Расчет параметров линейного и квадратического тренда для показателей x и y

Для расчета параметров уравнений линейного и квадратического тренда построим вспомогательную таблицу.

Таблица 9. Вспомогательная таблица для расчета параметров линейного и квадратического тренда

Исходные данные		Вспомогательные расчеты
Периоды времени		Условное обозначение времени			yt	yt2
Периоды времени	у	t	t2	t4	yt	yt2
2002	238493	-3	9	81	-715479	2146437
2003	309008	-2	4	16	-618016	1236032
2004	357579	-1	1	1	-357579	357579
2005	884868	0	0	0	0	0
2007	1357806	1	1	1	1357806	1357806
2008	1273415	2	4	16	2546830	5093660
2010	2778551	3	9	81	8335653	25006959
S	7200320	0	28	196	10549215	35198473

Формулы для расчета параметров линейного тренда:

Формулы для расчета параметров квадратичного тренда:

Подставляя в эти формулы все суммы, рассчитанные в последней (итоговой) строке вспомогательной таблицы 4 (Σ y =7200320, Σ t² = 28 Σ t⁴=196, Σ yt = 10549215, Σ yt² = 35198473 ), получаем следующие результаты:

Линейный тренд y		Квадратический тренд y
y^ = a₀ + a₁* t		y^^ = b₀ + b₁* t + b₂*t²
a₀=	1507031	b₀=	142850, 80
a₁=	53822, 5	b₁ =	53822, 5
		b₂ =	166659, 2

Аналогичным образом рассчитаем параметры уравнений линейного и квадратического тренда для показателя x.

Таблица 10. Вспомогательная таблица для расчета параметров линейного и квадратического тренда

Периоды		Условное обозначение времени			*xt**	*xt²**
времени	x	t	t²	t⁴	*xt**	*xt²**
2002	137582	-3	9	81	-412746	170359260516
2003	140668	-2	4	16	-281336	79149944896
2004	144858	-1	1	1	-144858	20983840164
2005	144040	0	0	0	0	0
2007	136715	1	1	1	136715	18690991225
2008	130572	2	4	16	261144	68196188736
2010	108670	3	9	81	326010	106282520100
∑	943105	0	28	196	-115071	463662745637

Линейный тренд x		Квадратический тренд x
*х^ = a₀ +a₁ t**		*х^^ = b₀ + b₁ t + bt²*

a₀=	16438, 71	b₀=	269458, 57
a₁=	41073, 96	b₁ =	4109, 67
		b₂ =	1908420333761170

Чтобы выбрать, какое из уравнений тренда (линейное или квадратическое) лучше описывает исходный ряд данных, строится вспомогательная таблица для расчета так называемой ошибки аппроксимации, которая находится по формуле:

В этой формуле:

– исходные значения уровня ряда;

– расчетные значения уровня ряда; т.е. f(t), где f(t) – уравнение соответствующей функции.

Таблица 11. Вспомогательная таблица для расчета ошибок аппроксимации

Периоды времени	Исходные данные		Расчетные данные
Периоды времени	y	t	y^	y^^	(y^ -y)2	(y^^ - y)2
2002	238493	-3	1345563, 20	1481316, 10	1225604427728	1544609257893, 6
2003	309008	-2	1399385, 70	701842, 60	1188923528657	154319022957, 2
2004	357579	-1	1453208, 20	255687, 50	1201003343893	10381877772, 3
2005	884868	0	1507030, 70	142850, 80	387086425271	550589525095, 8
2007	1357806	1	1560853, 20	363332, 50	41228165428	988977542202, 3
2008	1273415	2	1614675, 70	917132, 60	116458865364	126937148549, 8
2010	2778551	3	1668498, 20	1804251, 10	1232217218788	281786965063, 2
S	7200320	0	10549214, 90	5666413, 20	5391921975129	3657601339534, 1

Вид уравнения тренда	Ошибка
y^ = a₀ + a₁* t	 _{ }	8776528, 60
y^^ = b₀ + b₁* t + b₂*t²	 _{ }	6565569, 50

Таблица 12. Расчет прогнозных значений по тренду

Вид уравнения тренда	Прогноз	Ошибка
*y^ = a₀ + a₁ t**	1776143, 5	8776528, 60
*y^^ = b₀ + b₁ t + b₂t²*	4578443, 3	6565569, 50

Вывод:

Из двух прогнозных значений более достоверным является y** = 6565569, 5 так как ошибка аппроксимации для него меньше.

