Вычисление корреляционной матрицы ошибок координат определяемых пунктов.

Корреляционная матрица ошибок необходимых параметров равна обратной матрице коэффициентов нормальных уравнений

.

Благодаря диагональной конструкции матрицы P формулу для вычисления коэффициентов нормальных уравнений представим в виде

Учитывая, что  и в рассматриваемой сети не планируются измерения азимутов и длин сторон, корреляционная матрица ошибок необходимых параметров будет равна

.

         В результате вычислений получим:

         =

0, 7547	-0, 0536	0, 0224	0, 0522	-0, 0639	-0, 3958	0, 0593	0, 4551	0, 1392
-0, 0536	0, 3158	0, 0566	-0, 128	0, 0382	0, 2224	-0, 166	-0, 1546	-0, 1527
0, 0064	0, 0566	0, 7559	-0, 2869	0, 0368	-0, 0061	-0, 5632	0, 0366	-0, 0135
0, 0522	-0, 128	-0, 2869	0, 8841	-0, 2239	-0, 677	0, 7581	0, 2277	0, 0151
-0, 0639	0, 0382	0, 0368	-0, 2239	0, 5244	0, 6486	-0, 2013	-0, 3494	0, 1048
-0, 3958	0, 2224	-0, 0061	-0, 677	0, 6486	2, 6272	-0, 4731	-1, 756	-0, 061
0, 0593	-0, 166	-0, 5632	0, 7581	-0, 2013	-0, 4731	1, 3295	0, 2446	0, 0412
0, 4551	-0, 1546	0, 0366	0, 2277	-0, 3494	-1, 756	0, 2446	1, 9114	0, 2573
0, 1392	-0, 1527	-0, 0135	0, 0151	0, 1048	-0, 061	0, 0412	0, 2573	0, 648

 

 

матрицу можно разбить на блоки         

где — корреляционная матрица ошибок уравненных значений ориентирующих углов;                    

—матрица взаимных весовых коэффициентов между уравненными значениями ориентирующих углов и уравненными значениями координат определяемых пунктов;

— корреляционная матрица ошибок координат определяемых пунктов.

 

3, 5788	-0, 4731	-1, 756	-0, 061
-0, 4731	2, 3295	0, 2446	0, 0412
-1, 756	0, 2446	2, 9114	0, 2573
-0, 061	0, 0412	0, 2573	2, 648

        x=

 

Вычисление корреляционных матриц ошибок

Дирекционных углов и длин сторон сети.

Дирекционные углы и длины сторон геодезической сети являются функциями координат:

 

 

Корреляционные матрицы их ошибок в уравненной сети вычисляются по формулам:

F_a — матрица частных производных оцениваемых дирекционных углов;

F_s   — матрица частных производных оцениваемых длин сторон сети.

Известно, что

,  

, ,

где и — модельные значения дирекционных углов и длин сторон проектируемой сети.

Производные , ,  и  равны

,     

, .

	Определяемые пункты
Изм.	Жихарево		Марково
a51	0,	0	-0, 4235	-07546
a52	0	0	0, 3428	-0, 3426
a43	0, 5678	-0, 5673	0	0
a42	09734	0, 4536	0	0
a45	0, 4632	-0, 4256	-0, 2533	0, 3527

Матрица частных производных оцениваемых

дирекционных углов (матрица F_a):

 

                         Матрица частных производных оцениваемых

длин сторон (матрица F_s ):

 

	Определяемые пункты
Изм.	Жихарево		Марково
S51	0	0	-34, 25	-35, 43
S52	0	0	-23.44	76, 38
S42	45, 45	37, 54	0	0
S43	23, 45	43, 26	0	0
S45	-64, 53	54, 16	-34.56	32, 34

 

После перемножения матриц  получим искомую корреляционную матрицу ошибок дирекционных углов :

0, 5414	0, 3007	-0, 1319	-0, 02	0, 1519
0, 3007	0, 628	0, 1568	0, 0782	-0, 235
-0, 1319	0, 1568	0, 6979	0, 1815	0, 1206
-0, 02	0, 0782	0, 1815	0, 7445	0, 074
0, 1519	-0, 235	0, 1206	0, 074	0, 8055

 

После перемножения матриц  получим корреляционную матрицу ошибок длин сторон :

0, 557835	0, 007676	-0, 002272	-0, 004542	0, 001327
0, 007676	0, 000300	-0, 000057	-0, 000205	0, 000009
-0, 002272	-0, 000057	0, 000135	0, 000033	0, 000002
-0, 004542	-0, 000205	0, 000033	0, 000212	0, 000009
0, 001327	0, 000009	0, 000002	0, 000009	0, 000062

 

Определение средней квадратической ошибки единицы веса.

  

Имея заданную точность определения дирекционных углов и длин сторон сети, а также корреляционные матрицы их ошибок  и  можно подобрать такое максимальное значение m , которое доставит определяемым величинам заданную точность. Для этого в корреляционных матрицах  и  выбираются максимальные диагональные элементы. Заметим, что диагональные элементы этих матриц равны обратным весам оцениваемых дирекционных углов и длин сторон сети.

   По формулам:

;

вычисляются значения средней квадратической ошибки единицы веса.

Из двух значений m выбирается наименьшее значение. В этих формулах  и  означают требуемые точности определения дирекционных углов и длин сторон сети.

 

Для данной сети имеем:

 

=6, 77˝          =6, 78˝

для средней квадратической ошибки единицы веса необходимо установить значение равное 6, 78". Оно является максимально возможным из всех, которые могут доставить дирекционным углам и длинам сторон проектируемой сети требуемую точность.

Определение случайной и систематической

Средних квадратических ошибок измерений.

   За единицу веса принят вес измерения направлений. Известно, что угловые измерения сопровождаются случайными и систематическими ошибками. Поэтому среднюю квадратическую ошибку единицы веса представим в виде:

,

где m_D - средняя квадратическая случайная ошибка измерения направлений;

m_d - средняя квадратическая систематическая ошибка измерения направлений.

Влияние случайных ошибок ослабляется путем увеличения числа приемов. По экономическим соображениям число приемов ограничивается и доводится до определенного минимума, который позволяет свести случайные ошибки к пренебрегаемым величинам. Если , то влияние случайных ошибок на результаты измерений будет незначительным по сравнению с влиянием систематических ошибок. Определим случайную составляющую средней квадратической ошибки единицы веса. Для этого примем . Тогда:

.

Отсюда находим:

.

В развиваемой сети случайная составляющая средней квадратической ошибки единицы веса должна быть равной:

=2, 14

 

 

Влияние систематических ошибок на точность измерений горизонтальных направлений в рассматриваемой сети не должно превосходить:

Требования к точности прибора и числу приемов.

Величина определяет, с какой средней квадратической случайной ошибкой должны быть получены в результате многократных измерений элементы геодезической сети. Она позволяет установить для них предельные ошибки . Для установления значения  обычно назначают вероятности выполнения неравенства

равными:

где  — случайная ошибка среднего арифметического значения измеряемой величины.

Тогда предельные ошибки будут равны:

Предельные ошибки при проектировании измерений, как правило, определяются по формуле:

.

Проектируемая сеть является сетью триангуляции. Значения горизонтальных направлений на пунктах триангуляции могут быть получены в результате измерения горизонтальных углов способом круговых приемов (способ Струве) и способом во всех комбинациях (способ Шрейбера). Предельные ошибки значений горизонтальных углов, полученных в результате многократных измерений будут равны:

,

где — проектное значение средней квадратической случайной ошибки измерения горизонтальных углов.

Горизонтальные углы являются функциями равноточных направлений. Поэтому для рассматриваемой сети будем иметь:

 

=5, 07

 

предельная ошибка измерения горизонтальных углов составит:

 

=4, 53

 

Для обоснования требований к точности прибора и числу приемов рассмотрим величину:

,

где m — средняя квадратическая случайная ошибка измерений одним приемом, вычисляемая по результатам измерений (по формуле Бесселя).

 Величина T является случайной. Она имеет распределение Стьюдента. Функция распределения по закону Стьюдента выражает вероятность того, что случайная величина T принимает по абсолютной величине значения меньшие заданного

.

Распределение Стьюдента зависит от числа степеней свободы r. Для измеряемых величин число степеней свободы  определяется по формуле:

 r = n – 1,

где n — количество приемов.  

Приняв определенное значение g и задавая степень свободы r по таблице Стьюдента можно найти . Ему должна соответствовать величина:

                                              .

Отсюда следует:

.

 Степень свободы подбирается такой, чтобы точность измерения одним приемом m и число приемов n = r + 1 были приемлемы при производстве наблюдений на пунктах сети.

 По величине mопределяется класс прибора, обеспечивающий данную точность измерений одним приемом:

m_п < m,

где m_п — паспортное значение средней квадратической ошибки измерения одним приемом.

 Значение g должно назначаться примерно равным единице. Если взять, например, g= 0, 9 — то в десяти случаях из ста могут оказаться незамеченными измерения, для которых случайная ошибка среднего арифметического значения будет больше предельной, т.е. 10% некачественных измерений будут приняты в обработку. При g = 0, 99 только 1% некачественных измерений будет незамеченным. Обычно gпринимается равным 0, 995; 0, 997; 0, 999.

    Примем g = 0, 999. По таблице распределения Стьюдента для r = 2 находим = 31.6. Из выражения r = n – 1 определяем число приемов

n = r + 1 = 3.

Среднюю квадратическую ошибку измерения угла одним приемом вычислим по формуле

.

Таким образом, чтобы получить значения горизонтальных углов с точностью =3, 03", необходимо выполнить два приема. Причем точность измерения в приеме должна быть равной m = 0, 42" . Средняя квадратическая ошибка измерения углов одним приемом теодолитом Т1 равна 1"; теодолитом Т2 — 2". Как видим, технические возможности приборов не могут обеспечить необходимую точность измерений.

Для r = 3 будем иметь

n = r + 1 = 4;

.

требуемую точность измерений может обеспечить теодолит Т1.

   Следовательно, значения горизонтальных углов с точностью  можно получить в результате измерений теодолитом Т1, выполняя измерения в 4-ре приема.

Для r = 5 будем иметь

n = r + 1 = 6;

.

требуемую точность измерений может обеспечить теодолит Т2.

Следовательно, значения горизонтальных углов с точностью  можно получить в результате измерений теодолитом Т2 выполняя измерения   

Шестью приемами.

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: