений и неравенств с модулем: рассмотреть две ветви

Функция (степенная) Элементы комбинаторики комбинаторика  подсчет количества комбинаций комбинаторное правило умножения - если нужно выбрать k элементов из некоторого множества элементов, и 1-ый элемент можно выбрать  способами, …, k -ый элемент -  способами, то число всех возможных комбинаций равно      пр: сколько вариантов обеда можно составить, если в столовой есть 2 первых блюда, 4 вторых блюда и 3 напитка? факториал   пр: Виды комбинаций:

перестановки из n различных элементов
пр: сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?
перестановки с повторениями если 1-ый элемент повторяется  раз, …, k -ый элемент -  раз
пр: сколькими способами можно расположить в ряд 3 белых и 2 черных шара?
размещения выбор k элементов из n различных элементов, порядок важен
пр: сколькими способами можно выбрать председателя и заместителя из 5 человек?
размещения с повторениями если элементы могут повторяться
пр: сколько трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5?
сочетания выбор k элементов из n различных элементов, порядок не важен

пр: сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из 5 человек?

 

сочетания с повторениями если элементы могут повторяться
пр: сколькими способами можно собрать букет из 3 роз, если в магазине есть розы 5-ти цветов?

Бином Ньютона  

(коэффициенты из треугольника Паскаля)

Элементы теории вероятностей (элементарный) исход - один из равновозможных случаев (вариант того, что может произойти) пр: бросают кубик - возможно 6 исходов - выпадет одно из 6 чисел событие - условие, которое может выполниться или не выполниться пр: рассмотрим событие (условие) A = «выпадет число меньше 3» классическое определение вероятности: вероятность события  отношение числа исходов, благоприятных (подходящих) событию, к общему числу исходов пр: событию А подходят 2 исхода (выпадет 1 или 2)  вероятность события А статистическое определение вероятности (из эксперимента): отношение числа испытаний, в которых произошло событие, к числу всех испытаний пр: при проверке партии семян выяснилось, что из 1000 посаженных семян взошло 805  вероятность того, что семечко из этой партии взойдет: свойства вероятности: - достоверное событие:   (обязательно произойдет) - невозможное событие: (обязательно не произойдет) - противоположное событие:   - произведение (пересечение) событий:  «произойдет и A, и В» условная вероятность (наступления события B при условии наступления события A ) если A и B - независимые события (наступление события A не меняет вероятность наступления события B ), то   - сумма (объединение) событий:  «произойдет или A, или В»   если A и B - несовместные события (не могут произойти одновременно), то   - разность событий:  «A произойдет, В не произойдет» Арифметический корень n -ой степени   ( n - показатель, a - подкоренное выражение)  при 0 определен только для нечетных n пр:

Последовательности

числовая последовательность - упорядоченный набор чисел (c заданным правилом вычисления каждого следующего числа)

пр: числа Фибоначчи (сумма двух предыдущих)

  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Арифметическая прогрессия:

 ( d - «разность»)

Геометрическая прогрессия:

( q - «знаменатель»)

 

бесконечно убывающая: при    

предел последовательности - число, к которому стремятся члены последовательности

при  

число Эйлера

 Меры центральной тенденции среднее арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое

 

Таблица квадратов

Таблица степеней

Алгебра - 10 класс

 

Рациональные уравнения

распадающиеся уравнения

 

Рациональные неравенства

метод интервалов для неравенств вида

 - точки перемены знака

пр:

«четные» точки:   (т.к. эта скобка входит в выражение в четной степени)

«нечетные» точки:

скобка  входит и в числитель, и в знаменатель – в общем, она входит в выражение в 1ой степени

выражение меняет знак только в «нечетных» точках

- отмечаем на оси точки перемены знака

- если неравенство нестрогое, то закрасим точки, которые входят только в числитель (в этих точках выражение равно нулю), а точки из знаменателя оставим незакрашенными (знаменатель не должен быть равен нулю, т.к. в этих точках значение выражения не определено)

- на самом правом промежутке выражение положительно (т.к. все скобки положительны)

- «идем» справа налево через точки перемены знака: в «нечетных» точках знак меняется, в «четных» точках знак остается прежним

пр:

можно условно изобразить дугами промежутки знакопостоянства (в «четных» точках ставим «петлю», чтобы не забыть вставить отдельную точку в ответ)

- записываем ответ в соответствии со знаком исходного неравенства, включая закрашенные точки и исключая незакрашенные

пр:  

если неравенство имеет не совсем подходящий вид, то его нужно преобразовать:

пр:

разделим нер-во на  (при умножении или делении на отрицательное число знак нер-ва меняется)

«перевернем» скобку (т.е. умножим нер-во на )

 

«вынесем» 5 за скобку

  

   теперь можно

        применить метод интервалов

Система (уравнений или неравенств)  пересечение решений

пр:   

Совокупность (уравнений или неравенств)  объединение решений

пр:  

Метод замены неизвестных

пр:

замена    

 

  

пр:      замена

пр:      замена

Возвратные (симметричные)

Уравнения n -ой степени

если   то

· если n четно - разделить уравнение на

и сделать замену переменной  

· если n нечетно – то один из корней равен -1 и при делении  на  получится возвратное уравнение четной степени

пр:    

симметричное ур-е нечет. степени  корень -1

     выделим полный квадрат

           

Ответ:

Функция (степенная)

123Следующая ⇒

Поделиться: