Неравновесные состояния и нелинейность

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 18Следующая ⇒

Ключ к пониманию диссипативных структур лежит в осознании того, что они поддерживают себя в устойчивом состоянии, далеком от равновесия. Эта ситуация настолько отличается от феномена, описываемого классической наукой, что мы сталкиваемся с трудностями традиционного языка. Словарные определения понятия «устойчивый» включают «фиксированный», «не колеблющийся» и «неизменный» — все они неадекватно описывают диссипативные структуры. Живой организм характеризуется непрерывным потоком и изменениями в обмене веществ, включающем тысячи химических реакций. Химическое и тепловое равновесие наступает тогда, когда все эти процессы прекращаются. Другими словами, организм в состоянии равновесия — это мертвый организм. Живые организмы непрерывно поддерживают себя в далеком от равновесия состоянии, которое, по сути, есть состояние жизни. Сильно отличаясь от равновесия, это состояние, тем не менее, сохраняет устойчивость в течение продолжительных периодов времени, что означает, как и в случае вихря, что поддерживается одна общая структура, несмотря на непрекращающийся поток и изменение компонентов.

Пригожий понял, что классическая термодинамика — первая наука, трактующая сложные системы, — не подходит для описания далеких от равновесия систем из-за линейной природы ее математической структуры. Близко к состоянию равновесия — в диапазоне классической термодинамики — находятся процессы типа потока, однако они слабы. Система всегда развивается в сторону стационарного состояния, в котором генерация энтропии (или беспорядка) сведена к минимуму. Другими словами, система минимизирует свои потоки, функционируя предельно близко к состоянию равновесия. В этом диапазоне потоковые процессы могут быть описаны линейными уравнениями.

Чем дальше от равновесия, тем потоки становятся сильнее, увеличивается выработка энтропии, и тогда система больше не стремится к равновесию. Наоборот, здесь уже могут встретиться неустойчивости, ведущие к новым формам порядка, которые отодвигают систему все дальше и дальше от состояния равновесия. Другими словами, вдали от равновесия диссипативные структуры могут развиваться в формы все более возрастающей сложности.

Пригожин подчеркивает, что характеристики диссипативной структуры не могут быть выведены из свойств ее частей, но обусловлены «сверхмолекулярной организацией»⁶. Корреляции дальнего типа проявляются как раз в точке перехода от равновесия к неравновесному состоянию, и, начиная с этого момента, система ведет себя как единое целое.

Вдали от равновесия потоковые процессы в системе взаимосвязаны через многочисленные петли обратной связи, а соответствующие математические уравнения нелинейны. Чем дальше диссипативная структура от равновесия, тем выше степень сложности и нелинейности описывающих ее математических уравнений.

Учитывая критическую связь между неравновесным состоянием и нелинейностью, Пригожий и его коллеги разработали нелинейную термодинамику для далеких от равновесия систем, использовав для этого аппарат теории динамических систем — новую математику сложных систем, которая тогда только начинала развиваться⁷. Линейные уравнения классической термодинамики, как отмечал Пригожий, можно анализировать с помощью точечных аттракторов. Какими бы ни были начальные условия системы, она «увлекается» к стационарному состоянию с минимальной энтропией, предельно близко к равновесию, и ее поведение полностью предсказуемо. Как выражается Пригожий, системы в линейном диапазоне «склонны забывать свои начальные условия»⁸.

За пределами линейного диапазона ситуация совершенно другая. Нелинейные уравнения, как правило, имеют больше чем одно решение; чем выше степень нелинейности, тем больше решений. Это означает, что новые ситуации могут возникать в любой момент. Говоря математическим языком, система в этом случае попадает в точку бифуркации, где может отклониться в совершенно другое состояние. Далее мы увидим, что поведение системы в точке бифуркации (т. е. по какому из нескольких возможных направлений она пойдет) зависит от предыдущей истории системы. В нелинейном диапазоне начальные условия уже «не забываются».

Кроме того, теория Пригожина показывает, что поведение далекой от равновесия диссипативной структуры не подчиняется ни одному из универсальных законов: оно уникально для данной системы. Вблизи точки равновесия мы находим повторяющиеся феномены и универсальные законы. По мере удаления от равновесия, мы движемся от универсального к уникальному, в направлении богатства и разнообразия. Это, конечно, хорошо известная характеристика жизни.

Наличие точек бифуркации, в которых система может пойти по любому из нескольких различных направлений, предполагает, что неопределенность является еще одной характеристикой теории Пригожина. В точке бифуркации система может сделать «выбор» — этот термин здесь используется метафорически — между несколькими возможными направлениями, или состояниями. Какое направление она выберет, будет зависеть от истории системы и различных внешних условий и никогда не может быть предсказано. В каждой точке бифуркации существует неустранимый элемент случайности.

Неопределенность в точках бифуркации представляет собой один из двух типов непредсказуемости в теории диссипативных структур. Другой тип, характерный также для теории хаоса, обусловлен высокой степенью нелинейности уравнений и проявляется даже тогда, когда бифуркации отсутствуют. Из-за многократных петель обратной связи — или, математически, многократных итераций — мельчайшая погрешность в вычислениях, вызванная практической необходимостью определенного округления цифр, неизбежно значительно повышает степень неопределенности, делая предсказания невозможными⁹.

Как неопределенность в точках бифуркации, так и неопределенность «хаотического типа» из-за повторяющихся итераций предполагают, что поведение диссипативной структуры может быть предсказано лишь на короткий промежуток времени. После этого системная траектория ускользает от нас. Таким образом, теория Пригожина, как квантовая теория и теория хаоса, еще раз напоминает нам, что научное знание обеспечивает не более чем «ограниченное окно во вселенную»¹⁰.

Стрела времени

По Пригожину, признание неопределенности как ключевой характеристики естественных феноменов является частью серьезного пересмотра научной концептуальности. Тесно связан с этим концептуальный сдвиг и в научных представлениях о необратимости и времени.

В механистической парадигме ньютоновской науки мир рассматривался как полностью причинный и детерминированный. Все, что происходило, имело определенную причину и приводило к определенному следствию. Будущее любой части системы, равно как и ее прошлое, в принципе, могло быть рассчитано с абсолютной определенностью, если состояние этой системы в любой данный момент времени известно во всех подробностях. Этот строгий детерминизм нашел свое самое яркое выражение в знаменитых словах Пьера-Симона Лапласа:

Интеллект, который в данное мгновение знает все силы, действующие в природе, и положение всех вещей, из которых состоит мир, — буде сей интеллект достаточно обширен, дабы подвергнуть эти данные анализу, — единой формулой охватит движения громадных тел во вселенной и мельчайшие передвижения атомов; ничто не вызовет у него сомнения, и будущее, равно как и прошлое, предстанет его взору¹¹.

В этом лапласианском детерминизме не делается различия между прошлым и будущим. И то и другое заложено в настоящем состоянии мира и в ньютоновых уравнениях движения. Все процессы здесь строго обратимы. Будущее и прошлое чередуются, здесь нет места истории, новаторству или творчеству.

Необратимые эффекты (например, трение) отмечались в классической ньютоновской физике, но ими всегда пренебрегали. В XIX столетии ситуация изменилась решительным образом. С изобретением тепловых двигателей необратимость рассеяния энергии при трении, вязкость (сопротивление жидкости течению) и тепловые потери оказались в центре внимания новой науки термодинамики, которая выдвинула идею стрелы времени. В это же время геологи, биологи, философы и поэты начали размышлять над изменением, ростом, развитием и эволюцией. Философия XIX столетия глубоко интересовалась природой становления.

В классической термодинамике необратимость, при всей своей важности как понятия, всегда ассоциировалась с рассеянием энергии и потерями. Пригожий фундаментально изменил такой подход в своей теории диссипативных структур, показав, что в живых системах, функционирующих вдали от равновесия, необратимые процессы играют конструктивную и важную роль.

Химические реакции — базовые процессы жизни — являются примером необратимых процессов. В ньютоновском мире не может быть ни химии, ни жизни. Теория Пригожина показывает, как каталитические петли — особого типа химические процессы, исключительно важные для живых организмов¹², — приводят к состояниям неустойчивости через многократную усиливающую обратную связь и как в последовательных точках бифуркации возникают структуры постоянно нарастающей сложности. «Необратимость, — заключает Пригожий, — есть механизм извлечения порядка из хаоса»¹³.

Таким образом, концептуальный сдвиг в науке, предложенный Пригожиным, означает переход от детерминированных, обратимых процессов к неопределенным, необратимым. Поскольку необратимые процессы играют значительную роль в химии и жизни, при всем том что взаимозаменяемость будущего и прошлого является неотъемлемой частью физики, похоже, что пригожинский пересмотр концепций должен рассматриваться в более широком контексте — том самом, который обсуждался в начале этой книги в связи с глубокой экологией как часть сдвига научной парадигмы от физики к наукам о жизни¹⁴.

Порядок и беспорядок

Стрела времени, как она представляется в классической термодинамике, не указывает на возрастающий порядок, она направлена в противоположную сторону. Согласно второму закону термодинамики, физические феномены проявляют тенденцию к движению от порядка к беспорядку, в сторону непрерывно возрастающей энтропии¹⁵. Одно из величайших достижений Пригожина состоит в разрешении парадокса двух противоречивых взглядов на эволюцию — физического и биологического: один представляет идею глохнущего мотора, другой описывает мир, эволюционирующий в сторону возрастающего порядка и сложности. По словам самого Пригожина, «Вот вопрос, преследующий нас более ста лет: какое значение имеет эволюция живого существа в мире, описанном термодинамикой, т. е. в мире непрерывно нарастающего беспорядка? »¹⁶

По теории Пригожина, второй закон термодинамики все еще верен, но взаимосвязь между энтропией и беспорядком уже видится в новом свете. Чтобы усвоить это новое представление, нам следует рассмотреть классические определения энтропии и порядка. Концепция энтропии как меры рассеяния энергии на тепло и трение была представлена в XIX веке Рудольфом Клаузиусом, немецким физиком и математиком. Клаузиус определил энтропию, создаваемую в тепловом процессе, как рассеянную энергию, деленную на температуру, при которой происходит процесс. Согласно второму закону термодинамики, энтропия нарастает, по мере того как продолжается тепловой процесс; рассеянная энергия никогда не может быть восстановлена, а направление в сторону непрерывно нарастающей энтропии определяет стрелу времени.

Хотя рассеяние энергии на тепло и трение — общеизвестное и привычное явление, сразу же после формулировки второго закона возник интригующий вопрос: что конкретно вызывает эту необратимость? В ньютоновской физике эффектами трения, как правило, пренебрегали, считая их не слишком существенными. Тем не менее эти эффекты можно учитывать и в ньютоновской системе. В принципе, утверждали ученые, можно использовать ньютоновы законы движения для описания рассеяния энергии на молекулярном уровне в форме каскадов столкновений. Каждое из этих столкновений — обратимое событие, поэтому нет ничего невозможного в том, чтобы запустить этот процесс в обратном направлении. Тогда получается, что рассеяние энергии, необратимое на макроскопическом уровне и отвечающее второму закону и обычному опыту, состоит из полностью обратимых событий на микроскопическом уровне. Где же здесь, в таком случае, вкрадывается необратимость?

В начале века эта тайна была разгадана австрийским физиком Людвигом Больцманом, одним из великих теоретиков классической термодинамики. Больцман вложил новый смысл в понятие энтропии и установил связь между энтропией и порядком. Следуя рассуждениям основателя статистической механики Джеймса Кларка Максвелла¹⁷, Больцман предложил простой мысленный эксперимент, позволяющий исследовать энтропию на молекулярном уровне¹⁸.

Представьте, что у нас есть коробка, рассуждал Больцман, разделенная на два равных отсека воображаемой перегородкой в центре, и восемь различных молекул, пронумерованных от единицы до восьми подобно бильярдным шарам. Сколько существует способов такого распределения этих частиц в коробке, чтобы их определенное количество находилось по левую сторону перегородки, а остальные — по правую?

Для начала поместим все восемь частиц в левый отсек. Это можно сделать лишь одним способом. Если же мы решим поместить семь частиц налево, а одну — направо, то получим восемь способов, так как единственной частицей в правом отсеке может быть любая из восьми частиц. Поскольку молекулы различны, эти восемь способов представляют собой различные комбинации. Подобным же образом, существует 28 различных комбинаций для шести частиц слева и двух справа.

Для всех этих перестановок легко вывести общую формулу¹⁹. Из нее следует, что количество способов увеличивается по мере того, как уменьшается разность между числом частиц слева и справа, достигая максимума (70 различных комбинаций) при равном распределении молекул, по четыре на каждой половине (рис. 8-2).

Больцман называл различные комбинации комплексиями и связывал их с понятием порядка — чем меньше комплексий, тем выше порядок. Таким образом, в нашем примере первое состояние со всеми восемью частицами на одной стороне отражает самую высшую степень порядка, тогда как равное распределение с четырьмя частицами на каждой стороне представляет максимальный беспорядок.

Рис. 8-2. Мысленный эксперимент Больцмана

Важно подчеркнуть, что концепция порядка, представленная Больцманом, — это концепция термодинамическая: молекулы находятся в непрерывном движении. В нашем примере перегородка коробки чисто воображаемая, и молекулы в своем беспорядочном движении свободно проходят сквозь нее. В разные моменты времени газ находится в различных состояниях, т. е. количество молекул в отсеках коробки бывает различным; и для каждого из этих состояний число комплексий связано с его степенью порядка. Это термодинамическое определение порядка совершенно отлично от жестких представлений о порядке и равновесии в ньютоновской механике.

Рассмотрим другой пример больцмановской концепции порядка, более близкий к нашему повседневному опыту. Представьте, что мы наполняем мешок двумя видами песка — нижнюю половину черным песком, а верхнюю белым. Это состояние высокого порядка; здесь существует лишь одна возможная комплексия. Затем мы встряхиваем мешок, чтобы смешать частицы песка. По мере того как белый и черный песок смешиваются все больше и больше, число возможных комплексий возрастает, а вместе с ней и степень беспорядка, пока мы не получим однородную смесь, состоящую из серого песка, — и максимальный беспорядок.

Введя такое определение порядка, Больцман смог анализировать поведение молекул в газе. Используя статистические методы, разработанные Максвеллом для описания беспорядочного движения молекул, Больцман отметил, что число возможных комплексий любого состояния является мерой вероятности того, что газ окажется в этом состоянии. Вот как определяется вероятность. Чем больше комплексий существует для определенной комбинации, тем больше вероятность того, что это состояние установится в газе при беспорядочном движении молекул.

Таким образом, число возможных комплексий для определенной комбинации молекул измеряет как степень порядка этого состояния, так и вероятность его установления. Чем выше число комплексий, тем больше беспорядок и выше вероятность того, что газ окажется в этом состоянии. Так Больцман пришел к выводу, что движение от порядка к беспорядку есть движение от менее вероятного состояния к более вероятному. Выражая энтропию и беспорядок через число комплексий, он ввел определение энтропии на языке вероятностных представлений.

Согласно Больцману, не существует физического закона, который запрещал бы движение от беспорядка к порядку, но, в силу беспорядочного движения молекул, такое направление весьма маловероятно. Чем больше молекул, тем выше вероятность движения от порядка к беспорядку, а при огромном количестве частиц в газе, эта вероятность практически превращается в определенность. Когда вы трясете мешок с белым и черным песком, вы можете наблюдать, как два типа песчинок разделяются прямо-таки волшебным способом, образуя высокоупорядоченное состояние полного разделения. Но вам, вероятней всего, придется трясти мешок в течение нескольких миллионов лет, чтобы это событие произошло.

На языке Больцмана второй закон термодинамики означает, что любая закрытая система стремится к максимально вероятному состоянию, которое представляет собой состояние максимального беспорядка. На математическом языке это состояние может быть определено как аттракторное состояние теплового равновесия. Как только равновесие достигнуто, система, скорее всего, не будет стремиться его покинуть.

Временами беспорядочное движение молекул может создавать различные состояния, но они близки к равновесию и существуют лишь в течение коротких периодов времени. Другими словами, система просто флюктуирует (беспорядочно колеблется) вокруг состояния теплового равновесия.

Классическая термодинамика, таким образом, пригодна для описания феноменов в состоянии равновесия или близком к равновесию. Пригожинская теория диссипативных структур, напротив, применима к далеким от равновесия термодинамическим феноменам, когда молекулы находятся не в беспорядочном движении, но взаимосвязаны через многочисленные петли обратной связи, описываемые нелинейными уравнениями. В этих уравнениях уже не доминируют точечные аттракторы, а это означает, что система более не стремится к равновесию. Диссипативная структура поддерживает себя вдали от равновесия и может даже уходить все дальше и дальше от него через последовательные бифуркации.

В точках бифуркации состояния высшего порядка (в больцмановском смысле) могут возникать спонтанно. Тем не менее это не противоречит второму закону термодинамики. Полная энтропия системы продолжает увеличиваться, но это увеличение энтропии не эквивалентно сплошному увеличению беспорядка. В живом мире порядок и беспорядок всегда создаются одновременно.

По Пригожину, диссипативные структуры — это островки порядка в море беспорядка, поддерживающие и даже повышающие свой порядок за счет увеличения беспорядка в окружающей среде. Например, живые организмы забирают упорядоченные структуры (пищу) из окружающей среды, используют их как ресурсы для своих метаболических процессов и рассеивают их как структуры низшего порядка (отходы). Как говорит сам Пригожий, «порядок парит в беспорядке»; при этом общая энтропия продолжает возрастать в соответствии со вторым законом термодинамики²⁰.

Это новое представление о порядке и беспорядке радикально переворачивает традиционные научные понятия. В классическом понимании, для которого физика является первоисточником концепций и метафор, порядок эквивалентен равновесию, как, например, в кристаллах и других статических структурах, а беспорядок — неравновесным состояниям, таким как вихри. Новая наука сложных систем, черпающая вдохновение из паутины жизни, показывает, что неравновесное состояние — это источник порядка. Турбулентные потоки воды и воздуха, выглядя хаотическими, на самом деле обладают высокой организацией и сложными паттернами, в которых вихри делятся снова и снова во все более мелких масштабах. В живых системах порядок, возникающий из неравновесных состояний, еще более очевиден; он выражает себя в богатстве, разнообразии и красоте жизни вокруг нас. Во всем живом мире хаос преобразуется в порядок.

Точки неустойчивости

Точки неустойчивости, в которых происходят непредсказуемые драматические события, где спонтанно возникает порядок и разворачивается скрытая ранее сложность, представляют, вероятно, самый интригующий и замечательный аспект теории диссипативных структур. До Пригожина единственным типом неустойчивости, который изучался более или менее подробно, была турбулентность, вызываемая внутренним трением текущей жидкости или газа²¹. Леонардо да Винчи провел множество тщательных исследований турбулентных потоков. В XIX веке был поставлен ряд экспериментов, которые показали, что любой поток воды или воздуха становится турбулентным при достаточно высокой скорости — т. е. при достаточно большом «удалении» от равновесия (неподвижного состояния).

Исследования Пригожина показали, что для химических реакций это неверно. Химическая неустойчивость не возникает автоматически вдали от равновесия. Для этого необходимы каталитические петли: они подводят систему к точке неустойчивости через многократную усиливающую (положительную) обратную связь²². В этих процессах объединяются два различных феномена — химические реакции и диффузия (физический поток молекул, вызванный разностью концентраций). Соответственно, описывающие их нелинейные уравнения называются уравнениями реакции-диффузии. Они формируют математическую основу теории Пригожина, позволяющую описывать поразительный диапазон типов поведения²³.

Британский биолог Брайан Гудвин весьма остроумным способом применил пригожинский математический аппарат для моделирования стадий развития весьма специфичной одноклеточной водоросли²⁴. Составив дифференциальные уравнения, которые связывают между собой паттерны концентрации кальция в клеточной жидкости водоросли и механические свойства стенок клетки, Гудвин и его коллеги сумели обнаружить петли обратной связи в процессе самоорганизации, когда в последовательных точках бифуркации появляются структуры нарастающего порядка.

Точка бифуркации — это порог устойчивости, где диссипативная структура может либо разрушиться, либо прорваться к одному из нескольких новых состояний порядка. Что на самом деле происходит в этой критической точке, зависит от предыдущей истории системы. В зависимости от того, каким путем она достигла точки неустойчивости, она направится по той или иной ветке после точки бифуркации.

Эта важная роль истории диссипативной структуры в критических точках ее развития, обнаруженная Пригожиным даже в простых химических колебаниях, похоже, является физическим началом характерной для всех живых систем связи между структурой и историей. Живая структура, как мы увидим ниже, всегда является записью своего предыдущего развития²⁵.

В точке бифуркации диссипативная структура также проявляет исключительную чувствительность к малейшим флюктуациям в окружающей среде. Незначительное случайное отклонение, часто называемое «шумом», может определить выбор направления. Поскольку все живые системы существуют в непрерывно флюктуирующей среде и поскольку невозможно узнать, какое отклонение произойдет в точке бифуркации в «тот самый» момент, мы никогда не можем предсказать будущее направление развития системы.

Таким образом, все детерминистские описания оказываются несостоятельными, когда диссипативная структура проходит точку бифуркации. Ничтожные отклонения в окружающей среде предопределяют выбор ветви, по которой эта структура последует. И поскольку в некотором смысле именно эти случайные отклонения приводят к возникновению новых форм порядка, Пригожий ввел описательный термин порядок через флюктуации.

Уравнения теории Пригожина — детерминистские уравнения. Они управляют поведением системы на отрезках между точками бифуркации; что касается точек неустойчивости, то здесь решающими оказываются флюктуации — небольшие случайные отклонения. Таким образом, «процессы самоорганизации в далеких от равновесия условиях соответствуют тонкому взаимодействию между случайностью и необходимостью, между флюктуациями и детерминистскими законами»²⁶.

Новый диалог с природой

Концептуальный сдвиг, предполагаемый теорией Пригожина, включает несколько тесно взаимосвязанных идей. Описание диссипативных структур, которые существуют вдали от равновесия, требует нелинейного математического аппарата, способного моделировать множественные взаимосвязанные циклы обратной связи. В живых организмах, это каталитические циклы (т. е. нелинейные, необратимые химические процессы), которые приводят к точкам неустойчивости через повторяющуюся самоусиливающую обратную связь. Когда диссипативная структура достигает такой точки неустойчивости, называемой точкой бифуркации, в теории появляется элемент неопределенности. В точке бифуркации поведению системы свойственна непредсказуемость. В частности, здесь могут спонтанно возникнуть новые структуры высшего порядка и сложности. Таким образом, самоорганизация, спонтанное возникновение порядка, служит результатом комплексного эффекта неравновесия, необратимости, циклов обратной связи и неустойчивости.

Радикальный характер подхода Пригожина очевиден и вытекает из того факта, что к этим фундаментальным идеям редко обращались в традиционной науке, и часто с ними были связаны негативные коннотации. Это следует из самого языка, на котором их описывали. Неравновесный, нелинейность, неустойчивость, неопределенность и т. п. — все это негативные формулировки. Пригожин убежден в том, что этот концептуальный сдвиг, подразумеваемый теорией диссипативных структур, не только критичен для понимания учеными природы жизни, но также помогает нам более полно интегрировать себя в природу.

Многие из ключевых характеристик диссипативных структур — чувствительность к малым изменениям в окружающей среде, важность предыдущей истории в критических точках выбора, неопределенность и непредсказуемость будущего — представляются революционными концепциями с точки зрения классической науки, однако служат интегральной частью человеческого опыта. Поскольку диссипативные структуры — это базовые структуры всех живых систем, включая и человеческие существа, это, очевидно, не должно вызывать удивления.

Вместо того чтобы быть машиной, природа в целом оказывается более подобной человеку — непредсказуемая, чувствительная к окружающему миру, подверженная влиянию малейших отклонений. Соответственно, адекватный подход к природе с целью изучения ее сложности и красоты состоит не в господстве и контроле, но в уважении, кооперации и диалоге. Действительно, Илья Пригожин и Изабель Стенгерс снабдили свою популярную книгу «Порядок из хаоса» подзаголовком «Новый диалог человека с Природой».

В детерминистском мире Ньютона нет места истории и творчеству. В живом мире диссипативных структур история играет важную роль, будущее неопределенно, и эта неопределенность служит основой творчества. «Сегодня, — размышляет Пригожин, — мир, который мы видим снаружи, и мир, который мы ощущаем внутри, сближаются. Это сближение двух миров — вероятно, одно из наиболее важных культурных событий нашего века»²⁷.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ 8

1. См. выше, с. 65. 2.Odum(1953).

3.Prigogine and Stengers (1984), p. 156.

4.См. выше, с. 103.

5.Prigogine and Stengers (1984), pp. 22-23.

6.Там же, pp. 143-144.

7.См. выше, с. 131.

8.Prigogine " and Stengers (1984), p. 140.

9.См. выше, с. 144.

10. Prigogine (1989).

11.Цитируется по Сарга (1975), p. 45.

12.Я использовал общий термин «каталитические петли (циклы)» для обозначения множества сложных нелинейных взаимоотношений между катализаторами, включая автокатализ, перекрестный катализ и самоторможение. Более подробно см. Prigogine and Stengers (1984), p. 153.

13.Prigogine and Stengers (1984), p. 292.

14.См. выше, с. 28.

15.См. выше, с. 63— 64.

16.Prigogine and Stengers (1984), p. 129.

17.См. выше, с. 139— 140.

18.См. Prigogine and Stengers (1984), p. 123-124.

19.Если N — общее количество частиц, Ni — частицы на одной стороне, а N2 — на другой, то число различных возможностей определяется формулой
Р = N! / N! x N!, где N! — факториал N, т. е. 1x2x3... xN.

20.Prigogine (1989).

21.См. Briggs and Peat (1989), p. 45ff.

22.См. Prigogine and Stengers (1984), p. 144ff.

23.Cm. Prigogine (1980), p. 104ff.

24.Goodwin (1994), p. 89ff.

25.См. ниже, с. 238.

26.Prigogine and Stengers (1984), p. 176.

27.Prigogine (1989).

Глава 9

Самосозидание

Клеточные автоматы

Когда Илья Пригожий разрабатывал свою теорию диссипативных структур, он искал простейшие примеры, которые можно было бы описать математически. Он нашел их в каталитических циклах химических колебаний, также известных как «химические часы»¹. Это не живые системы, однако те же типы каталитических циклов лежат в основе метаболизма клетки, простейшей из известных живых систем. Поэтому модель Пригожина позволяет нам объяснить существенные структурные особенности клеток на языке диссипативных структур.

Умберто Матурана и Франциско Варела следовали подобной стратегии, когда они разрабатывали теорию автопоэза — паттерна организации живых систем². Они задавали себе вопрос: какое простейшее воплощение автопоэзной сети можно описать математически? Как и Пригожин, они обнаружили, что даже простейшие клетки слишком сложны для математической модели. С другой стороны, они понимали, что поскольку паттерн автопоэза является определяющей характеристикой живой системы, то в природе не найти автопоэзной системы проще, чем клетка. Поэтому, отказавшись от поисков естественной автопоэзной системы, они решили смоделировать ее в виде компьютерной программы.

Их подход был аналогичен модели Мира маргариток, разработанной Джеймсом Лавлоком несколькими годами позже³. Однако там, где Лавлока интересовала простейшая математическая модель планеты с биосферой, регулирующей собственную температуру, Матурана и Варела искали простейшую модель сети клеточных процессов, воплощающей автопоэзный паттерн организации. Это означало, что им нужно было разработать особую компьютерную программу: она должна моделировать такую сеть процессов, в которой функция каждого компонента состоит в том, чтобы помогать созданию или трансформации других компонентов сети. Как и в случае клетки, эта автопоэзная сеть также должна создавать собственную границу, которая составляет часть сети процессов, но в то же время определяет ее протяженность.

Чтобы найти подходящий математический аппарат для своей задачи, Франциско Варела изучил математические модели самоорганизующихся сетей, разработанные в кибернетике. Двоичные сети, изобретенные Мак-Каллоком и Питтсом в 40-е годы, не обеспечивали достаточного уровня сложности для моделирования автопоэзной сети⁴; однако оказалось, что более поздние модели сетей — так называемые «клеточные автоматы» — идеально подходят для этой цели.

Клеточный автомат представляет собой прямоугольную решетку, состоящую из правильных квадратов, или клеток, — вроде шахматной доски. Каждая клетка может принимать несколько различных «значений», причем существует определенное число соседних клеток, способных влиять на нее. Паттерн, или состояние, всей решетки изменяется дискретно, в соответствии с набором правил перехода, которые вводятся для всех клеток одновременно. Обычно клеточные автоматы полностью детерминированы, но, как мы увидим ниже, в правила легко могут быть включены элементы случайности.

Эти математические модели называются автоматами, потому что изначально они были изобретены Джоном фон Нейманном для конструирования машин с возможностью самовоспроизведения. Хотя такие машины так и не были построены, фон Нейманн абстрактно и элегантно показал, что это, в принципе, возможно⁵. С тех пор молекулярные автоматы широко используются как для имитации природных систем, так и для изобретения большого количества математических игр⁶. Наверное, самым широко известным примером является игра «Жизнь», в которой каждая клетка может иметь одно из двух «значений», например «черное» или «белое», а последовательность состояний определяется тремя простыми правилами — «рождением», «смертью» и «выживанием». Входе игры возникает поразительное разнообразие паттернов. Некоторые из них «передвигаются»; другие сохраняют стабильность; третьи колеблются или ведут себя еще более сложным образом⁸.

Клеточные автоматы использовались профессиональными математиками и любителями не только для изобретения многочисленных игр; не менее пристально их изучали как математический инструмент для научных моделей. В силу их сетевой структуры и способности работать с большими количествами дискретных переменных, эти математические формы были вскоре признаны и приняты в качестве замечательной альтернативы дифференциальным уравнениям в области имитации сложных систем⁹. В некотором смысле эти два подхода — дифференциальные уравнения и клеточные автоматы — можно рассматривать как различные математические структуры, соответствующие двум отдельным концептуальным измерениям в теории живых систем — структуре и паттерну.

Имитация автопоэзных сетей

В начале 70-х Франциско Варела понял, что пошаговые последовательности клеточных автоматов идеальны для компьютерного моделирования и обеспечивают его мощным инструментом имитации автопоэзных сетей. И в 1974 году, совместно с Матураной и ученым-компьютерщиком Рикардо Урибе, Вареле удалось разработать требуемый компьютерный имитатор¹⁰. Их клеточный автомат состоит из решетки, в плоскости которой беспорядочно передвигаются «катализатор» и два типа элементов. Они взаимодействуют друг с другом таким образом, что в результате могут образоваться новые элементы обоих видов; одни могут исчезать, а другие связываются друг с другом, образуя цепи.

В компьютерных распечатках решетки «катализатор» помечается звездочкой (*). Элемент первого типа, присутствующий в больших количествах, называется «субстратом» и помечается кружком (о); элемент второго типа называется «звеном» и помечается кружком внутри квадрата ([0]). Существует три различных типа взаимодействий и преобразований: два субстрата могуn объединиться в присутствии катализатора, образуя звено; несколько звеньев могут «сцепиться», образуя цепь; любое звено, как свободное, так и входящее в цепь, может распасться снова на два субстрата. В результате некоторого количества преобразований цепь может замкнуться сама на себя.

Эти три типа взаимодействия символически изображаются так:

Точные математические предписания (так называемые «алгоритмы»), касающиеся того, когда и как происходят эти процессы, достаточно сложны. Они состоят из многочисленных правил передвижения различных элементов и их взаимодействий". Правила передвижения, например, включают следующие пункты:

• Субстратам разрешено перемещаться только в незанятые участки
(«дырки») решетки; в то же время катализаторам и звеньям разрешено вытеснять субстраты, перемещая их в соседние дырки. Катализатор, кроме того, может вытеснять свободные звенья.

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая ⇒