Таблица 16. Вспомогательная таблица для расчета ошибок аппроксимации

Периоды

Исходные данные

Расчетные данные

времени

2950075, 2

x^^

(x^ - x)²

(x^^-х)2

2002

137582

-3

58273090, 0

17175783004107700

59714336309

2950075, 2

2003

140668

-2

3642068, 0

7633681335305920

42591552807

58273090, 0

2004

144858

-1

1572982, 5

1908420334026520

28727961795

3642068, 0

2005

144040

3642068, 0

269459

16282089209

1572982, 5

2007

136715

582773090, 0

1908420334034740

6273009077

3642068, 0

2008

130572

2950075, 2

7633681335322360

10230638940

582773090, 0

2010

108670

655803448, 9

17175783004132300

960416668

2950075, 2

∑

943105

16438, 71

53435769347199000

164780004805

655803448, 9

Ошибки аппроксимации и прогнозные значения для разных уравнений тренда

Вид уравнения тренда	Ошибка
x^ = a₀ + a₁* t	 _{ }= 153427, 51
x^^ = b₀ + b₁* t + b*t²	 _{ } 9679, 164
Вид уравнения тренда	Прогнозные значения
x^ = a₀ +a₁* t	x* = 221808, 51
x^^ = b₀ + b₁* t + b*t²	x** = 1, 9213572218

Вывод:

Из двух прогнозных значений более достоверным является x ** = 1, 9213572218 так как ошибка аппроксимации для него меньше.

Расчет параметров парной линейной регрессии

Для расчета параметров уравнения парной линейной регрессии y = a₀+a₁x составляется система нормальных уравнений:

na₀+ a₁Σ x = Σ y;

a₀Σ x + a₁Σ x² = Σ xy.

Решают с помощью метода определителей. В результате получаются следующие формулы для расчета параметров уравнения парной линейной регрессии:

Построим вспомогательную таблицу. Обозначать их параметры разными буквами. Поэтому заменим a₀ на k₀ и a₁на k₁.

Рассчитаем соответствующие суммы и подставим Σ x, Σ y, Σ x², Σ xy в формулы для расчета параметров парной линейной регрессии:

В результате расчетов получаем следующие значения параметров регрессии:

Параметры регрессии
k₀=	14004771, 9

k₁=	63335, 6

Ошибка аппроксимации
 _ 	3692, 48

 ^_y 	7761508, 3

 ^yx 	7638683, 7

R²=	0, 98

R² = 7638683, 7 /7761508, 3 = 0, 98

Вывод: Ошибка аппроксимации равна 0, 98т.е. менее 10 % среднего значения y, равного 16438, 71. Допустимо, если ошибка аппроксимации не превышает 10-15% от среднего значения результативного показателя. Индекс детерминации равен 0, 98, то есть очень близок к 1. Значит, построенное уравнение регрессии является значимым, то есть описывает существенную зависимость между показателями.

Таблица 17. Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения парной линейной регрессии ( y = k₀ + k₁* x )

Исходные данные

Вспомогательные расчеты

Расчет дисперсии фактических значений y

Расчет дисперсии расчетных значений y_x

Расчет параметров

Расчет ошибки ( )

x²

y_x=k₀+k₁*x

(y - y_x)²

137582

238493

18928806724

32812343926

8727848794

761711815727542

-854159

729587597281

8726756142

76156272768567100000

140668

309008

19787486224

43467537344

8923302579

796198142756026

-783644

614097918736

8922209927

79605829988952006000

144858

357579

20983840164

51798178782

9188678911

844252489004537

-735073

540332315329

9187586259

84411741266933100000

144040

884868

20747521600

127456386720

9136870358

834662308643545

-207784

43174190656

9135777706

83462434284310800000

136715

1357806

18690991225

185632447290

8672936795

751962821537946

265154

70306643716

8671844143

75200880831811600000

130572

1273415

17049047184

166272343380

8283865958

686013392330279

180763

32675262169

8282773306

68604333638254900000

108670

2778551

11809168900

301945137170

6896688771

475259981172841

1685899

2842255438201

6895596119

47549245832230500000

943105

7200320

127996862021

68905323943135

59746163534

356874379758234

6107068

37296279556624

59745070882

3569473494707150000000

⇐ Предыдущая 1 2 34