Лекция 7. Математическое обеспечение синтеза и анализа проектных решений

План лекции

Будут рассмотрены следующие вопросы:

- математическое обеспечение синтеза проектных решений;

- математическое обеспечение анализа проектных решений.

Литература: Л.3, Л.4, Л.5.

 

7.1. Математическое обеспечение синтеза проектных решений

Задача синтеза проектных решений состоит в таком выборе струк­­туры проектируемого объекта, его параметров, характеристик и технических средств реализации, чтобы удовлетворить совокупности требований, заданных техническим заданием на проектирование.

Очевидно, что сформулировать единый критерий оптимальности проектируемого объекта и решить задачу синтеза как задачу синтеза по этому критерию в большинстве случаев не представляется воз­мож­ным. Поэтому общая задача синтеза объекта обычно разбивается на ряд подзадач:

- разработка функциональной схемы;

- определение структуры объекта;

- определение параметров объекта;

- выбор элементов (комплектующих деталей);

- конструирование аппаратуры.

Кроме того, для объектов, в состав которых входят компью­тер­ные средства, одна из задач синтеза состоит в выборе и разработке программного обеспечения.

Структурный синтез

Разработка или выбор структуры объекта есть проектная про­це­дура, называемая структурным синтезом.

Задачи структурного синтеза, как правило, являются многокри­териальными (см. лекцию 6).

В качестве примера укажем, какие сведения должны быть вклю­чены в качестве исходных данных в задачу синтеза структуры авто­ма­тизированной системы управления:

- перечень выполняемых системой функций;

- типы допустимых для использования аппаратно-программных средств, выполняющих функции системы;

- множество внешних источников и потребителей информации;

- различного рода ограничения, в частности ограничения на затраты материальных ресурсов и на затраты времени на выполнение функций системы.

В некоторых случаях может быть задана исходная структура сис­темы в виде взаимосвязанной совокупности аппаратно-программных средств. Эта структура может рассматриваться как обобщённая избы­точная или как вариант первого приближения.

Конструирование, разработка технологических процессов, офор­мление технической документации – частные случаи струк­турного синтеза.

В САПР применяют как средства формального синтеза проект­ных решений, выполняемого в автоматическом режиме, так и вспо­могательные средства, способствующие выполнению синтеза про­­ект­ных решений в интерактивном режиме. К вспомогательным сред­ствам относятся базы данных по типовым проектным решениям, системы обу­че­ния проектированию и др.

Задачи синтеза структуры объектов относятся к наиболее трудно формализуемым. По этой причине структурный синтез, как правило, вы­полняют в интерактивном режиме при решающей роли проек­ти­ров­щика, а ЭВМ играет вспомогательную роль: предоставление необ­ходимых справочных данных, оценка промежуточных и оконча­тельных результатов.

Однако имеются примеры успешной автоматизации структурного синтеза: проектирование печатных плат, интегральных микросхем, синтеза технологических процессов и т.д.

Структурный синтез заключается в преобразовании исходного описания объекта, содержащего информацию о требованиях к свой­ствам объекта, об условиях его функционирования, в резуль­тирую­щее описание, содержащее сведения о структуре объекта, т.е. о сос­таве элементов, способах их соединения и взаимодействия.

Задачу принятия проектных решений в процессе структурного син­теза формулируют следующим образом:

                       ЗПР = < А, К, Мод, Р > ,                        (7.1)

где: А – множество альтернатив проектного решения;

К =(k₁, k₂, …, k_m) – множество критериев (выходных парамет­ров), по которым оценивается соответствие альтернативы поставлен­ным це­лям;

Мод – математическая модель, позволяющая для каждой аль­тер­нати­вы рассчитать значения критериев К = ;

  Р – решающее правило для выбора наиболее подходящей аль­терна­тивы проектного решения.

Каждой альтернативе можно поставить в соответствие значения упорядоченного множества (набора) атрибутов Х =< х₁, х₂, …, х_n> , ха­рак­тери­зую­­щих свойства альтернативы.

Модель Мод называют структурно-альтернативной, если среди  имеются параметры, характеризующие структуру проек­ти­руе­мого объекта.

В большинстве случаев структурного синтеза математическая мо­дель в виде алгоритма, позволяющего по заданному множеству Х и намеченной структуре объекта рассчитать вектор критериев К, ока­зывается известной.

Однако в ряде других случаев модели не известны в силу недос­та­точной изученности процессов и объектов, но известна совокуп­ность наблюдений над объектами данного класса. Тогда для полу­че­ния моделей используются методы идентификации и эксперимен­тальных исследований.

В связи с изложенным, большинство задач структурного синтеза решают с помощью приближённых методов. Эти методы не гаран­ти­руют получение оптимального решения, но приводят к резуль­татам, близким к оптимальным.

Простейший способ задания множества А – п еречисление всех аль­тер­натив. Описание альтернатив может храниться в базе данных САПР.

Кроме того, может использоваться неявное описание А в виде ал­го­­­ритма и набора правил Р синтеза структуры из набора элементов Э. Поэтому здесь

                                     А =< P, Э > ,                                  (7.2)

а процесс синтеза структуры объекта состоит из следующих этапов:

   - формирование альтернативы A_j – это может быть выбор из ба­зы данных САПР или генерация структуры из Э в соответствии с пра­вилами P;       

   - оценка альтернативы по результатам моделирования с помо­щью модели Мод;

- принятие решения относительно перехода к следующей аль­тер­нативе или прекращение процесса синтеза (решение принимается про­­­­ек­тировщиком или системой автоматизированного проек­тиро­вания).

Для описания множества Р (набора правил синтеза структуры объекта) и Э (набора элементов, которые могут использоваться для синтеза структуры объекта) используют следующие подходы:

- морфологические таблицы и альтернативные И-ИЛИ-деревья;

- представления знаний в интеллектуальных системах;

- базы данных с информацией об аналогах объектов данного ти­па.

Морфологическая таблица ( М ) представляет собой обобщённую структуру в виде множества функций, выполняемых компонентами синтезируемых объектов рассматриваемого класса, и подмножество способов их реализации. Каждой функции можно поставить в соответствие одну строку таблицы, каждому способу её реализации – одну клетку в этой строке.

На базе М возможно построение методов синтеза с элементами алгорит­мизации.

Любую морфологическую таблицу можно представить в виде дерева (рис.7.1). На рисунке функции показаны рёбрами, идущими вниз из вершины М (вершина И); значения функций – множество рёбер, идущих вниз из вершин ИЛИ (светлые кружки). Алгорит­мизация синтеза на базе И-ИЛИ – деревьев требует введения правил выбора альтернатив в каждой вершине. Эти правила связаны с тре­бованиями ТЗ и должны отражать запреты на сочетания опреде­лён­ных компонентов структур.

 

Рис.7.1.Дерево, соответствую­- 

щее морфологической таблице

 

Вторая проблема после фор­мализации задачи синтеза структуры проекти­руемого объ­­екта - это выбор метода решения.

Если при формализации задачи синтеза удалось все проектные па­раметры представить в числовом виде, то можно применить рас­смотренные выше методы математического программирования.

Однако применение точных методов математического прог­рам­мирования при синтезе структуры объекта сопряжено с большими труд­ностями. Поэтому при синтезе структуры объекта лидирующее положение занимают приближённые методы. Широко применяются операции разделения множества вариантов на подмножества и отсе­че­ние неперспективных подмножеств. Эти методы объединяются под названием метода ветвей и границ.

В системах автоматизированного проектирования расширяется при­­менение интеллектуальных систем. При этом структурный синтез реализуется с помощью экспертных систем

                                ЭС = < БД, БЗ, И > ,                        (7.3)

где:    БД – база данных САПР, включающая сведения об элементах, которые мо­­гут использоваться в проектируемом объекте;

БЗ – база знаний, содержащая правила проектирования вариантов структуры объекта;

И – интерпретатор, устанавливающий последовательность применения правил из базы знаний.

Параметрический синтез. Цель параметрического синтеза зак­лю­чается в задании или расчёте значений параметров проектируе­мо­го объекта. Примерами результатов параметрического синтеза могут служить геометрические размеры детали в механическом узле, пара­метры электрорадиоэлементов в электронном устройстве, значения давления и температуры в аппарате для обработки нефти, параметры режимов резания в технологической операции и т.д.

Задача параметрического синтеза может быть сформулирована как задача определения значений параметров элементов, наилучших с позиций удовлетворения требований технического задания при неиз­менной структуре проектируемого объекта.

Наиболее распространённой является детерминированная поста­новка задачи параметрического синтеза: заданы условия работоспо­собности на выходные параметры Y, и нужно найти номинальные зна­­чения проектных параметров Х, к которым относятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. Эту задачу назы­вают базовой.

Базовая задача параметрической оптимизации ставится как зада­ча математического программирования (см. лекцию 6). Для осуще­ствления базовой задачи параметрической оптимиза­ции необходимо выбрать критерий оптимальности (см. лекцию 6), затем разработать целевую функцию и определить систему ограниче­ний. Затем должна быть решена задача поиска экстремума целевой функции (см. лекцию 6).

7.2. Математическое обеспечение анализа проектных решений

Цель анализа – получение информации о характере функциони­ро­­­вания объекта, о значениях выходных параметров при синтезиро­ванной структуре объекта, сведения о значениях параметров элемен­тов объекта.

К математическому обеспечению анализа относятся математичес­кие модели анализа проектных решений, численные методы и алго­рит­мы выполнения проектных процедур анализа.

Вычислительный процесс при анализе проектных решений состо­ит из этапов формирования математической модели и её исследова­ния (решения). На рис.7.2 показаны основные этапы разработки ма­те­матичес­кой модели анализа проектных решений.

      

                  Рис.7.2. Этапы разработки математической модели

                                     анализа проектных решений

 

Системы автоматизированного проектирования осуществляют ана­лиз проектных решений на микроуровне, макроуровне, функ­цио­нально-логическом уровне и на системном уровне. При этом на этих иерархических уровнях проектирования для построения матема­тических моделей анализа проектных решений используется различ­ный математический аппарат.

 

Математические модели анализа проектных решений на микроуровне. Математическими моделями на микроуровне явля­ют­ся как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и диффе­рен­циальные уравнения в частных производных.

Объектами анализа проектных решений на микроуровне явля­ются строительные конструкции, детали машин, механизмов, аппара­тов, жидкие среды, электронные приборы и т.д.

Характерными примерами математических моделей микроуровня могут служить уравнения математической физики вместе с задан­ными краевыми условиями.

В САПР решение дифференциальных и интегро-диффе­рен­циаль­ных уравнений выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных – их пред­став­ле­нии конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы не­ко­торой сетки. Поэтому используемые в САПР на микроуровне методы – это сеточные методы.

Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации произ­водных конечно-разностными выражениями. При использовании ме­то­­да нужно выбирать шаги сетки по каждой координате и вид шаб­лона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производ­ной в одной конкретной точке.

Метод конечных элементов основан на аппроксимации не произ­водных, а самого решения V(z). Но поскольку оно неизвестно, то ап­проксимация выполняется выражениями с неопределёнными коэф­фициентами q_i

                          ,                                         (7.4)

где  - вектор-строка неопределённых коэффициентов;

 - вектор-столбец координатных (иначе опорных) функций, заданных так, что удовлетворяются граничные условия.

 

   Математические модели анализа проектных решений на макро­уровне. Для математического описания проектируемых объ­ек­тов на макроуровне используются системы обыкновенных диффе­рен­циальных и алгебраических уравнений. Аналитические решения та­ких систем получить не удаётся, поэтому в САПР преиму­ще­ственно используются алгоритмические модели.

Исходными для формирования математических моделей об­ъ­ектов на макроуровне являются компонентные и топологические уравнения.

Компонентными уравнениями называют уравнения, описываю­щие свойства элементов (компонентов), другими словами – это урав­не­ния математических моделей элементов (ММЭ).

Топологические уравнения описывают взаимосвязи элементов (компонентов) в составе проектируемого объекта.

В совокупности компонентные и топологические уравнения проектируемого объекта представляют собой математическую модель для анализа проектных решений.

Компонентные и топологические уравнения для объектов раз­лич­ной физической природы отражают разные физические свой­ства, но могут иметь одинаковый формальный вид.

Одинаковая форма записи математических соотношений позво­ля­ет говорить о формальных аналогиях компонентных и топологи­ческих уравнений. Такие аналогии существуют для механических, электрических, гидравлических, пневматических, тепловых объектов.

Наличие аналогий означает, что значительная часть алгоритмов формирования моделей анализа на макроуровне оказывается инвари­антной и может быть применена к анализу проектных решений объектов различного вида.

Единство математического аппарата формирования математи­чес­ких моделей анализа на макроуровне особенно удобно при анализе объектов, состоящих из физически разнородных подсистем.

В общем виде компонентные уравнения имеют вид:

                           ,                                         (7.5)

топологические уравнения

                             ,                                                 (7.6)

где V =( v ₁, v ₂, …, v_n ) – вектор фазовых переменных;

  t- время.

   Различают фазовые переменные двух типов – фазовые пере­мен­ные типа потенциала (например, электрическое напряжение) и типа потока (например, электрический ток).

   Каждое компонентное уравнение характеризует связь между раз­­­нотипными фазовыми переменными, относящимися к одному ком­поненту (например, закон Ома описывает связь между напряжением и током в резисторе), а топологическое уравнение – связи между однотипными фазовыми переменными в разных компонентах.

   При разработке математических моделей анализа на макро­уров­не можно вначале использовать и графические формы представ­ления моделей.

Анализ процессов в проектируемых объектах можно проводить во времени и в частотной области. Анализ во временной области (динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта. Анализ в час­тот­ной области применяют при анализе устойчивости, оценке искажений информации и т.д.

Методы анализа во временной области – это численные методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений

                        .                                         (7.7)

Другими словами, это методы алгебраизации дифференциаль­ных уравнений. Формулы интегрирования систем обыкновенных диф­­ференциальных уравнений могут входить в математическую мо­дель независимо от компонентных уравнений или быть интегри­ро­ван­ными в математические модели компонентов.

Применяют два типа методов интегрирования – явные (экстраполяционные или методы, основанные на формулах интегрирования вперёд) и неявные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад).

Одновариантный анализ позволяет получить информацию о состоянии и поведении проектируемого объекта в одной точке прос­транства внутренних Х и внешних Q параметров. Однако для оценки свойств проектируемого объекта этого недостаточно. Нужно выпол­нять многовариантный анализ, то есть исследовать поведение объекта в ряде точек анализируемого пространства, которое можно называть пространством аргументов.

Чаще всего многовариантный анализ в САПР осуществляется в интерактивном режиме, когда проектировщик неоднократно меняет в математической модели те или иные параметры из множеств X и Q, выполняет одновариантный анализ и фиксирует полученные значе­ния выходных параметров.

Подобный многовариантный анализ позволяет оценить степень выполнения ТЗ на проектирование, разумность принимаемых проме­жу­­точных проектных решений.

 

Математические модели анализа проектных решений на функционально-логическом уровне. На функционально-логичес­ком уровне осуществляют анализ проектных решений достаточно слож­­ных узлов и блоков, считающихся объектами и системами на макроуровне.

Для упрощения вместо двух типов фазовых переменных моде­лей макроуровня в моделях функционально-логического уровня фи­гу­­­рируют переменные одного типа, называемые сигналами. Физи­чес­кий смысл сигнала, то есть его отнесение к фазовым переменным, кон­кретизируют в каждом конкретном случая, исходя из особен­нос­тей задачи.

Основой моделирования аналоговых устройств на функцио­наль­но-логическом уровне является использование аппарата передаточ­ных функций. При этом математическую модель каждого элемента представляют в виде уравнения

                               ,                                     (7.8)

где сигналы на выходе и входе каждого элемента соот­ветственно.

Если элемент имеет несколько входов и один выход, то в (7.8) скаляры становятся векторами.

Для получения (7.8) в общем случае требуется предварительная алгебраизация математической модели. Такую алгебраизацию выпол­няют, например, с помощью преобразования Лапласа, переходя из временной области в пространство комплексной переменной p.

Математические модели блоков и устройств представляют моде­ля­ми типовых блоков (звеньев) из числа заранее разработанных и хранящихся в библиотеке моделей САПР.

Обычно модели звеньев имеют вид

                        ,                                     (7.9)

где - передаточная функция звена.

В результате на функционально-логическом уровне получаем ма­те­ма­тическую модель системы (ММС) в виде совокупности мате­ма­тических моделей элементов (ММЭ). ММС будет представлять собой систему алгебраических уравнений.

Итак, анализ проектных решений на функционально-логическом уровне сводится к следующим операциям:

1) проектируемое устройство представляют совокупностью звень­­­ев, но если это полностью или частично сделать не удаётся, то разрабатывают оригинальные модели;

2) формируют математическую модель системы (устройства) из мо­делей звеньев;

3) применяют прямое преобразование Лапласа к входным сиг­налам;

4) решают систему уравнений математической модели системы (устройства);

5) с помощью обратного преобразования Лапласа возвращаются во временную область из области комплексной переменной p.

Анализ дискретных устройств на функционально-логическом уро­в­­­­не требуется, прежде всего, при автоматизированном проекти­ровании электронных устройств, устройств цифровой автоматики и вы­числительной техники. Здесь дополнительно к допущениям, при­ни­маемым при анализе аналоговых устройств, используют дискре­тизацию сигналов, причём базовым является двузначное представ­ление сигналов. Тогда для моделирования можно использовать аппа­рат математической логики.

Элементами цифровых устройств на функционально-логическом уровне являются элементы, выполняющие логические функции и функции хранения информации.

Различают синхронные и асинхронные модели.

Синхронная модель – представляет собой систему логических уравнений, но в ней отсутствует такая переменная, как время. Син­хрон­ные модели применяют для анализа установившихся состояний. Методы анализа синхронных моделей представляют со­бой методы ре­ше­ния систем логических уравнений. К этим методам относят ме­тод простых итераций и метод Зейделя, которые анало­гич­ны одно­имён­­ным методам решения систем алгебраических уравне­ний в не­пре­рывной математике.

Согласно методу простых итераций, в правые части уравнений мо­­де­ли на каждой итерации подставляют значения переменных, по­лу­­ченные на предыдущей итерации.

В отличие от этого в методе Зейделя, если у некоторой пере­менной обновлено значение на текущей итерации, именно его и ис­пользуют в дальнейших вычислениях уже на текущей итерации.

Асинхронные модели отражают не только логические функции, но и временные задержки в распространении сигналов.

Синхронные модели можно использовать не только для выяв­ле­ния принципиальных ошибок в схемной реализации заданных функ­ций. С их помощью можно обнаруживать места в схемах, опас­ные с точки зрения возникновения в них искажающих помех. Си­туации, связанные с потенциальной опасностью возникновения помех и сбоев, называют рисками сбоя.

При использовании асинхронных моделей возможны два метода моделирования – пошаговый (инкрементный) и событийный. В поша­го­вом методе время дискретизируется и вычисления выпол­ня­ются в дискретные моменты времени t₀, t₁, t₂, …и т.д.

Для сокращения времени анализа используют событийный ме­тод. В этом методе событием называют изменение любой переменной математической модели.

 

Математические модели анализа проектных решений на систем­ном уровне. Объектами анализа на системном уровне явля­ют­ся такие сложные системы, как производственные предприятия, сис­темы магистрального транспорта газа, нефтедобывающие пред­при­ятия, автоматизированные технологичес­кие комплексы, вычисли­тельные системы и сети и т.д.

Для многих объектов анализ проектных решений на системном уровне связан с исследованием прохождения через систему или её подсистемы потока заявок (иначе называемых требованиями или транзактами). Оцениваются такие параметры, как произво­ди­тель­ность (пропускная способность) проектируемой системы, продолжи­-

тельность обслуживания заявок в системе, достаточность выбранного оборудования, эффективность использования оборудования в систе­ме. Заявками могут быть клиенты в банках; грузы, поступающие на погрузку; задачи, решаемые в вычислительной системе; самолёты, подлетающие к аэропорту и т.д.

Параметры заявок, поступающих в систему, являются случай­ными величинами, и при проектировании могут использоваться их за­ко­­ны распределения. Поэтому анализ на системном уровне, как пра­ви­­ло, носит статистический характер. В качестве математического аппарата моделирования применяется теория массового обслужи­ва­ния, а проектируемые объекты рассматриваются как системы мас­сового обслуживания (СМО).

Выходными параметрами в СМО являются числовые харак­те­ристики таких величин, как время обслуживания заявок в системе, длины очередей заявок на входах, время ожидания обслу­жи­вания в оче­редях, загрузка устройств системы, вероятность обслужи­вания в заданные сроки и т.д.

Элементами систем массового обслуживания являются:

- источник требований (заявок);

- входящий поток требований;

- очередь;

- обслуживающее устройство (аппарат) или канал обслуживания;

- выходящий поток требований.

СМО классифицируют по разным признакам. По такому признаку, как условия ожидания требованием начала обслуживания, различают следующие виды систем массового обслуживания:

- с потерями (с отказами);

- с ожиданием;

- с ограниченной длиной очереди;

- с ограниченным временем ожидания.

СМО, у которых требования, поступающие в моменты загру­жен­ности всех приборов обслуживания, получают отказ и теряются, на­зываются системами с потерями или отказами.

СМО, у которой возможно появление какой угодно длинной оче­реди требований к обслуживающему устройству, называются сис­те­мами с ожиданием.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребы­ва­ния каждого требования в ней, называются системами с огра­ни­ченным временем ожидания.

По числу каналов (приборов) СМО делятся на одноканальные и многоканальные.

Правило, по которому заявки выбираются из очередей на обслу­живание, называют дисциплиной обслуживания, а величину, вы­ра­жающую преимущественное право на обслуживание, - прио­ритетом. В бесприоритетных системах все транзакты имеют одинаковые приоритеты. Среди бесприоритетных приме­ня­ются дисциплины: первым пришёл–первым обслужен, пос­лед­ним пришёл-первым обслуже н и со случайным выбором заявок из очереди.

При анализе СМО определяют показатели эффективности сис­темы, состоящие из двух групп.

Показатели первой группы определяют на основе значений веро­ятностей состояний системы.

1. Вероятность того, что поступающее в систему требование от­ка­жется присоединяться к очереди и будет потеряно (Р_отк). Этот по­ка­затель для системы с отказами равен вероятности того, что в системе находится столько требований, сколько она содержит кана­лов обслу­живания:

                                  Р_отк=Р _m ,                                        (7.10)

где m-число каналов обслуживания.

Для системы с ограниченной длиной очереди Р_отк равна веро­ят­ности того, что в системе находится m + l требований:

                                 Р_отк=Р _{m + l},                                      (7.11)

где l- допустимая длина очереди.

2. Среднее количество требований, ожидающих начала обслу­живания,

                              ,                                  (7.12)

где P_n - вероятность того, что в системе находится n требований.

При условии простейшего потока требований и экспонен­ци­аль­ного закона распределения времени обслуживания формулы для М_ож принимают следующий вид:

- система с ограниченной длиной очереди

                         ,                                    (7.13)

где интенсивность входящего потока требований (среднее число  

       требований, поступающее в единицу времени);

   μ - интенсивность обслуживания (среднее число обслуженных 

      требований в единицу времени);

    .

- система с ожиданием

                    .                                 (7.14)

3. Относительная пропускная способность системы

                               .                                            (7.15)

4. Абсолютная пропускная способность системы

                                .                                                (7.16)

5. Среднее число занятых обслуживанием приборов

                                .                                            (7.17)

Для системы с отказами m _з находится как

                              .                                          (7.18)

6. Общее количество требований, находящихся в системе:

- система с отказами  ;                                               (7.19)

- система с ограниченной длиной очереди

                           .                                          (7.20)

7. Среднее время ожидания требованием начала обслуживания. Если известна функция распределения вероятностей времени ожида­ния требованием начала обслуживания , то среднее вре­мя ожидания находится как математическое ожидание случайной величины Т_ож:

                         ;                                 (7.21)

при показательном законе распределения требований во вхо­дя­щем потоке

                                   .                                      (7.22)

Показатели второй группы характеризуют экономические осо­бен­ности системы. Одним из таких показателей является эконо­ми­ческая эффективность системы

                               ,                                     (7.23)

где с – средний экономический эффект, полученный при обслу­жи­вании одного требования;

  Т – рассматриваемый интервал времени;

  G _П - величина потерь в системе.

Величину потерь можно определить по следующим формулам:

- система с отказами

                 ,                          (7.24)

где - стоимость убытков в результате ухода требований из  систе-

  ­­­­­­­­мы в единицу времени;

   - стоимость эксплуатации одного канала в единицу времени;

   - стоимость единицы времени простоя канала;

  - число свободных каналов.

- система с ожиданием

                ,                          (7.25)

где - стоимость потерь, связанных с простоем требований в оче­   

  реди в единицу времени.

Для анализа СМО применяют аналитическое и имитационное моделирование.

Аналитическое моделирование предполагает получение формулы для расчёта выходных параметров СМО с последующими вычис­лениями по этим формулам. Аналитическое исследование удаётся реа­лизовать только для сравнительно не сложных СМО.

Поэтому основным подходом по анализу на системном уровне проектирования является имитационное моделирование.

Аналитические модели СМО. Аналитические модели удаётся получить при серьёзных допущениях.

Во-первых, считают, что в СМО используются бесприоритетные дисциплины обслуживания типа первым пришёл – первый обслужен.

Во-вторых, времена обслуживания заявок в устройствах выбира­ются в соответствии с экспоненциальным законом распределения.

В-третьих, считают, что выходные потоки заявок являются прос­тейшими потоками, т.е. обладают свойствами стационарности, орди­нарности (невозможности одновременного поступления двух заявок на вход СМО), отсутствия последействия.

Рассмотрим СМО с отказами. Граф состояний многоканальной СМО с отказами имеет вид, изображённый на рис.7.3. Здесь λ – интенсивность входящего потока требований; μ –производительность одного канала обслуживания; s ₀, s ₁, …, s_m – состояния системы (индекс указывает число требований в системе); m – общее число каналов.

          

  Рис.7.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Вероятности состояний системы с отказами определяют по формулам

                                       ;                                   (7.26)

где ;

i =1, 2, … m,

а вероятность Р₀ (вероятность того, что все каналы обслуживания свободны) находят из выражения

                                   .                                  (7.27)

Если заняты все m каналов обслуживания, то вновь поступившее требование не обслуживается и покидает систему. При этом вероят­ность отказа по формуле (7.26) определяется как

                               .                                     (7.28)

Среднее число занятых обслуживанием приборов для системы с отказами можно найти по формуле

                            .                              (7.29)

Рассмотрим СМО с ожиданием. Граф состояний много­каналь­ной СМО с ожиданием изображён на рис.7.4.

      

Рис.7.4. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием     

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: