Показательные уравнения и неравенства

Функция  (логарифмическая)

( )

Логарифмические уравнения и неравенства

( )

пр:

пр:    

(если основание < 1, то знак неравенства меняется)

метод приведения к одному основанию:

пр:  

пр:  

    ОДЗ:  

сравнение логарифмов с разными основаниями:

пр:  и   ,    попробуем умножить на 2:   ,    

Тригонометрия

Тригонометрические функции

Функция   - четная, период Функция   - нечетная, период

Функции  и     - нечетные, период

Обратные тригонометрические функции

Тригонометрические уравнения

или

Тригонометрические формулы

основное тригонометрическое тождество   формулы для суммы и разности углов формулы для произведения функций       формулы для суммы и разности функций формулы половинных углов   формулы универсальной подстановки       формула вспомогательных углов , где

формулы дополнительных углов формулы приведения       формулы двойных углов                формулы тройных углов

Производная

производная (в точке): предел приращения функции к приращению аргумента

производная (функция): функция, которая в каждой точке равна значению производной от «первообразной» функции в этой точке

пр:  первообразная                      производная

уравнение касательной к функции  в точке

пр:    

Приближенные вычисления

пр:

Интеграл

если известна производная функция, то первообразную функцию можно найти с точностью до константы неопределенный интеграл - множество первообразных функций (отличающихся на константу)  - первообразная для функции

интегрирование - нахождение функции (первообразной) по ее производной

правила интегрирования:

можно пользоваться таблицей интегралов (см→ )

пр:

пр:

пр:

формула интегрирования по частям:

пр:

Лейбница) если  непрерывна на   геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции  под графиком производной функции если  на

площадь фигуры между графиками функций:

если

пр: площадь фигуры между графиками функций  и

физический смысл интеграла: сумма

пр:  

перемещение - интеграл от скорости,

работа - интеграл от силы

свойства определенного интеграла:

таблица производных и интегралов

предел функции в точке (или на бесконечности) - величина, к которой стремится значение функции, когда аргумент стремится к этой точке (слева и справа)          

пр:   

«замечательные» пределы:

Преобразование графика функции

сдвиг вдоль оси x		сдвиг вдоль оси y	симметрия от оси x	симметрия от оси y
растяжение от оси y			растяжение от оси x
порядок при сложном преобразовании: - сдвиг вдоль оси x на   - растяжение от оси х - сдвиг вдоль оси y на b	симметрия от оси (обратная функция)		перенос нижней части графика симетрично оси х	удаление левой части графика и копирование правой части графика симметрично оси y

Исследование функции

1) область определения, непрерывность

 - значения аргумента, для которых функция определена (выражение имеет смысл)

	выражение в знаменателе
	ноль можно возводить только в положительную степень
	выражение под знаком корня четной степени
	выражение под логарифмом и основание логарифма
	тангенс и котангенс
точки разрыва - устранимые / неустранимые

2) четность/нечетность, периодичность

3) точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства

точка пересечения с осью y:

точки пересечения с осью x: (нули функции)

4) критические точки, промежутки возрастания/убывания

не опр. или имеет разрыв  пр:
не опр.	критическая точка пр:
	критическая точка пр: точка экстремума, если  меняет знак
	промежуток возрастания пр:
	промежуток убывания пр:

5) точки перегиба, промежутки выпуклости/вогнутости

не опр. или и меняет знак	точка перегиба (меняется выпуклость/вогнутость) пр:
	промежуток вогнутости пр:
	промежуток выпуклости пр:

6) область значений, ограниченность сверху/снизу, экстремумы

 - множество значений, которые может принимать функция

нахождение минимума/максимума функции: сравнить значения функции в критических точках и на границах области определения, в точках разрыва

7) асимптоты (прямые, к которым стремится функция)

вертикальные
горизонтальные
наклонные

8) график (для более точного построения можно найти значения функции в некоторых точках)