Действия с рациональными дробями

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

сложение и вычитание:

или

умножение и деление:

полезно помнить, что:

пр:

(при )

! при x =1 исходное выражение не определено, а полученное выражение определено и равно

Функция

Квадратные уравнения

формула корней квадратного уравнения:

дискриминант:

два корня

один корень

нет корней (действительных)

пр:

теорема Виета:

разложение на множители:

метод выделения полного квадрата:

биквадратные уравнения:

решают заменой переменной

Дробно-рациональные уравнения приводятся к виду:

пр:

Множества множество - «набор элементов»

- элемент a принадлежит множеству A

- множество A принадлежит множеству B пересечение множеств

- множество элементов, принадлежащих обоим множествам (A и B) объединение множеств

- множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (A или B) пр: К - множество точек круга Т - множество точек треугольника

пересечение К ∩ Т

объединение К ∪ Т

пр: множество целых чисел от 0 до 3 (конечное)

пр: множество четных чисел (бесконечное)

основные числовые множества:

N - натуральные числа

Z - целые числа

Q - рациональные числа (могут быть записаны обыкновенной дробью, конечной или бесконечной периодической десятичной дробью) пр:

I - иррациональные числа (не рациональные, бесконечные непериодические десятичные дроби ) пр:

R - действительные (вещественные) числа ( все точки числовой оси, от до )

С - комплексные (мнимые) числа (

числовой промежуток - множество точек числовой оси:

	точка
	отрезок
	интервал
	полуинтервал
	луч
	открытый луч
	вся числовая ось

Неравенства неравенство - отношение величин, записанное с одним из знаков:

или

«строгое» неравенство

или

«не строгое» неравенство

(не равно) меньше то число, которое на числовой оси находится левее пр:

- если

, то

- если

, то

- если

, то

- если

, то при

при

пр:

- если

, то

к левой и правой части неравенства можно прибавить (или отнять) одно число; т.е. можно перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив знак действия пр:

- если

, то при

при

обе части неравенства можно умножить (или разделить) на положительное число, но при умножении (или делении) на отрицательное число, нужно изменить знак неравенства

пр:

решение неравенства - множество значений переменной, при которых неравенство верно

решение системы неравенств - множество значений переменной, при которых все неравенства системы верны (т.е. пересечение множеств решений этих неравенств)

решение неравенств (ответ) принято записывать в виде числовых промежутков

пр:

*неравенства вида*
пр:	пр:

Степень с целым показателем

пр:

Стандартный вид числа:

(мантисса) (порядок)

пр:

Функция

«прямая пропорциональность»

«обратная пропорциональность»

не определено

график - гипербола

Погрешность приближения абсолютная погрешность - модуль разности истинного и приближенного значений относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к модулю истинного или приближенного значения пр:

абс. погр.

отн. погр.

пр:

алгебраическое выражение - конструкция из чисел и букв («переменных»), соединенных скобками и знаками арифметических действий

ОДЗ - область допустимых значений - значения переменных, при которых выражение имеет смысл

	выражение в знаменателе
	выражение под знаком корня
	основание степени
…	и др.

пр: найти ОДЗ выражения

Уравнения n -ой степени

· если - корень многочлена , то

· если - целый корень многочлена с целыми коэф-ми, то

пр:

попробуем найти целый корень: проверим числа (подставив в уравнение, или по схеме Горнера, или угадав графически) число 2 является корнем найдем

· если

рациональный корень многочлена с целыми коэф-ми, то

и если

, то

пр: рац.корни ур-я

следует искать среди чисел:

при всех

отриц. корней нет возьмем

должны выпол-ся условия

т.е. подходит только

(но нужно проверить)

Теорема Виета для уравнений n -ой степени

Алгебра - 9 класс

Функция (квадратичная)

нули функции (точки пересечения с осью x ) - корни квадратного уравнения

			вершина параболы:
		ветви направлены вверх
		ветви направлены вниз
		парабола «прижата» к оси y
		парабола «прижата» к оси x
		точка пересечения с осью y
		сдвиг вдоль оси х налево
		сдвиг вдоль оси х направо
		парабола пересекает ось x в двух точках
		парабола касается оси x в одной точке
		парабола не пересекает ось x

Квадратные неравенства

- решить квадратное уравнение

- схематично изобразить параболу - корни, направление ветвей

- выписать нужные промежутки

пр:

пр:
пр:
пр:

Графический метод решения уравнений и неравенств с двумя переменными для уравнений - нахождение точек пересечения линий координатной плоскости для неравенств - нахождение пересечения областей координатной плоскости

		прямая
		гипербола
		парабола
	окружность радиуса r c центром в точке (x₀; y₀)
пр:

Функция (модуль)

решение уравнений и неравенств с модулем:

рассмотреть две ветви

Функция

(степенная)

Элементы комбинаторики комбинаторика

подсчет количества комбинаций комбинаторное правило умножения - если нужно выбрать k элементов из некоторого множества элементов, и 1-ый элемент можно выбрать

способами, …, k -ый элемент -

способами, то число всех возможных комбинаций равно

пр: сколько вариантов обеда можно составить, если в столовой есть 2 первых блюда, 4 вторых блюда и 3 напитка?

факториал

пр:

Виды комбинаций:

перестановки из n различных элементов
пр: сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?
перестановки с повторениями если 1-ый элемент повторяется раз, …, k -ый элемент - раз
пр: сколькими способами можно расположить в ряд 3 белых и 2 черных шара?
размещения выбор k элементов из n различных элементов, порядок важен
пр: сколькими способами можно выбрать председателя и заместителя из 5 человек?
размещения с повторениями если элементы могут повторяться
пр: сколько трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5?
сочетания выбор k элементов из n различных элементов, порядок не важен

пр: сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из 5 человек?

сочетания с повторениями если элементы могут повторяться

пр: сколькими способами можно собрать букет из 3 роз, если в магазине есть розы 5-ти цветов?

Бином Ньютона

(коэффициенты из треугольника Паскаля)

Элементы теории вероятностей (элементарный) исход - один из равновозможных случаев (вариант того, что может произойти) пр: бросают кубик - возможно 6 исходов - выпадет одно из 6 чисел событие - условие, которое может выполниться или не выполниться пр: рассмотрим событие (условие) A = «выпадет число меньше 3» классическое определение вероятности: вероятность события

отношение числа исходов, благоприятных (подходящих) событию, к общему числу исходов пр: событию А подходят 2 исхода (выпадет 1 или 2)

вероятность события А

статистическое определение вероятности (из эксперимента): отношение числа испытаний, в которых произошло событие, к числу всех испытаний пр: при проверке партии семян выяснилось, что из 1000 посаженных семян взошло 805

вероятность того, что семечко из этой партии взойдет:

свойства вероятности: - достоверное событие:

(обязательно произойдет) - невозможное событие:

(обязательно не произойдет) - противоположное событие:

- произведение (пересечение) событий:

«произойдет и A, и В» условная вероятность (наступления события B при условии наступления события A )

если A и B - независимые события (наступление события A не меняет вероятность наступления события B ), то

- сумма (объединение) событий:

«произойдет или A, или В»

если A и B - несовместные события (не могут произойти одновременно), то

- разность событий:

«A произойдет, В не произойдет»

Арифметический корень n -ой степени

( n - показатель, a - подкоренное выражение)

при

0 определен только для нечетных n

пр:

Последовательности

числовая последовательность - упорядоченный набор чисел (c заданным правилом вычисления каждого следующего числа)

пр: числа Фибоначчи (сумма двух предыдущих)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Арифметическая прогрессия:

( d - «разность»)

Геометрическая прогрессия:

( q - «знаменатель»)

бесконечно убывающая: при

предел последовательности - число, к которому стремятся члены последовательности

при

число Эйлера

Меры центральной тенденции среднее арифметическое

среднее геометрическое

среднее гармоническое

Таблица квадратов

Таблица степеней

Алгебра - 10 класс

Рациональные уравнения

распадающиеся уравнения

Рациональные неравенства

метод интервалов для неравенств вида

- точки перемены знака

пр:

«четные» точки: (т.к. эта скобка входит в выражение в четной степени)

«нечетные» точки:

скобка входит и в числитель, и в знаменатель – в общем, она входит в выражение в 1ой степени

выражение меняет знак только в «нечетных» точках

- отмечаем на оси точки перемены знака

- если неравенство нестрогое, то закрасим точки, которые входят только в числитель (в этих точках выражение равно нулю), а точки из знаменателя оставим незакрашенными (знаменатель не должен быть равен нулю, т.к. в этих точках значение выражения не определено)

- на самом правом промежутке выражение положительно (т.к. все скобки положительны)

- «идем» справа налево через точки перемены знака: в «нечетных» точках знак меняется, в «четных» точках знак остается прежним

пр: