Глава 2. Математическая теория потребления

Глава 2. Математическая теория потребления

Алгоритм метода

1. Выявляются взаимозаменяемые товары: в общем случае товары вида и будут взаимозаменяемыми, если существует последовательность взаимозаменяемых пар

. (2.4.12)

Вычисление предельных норм замещения: для каждой пары из (2.4.12) вычисляют величину по формуле (2.3.9) или (2.3.5).

2. Построение кривых безразличия на гранях параллелепипеда : с помощью чисел , полученных в п.2, строят по одной линии безразличия в прямоугольниках (см. Рис. 2.3).

3. Разбиение граней одного из прямоугольников точками: выбирают один из прямоугольников, например, и для кривой безразличия строят ее близкое смещение (т.е. новую кривую безразличия) (см. Рис. 2.9); разбиение отрезков и получают с помощью «лестницы» между двумя кривыми безразличия.

4. Построение функции полезности для товара : для полученного в п.4 разбиения отрезка строят функцию полезности предполагая, что на каждом интервале разбиения функция возрастает на одну единицу (Рис. 2.10).

Рис. 2.10 График функции полезности Рис. 2.11 Разбиение отрезка

5. Последовательное разбиение остальных отрезков : эту процедуру проводят индуктивно, как показано на Рис. 2.11.

6. Последовательное построение функции полезности для остальных товаров: для получения в п.6. последовательных разбиений отрезков строят функции полезности (см. п.5).

7. Построение общей функции полезности: после того, как получены все , , полагают

Заметим, что точность аппроксимации функции полезности зависит от близости исходной и смещенной кривых безразличия в п.4.

Уравнение Слуцкого

Запишем основное матричное уравнение (2.6.9) в виде:

(2.7.1)

Решение этой системы относительно показателей сравнительной статики по спросу имеет вид:

(2.7.2)

(2.7.3)

(2.7.4)

где - обратная матрица Гессе, а

- скалярная величина. Можно показать, что

Поэтому скаляр можно интерпретировать как коэффициент убывания предельной полезности денег. Сравнивая (2.7.3) и (2.7.4) замечаем, что

Сопоставляя это уравнение с (2.7.2), получаем,

(2.7.5)

Равенство (2.7.5) называется уравнением Слуцкого. Это же уравнение называют основным уравнением теории ценности. В координатной форме уравнение Слуцкого имеет вид:

(2.7.6)

Левую часть этого уравнения называют общим эффектом (от влияния цены на спрос), первое слагаемое в правой части - влиянием замены (т.е. компенсированного изменения цены на спрос), второе слагаемое - влиянием дохода (влияние изменения дохода на спрос). Запишем уравнение в виде:

(2.7.7)

Из (2.7.4) следует, что матрица влияния замены симметрична и отрицательно определена. Из отрицательной определенности следует

(2.7.8)

Следовательно, компенсированное возрастание цены товара приводит к уменьшению спроса на этот товар. Их симметричности матрицы влияния замены и уравнения (2.7.7) получаем:

Поэтому из уравнения Слуцкого, в частности, следует, что:

(2.7.9)

Производная называется влиянием на спрос (на -й товар) изменения частной цены (цены -го товара).

Равенство (2.7.9) используют для характеристики типов товаров.

Определение 2.4. Товар вида называется нормальным, если ; товаром Гиффина, если ; ценным, если ; малоценным, если . Два товара и являются взаимозаменяемыми, если взаимодополняемыми, если

Из (2.7.8) и (2.7.9) следует

С учетом условия приходим к следующим выводам:

а) если , то обязательно

б) если то обязательно

Отсюда следует, что товар Гиффина не может быть ценным, т.е. он обязательно малоценный. В общем случае каждый товар попадает в одну из следующих категорий.

1. Нормальный и ценный

2. Нормальный и малоценный

3. Товар Гиффина и малоценный

Существование товара Гиффина кажется не вполне реальным. Действительно, его определение противоречит закону о спросе (спрос есть убывающая функция цены). Однако когда какой-либо популярный среди населения товар продается по слишком низкой цене, появляется подозрение о его качестве. Это может оказаться причиной снижения спроса на него. Последующее же поднятие цены может повысить спрос на этот товар.

Нормальный и ценный товар отличается от нормального малоценного товара высоким качеством. Например, фрукты южных сортов по питательным и вкусовым качествам превосходят северные сорта, но они и дороже; масло дороже маргарина, так как качество его выше; вычислительная техника завода-изготовителя, как правило, качественнее и поэтому дороже, чем та же техника, но лицензионной сборки и т.д.). Умножая обе части равенства (2.7.4) на вектор получим:

В координатной форме это равенство примет вид:

(2.7.10)

Учитывая положительность всех цен и неравенство (2.7.8), приходим к выводу о том, что для каждого существует такое, что

Таким образом, в наборе каждому товару соответствует по крайней мере один такой товар, который составляет с ним взаимозаменяемую пару.

Из уравнения Слуцкого (2.7.5) и равенства (2.7.10) получаем

или

Запишем это равенство в координатной форме

и разделим обе части каждого из равенств на :

В обозначениях эластичности (см. (2.3.2), (2.5.4)) имеем:

Отсюда следует вывод: для каждого товара сумма всех перекрестных эластичностей спроса по цене и эластичности спроса по доходу должна быть равна нулю, т.е. сумма всех эластичностей по цене равна отрицательной эластичности по доходу.

Умножая (2.7.2) на вектор цен , получим

(условие агрегации Энгеля). В координатной форме:

. (2.7.11)

Отсюда следует неравенство для некоторого Следовательно, в наборе все товары одновременно не могут быть малоценными.

С учетом (2.7.10) и (2.7.11) из уравнения Слуцкого находим

(условие агрегации Курно). В координатной форме:

Отсюда следует вывод: значение спроса на товар вида равно отрицательной взвешенной сумме изменений спроса на все товары по отношению к цене товара , в которой в качестве весов выступают цены товаров.

Исследуя уравнение Слуцкого можно получить и другие выводы по проблемам теории ценности и потребления.

Приведем геометрическую интерпретацию изложенных выше результатов для (Рис. 2.15). Пусть возрастает до , а - решение задачи потребителя для параметров Тогда лежит в пересечении бюджетной линии, проходящей через точки и с кривой безразличия . Общий эффект изменения выражается отрезком

Рис. 2.15 Геометрическая иллюстрация уравнения Слуцкого

Точка лежит левее (т.к. в силу ), т.е. при возрастании цены первого товара спрос на него снизился. Следовательно, товар 1 нормален . Предположим теперь, что происходит компенсированное увеличение цены до . Обозначим через соответствующее компенсированное изменение (увеличение) дохода, т.е.

Геометрически бюджетная линия изменится (пройдет через и , а точка будет лежать в пересечении этой бюджетной линии с кривой безразличия (по определению компенсированного изменения цены ).

Так как бюджетная линия параллельна бюджетной линии (имеет один и тот же тангенс угла наклона ), то точка будет лежать левее точки . Это подтверждение того, что влияние замены отрицательно. Влияние замены выражается отрезком а влияние дохода выражается отрезком Точка лежит левее точки т.е. при возрастании дохода (от K до ) спрос на товар 1 увеличился. Следовательно, товар 1 является ценным

Глава 2. Математическая теория потребления

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