Расчет параметров уравнения тренда

При выборе вида функции тренда можно воспользоваться методом конечных разностей (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).

Конечными разностями первого порядка являются разности между последовательными уровнями ряда:

 

Δ 1t = Yt - Yt-1

 

Конечными разностями второго порядка являются разности между последовательными конечными разностями 1-го порядка:

 

Δ 2t = Δ 1t - Δ 1t-1

 

Конечными разностями j-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j-1)-го порядка:

 

Δ jt = Δ j-1t - Δ j-1t-1

Если общая тенденция выражается линейным уравнением Y = a + bt, тогда конечные разности первого порядка постоянны: Δ 12 = Δ 13 =... = Δ 1n, а разности второго порядка равны нулю.

Если общая тенденция выражается параболой второго порядка: Y = a+ bt + ct2, то получим постоянными конечные разности второго порядка: Δ 23 = Δ 24 =... = Δ 2n, нулевыми - разности третьего порядка.

Если примерно постоянными оказываются темпы роста, то для выравнивания применяется показательная функция.

При выборе формы уравнения следует исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия качества уравнения регрессии, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений уровня ряда от значений уровней, рассчитанных по уравнению тренда.

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия. Другим статистическим критерием является коэффициент множественной детерминации R2.

 

Таблица 9

Исходные данные для расчета коэффициента детерминации

yi	Δ 1t	Δ 2t	Темп роста
54	-	-	-
59.5	5.5	-	1.1
63.9	4.4	-1.1	1.07
65.6	1.7	-2.7	1.03
64.5	-1.1	-2.8	0.98
61.7	-2.8	-1.7	0.96
59.6	-2.1	0.7	0.97
59.5	-0.1	2	1
60.8	1.3	1.4	1.02
61.4	0.6	-0.7	1.01

Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a

. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

n + a1∑ t = ∑ y∑ t + a1∑ t2 = ∑ y•t

 

t	y	t2	y2	t y
1	54	1	2916	54
2	59.5	4	3540.25	119
3	63.9	9	4083.21	191.7
4	65.6	16	4303.36	262.4
5	64.5	25	4160.25	322.5
6	61.7	36	3806.89	370.2
7	59.6	49	3552.16	417.2
8	59.5	64	3540.25	476
9	60.8	81	3696.64	547.2
10	61.4	100	3769.96	614
55	610.5	385	37368.97	3374.2

 

Для наших данных система уравнений имеет вид:

 

a0 + 55a1 = 610, 5

a0 + 385a1 = 3374, 2

 

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = 0, 199, a1 = 59, 953

Уравнение тренда:

= 0, 199 t + 59, 953

 

Аналитический вывод почти совпадает с графическим,

Рис. 5. График динамики добычи нефти ОАО «Сургутнефтегаз» в 2003 - 2012 годах

 

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных,

Коэффициент тренда b = 0, 199 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения, В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 0, 199,

Однофакторный дисперсионный анализ

 

Средние значения

 

Дисперсия

 

Среднеквадратическое отклонение

 

2.8 Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда

 

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда,

 

 

По таблице Стьюдента находим Tтабл

табл (n-m-1; α /2) = (8; 0, 025) = 2, 306

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 6

(59, 95 + 0, 2*6 - 2, 306*8, 33; 59, 95 + 0, 2*6 - 2, 306*8, 33)

(52, 82; 69, 48)

Интервальный прогноз

 

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя,

 

 

= 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда,

= yn+L ± K

 

Где

 

 

- период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2,

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1; α /2) = (8; 0, 025) = 2, 306

 

Точечный прогноз, t = 11: y(11) = 0, 2*11 + 59, 95 = 62, 15

 

, 15 - 9, 05 = 53, 1; 62, 15 + 9, 05 = 71, 2

Интервальный прогноз: = 11: (53, 1; 71, 2)

Точечный прогноз, t = 12: y(12) = 0, 2*12 + 59, 95 = 62, 35

 

, 35 - 9, 49 = 52, 86; 62, 35 + 9, 49 = 71, 84

Интервальный прогноз: = 12: (52, 86; 71, 84)

Точечный прогноз, t = 13: y(13) = 0, 2*13 + 59, 95 = 62, 55

 

, 55 - 9, 97 = 52, 58; 62, 55 + 9, 97 = 72, 52

Интервальный прогноз: = 13: (52, 58; 72, 52)

Точечный прогноз, t = 14: y(14) = 0, 2*14 + 59, 95 = 62, 74

 

, 74 - 10, 5 = 52, 24; 62, 74 + 10, 5 = 73, 24

Интервальный прогноз: = 14: (52, 24; 73, 24)

Точечный прогноз, t = 15: y(15) = 0, 2*15 + 59, 95 = 62, 94

 

, 94 - 11, 07 = 51, 87; 62, 94 + 11, 07 = 74, 01

Интервальный прогноз: = 15: (51, 87; 74, 01)

ВЫВОД: Можно ожидать, что в 2013 - 2015 годах добыча нефти в ОАО «Сургутнефтегаз» будет находиться в пределах

год: (52, 58; 72, 52) тыс. тонн

год: (52, 24; 73, 24) тыс. тонн

год: (51, 87; 74, 01) тыс. тонн

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда

1) t-статистика, Критерий Стьюдента,

 

 

Статистическая значимость коэффициента b не подтверждается

 

 

Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда,

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)

(0, 199 - 2, 306•0, 38; 0, 199 + 2, 306•0, 38)

(-0, 67; 1, 07)

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима,

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(59, 953 - 2, 306•2, 35; 59, 953 + 2, 306•2, 35)

(54, 53; 65, 37)

) F-статистика, Критерий Фишера,

 

 

Находим из таблицы Fkp(1; 8; 0, 05) = 5, 32

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1),

Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим

 

Проверка гипотезы о зависимости объемов добычи (тыс. тонн) от количества среднедействующих скважин в ОАО «Сургутнефтегаз»

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: