Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Пусть имеем сходящиеся последовательности и , причём и . Тогда справедливы выражения (теоремы о пределах последовательностей):

= .

= .

= , при условии, что .

Замечание: Записанные свойства пределов последовательностей позволяют вычислять пределы последовательностей, использующих сложные аналитические выражения, как комбинации простых (и уже известных).

Если в определении предела используется =0, то величину называют бесконечно малой: становится и остаётся меньше сколь угодно малого наперёд заданного числа >0, начиная с некоторого места .

☺☺

Пример 4–01: Пусть = . Доказать, что заданная величина есть бесконечно малая.

Решение:

1). Учитывая, что для бесконечно малой величины необходимо =0, запишем: .

2). Записанное неравенство выполняется при условии, что . Это значит, что в качестве можно взять наибольшее целое число, содержащееся в числе .

Ответ: доказано: величина = есть бесконечно малая.

Замечание: Аналогично доказывается, что и величины: = , = бесконечно малые.

•• ☻☻ ••

Пример 1–95: Задана последовательность: = . Записать первые 5 членов этой последовательности.

Решение:

1). Для записи любого члена последовательности используется правило записи функции для конкретного значения аргумента.

2). В нашем случае: = = , = = , = = , = = , = = .

Ответ: = , = , = , = , = .

Пример 2–96: Задана последовательность: = . Записать первые 5 членов этой последовательности.

Решение:

1). Для записи любого члена последовательности используется правило записи функции для конкретного значения аргумента.

2). У нас: = =0, = = , = = , = = , = = .

Ответ: =0, = , = , = , = .

Пример 3–99: Задана последовательность: , , , ,... Записать формулу общего члена этой последовательности.

Решение:

1). Присутствие в записи чередования знаков подсказывает необходимость множителя в выражении для общего члена.

2). Знаменатель дроби возрастает на 1 на каждом шаге, начиная с числа 2, значит: = .

Ответ: = .

Пример 4–101: Задана последовательность: 2, , , ,... Записать формулу общего члена этой последовательности.

Решение:

1). Так как в знаменателях заданных дробей имеем последовательность нечётных чисел, то его выражением может быть . Аналогично замечаем закономерность изменения числителя - последовательность чётных чисел .

2). Учитывая первое число последовательности 2, записываем: = .

Ответ: = .

Пример 5–103: Задана последовательность: 1,0, ,0,5,0, ,... Записать формулу общего члена этой последовательности.

Решение:

1). Нетрудно заметить, что число должно состоять из двух множителей = , причём выдаёт последовательность чисел: 1,2,3,…, а − последовательность чисел

2). Легко догадаться, что самое простое = . С последовательностью сложнее: нужно вспомнить тригонометрию и значения функции для значений =1,2,3,… Тогда = обеспечивает необходимое свойство второго множителя и можно записать: = .

Ответ: = .

Пример 6–105: Задана последовательность: = . Доказать, используя определение предела, что предел этой последовательности равен = .

Решение:

1). Запишем: = , или для достаточно больших значений . Для произвольно малого числа необходимо выполнение требования: < .

2). Требование < означает, что в качестве необходимо принять наибольшее целое число, содержащееся в числе , которое обеспечит условие , если .

Ответ: доказано.

Пример 7–107: Задана последовательность: = . Доказать, используя определение предела, что предел этой последовательности равен =0.

Решение:

1). Запишем: . Для произвольно малого числа необходимо выполнение требования: < .

2). Требование < означает, что в качестве необходимо принять наибольшее целое число, содержащееся в числе , которое обеспечит условие , если .

Ответ: доказано.

Пример 8–109: Задана последовательность: = . Доказать, используя определение предела, что предел этой последовательности равен =2.

Решение:

1). Запишем: = , или < = . Для произвольно малого числа необходимо выполнение требования: .

2). Требование означает, что в качестве необходимо принять наибольшее целое число, содержащееся в числе , которое обеспечит условие , если .

Ответ: доказано.

Пример 9–113: Задана последовательность: = . Вычислить её предел, используя арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Решение:

1). Запишем: = = . Используя свойства сходящихся последовательностей, можем записать: .

2). Так как , то окончательно имеем .

Ответ: .

Пример 10–114: Задана последовательность: = . Вычислить её предел, используя арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Решение:

1). Запишем: = = . Используя свойства сходящихся последовательностей, можем записать: .

2). Используя простейшие последовательности, нетрудно записать: и . Тогда для исходной последовательности .

Ответ: .

Пример 11–117: Задана последовательность: = . Вычислить её предел, используя арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Решение:

1). Запишем: = = . Далее можно использовать известные результаты для последовательности , представленной как отношение многочленов.

2). Нетрудно записать: .

Ответ: .

Пример 12–119: Вычислить предел последовательности: = .

Решение:

1). Запишем: = = . Далее можно использовать свойства сходящихся последовательностей.

2). Нетрудно записать: .

Ответ: .

Пример 13–122: Вычислить предел последовательности: = .

Решение:

1). Запишем: = . Далее разделим числитель и знаменатель на величину и воспользуемся свойствами сходящихся последовательностей.

2). Нетрудно записать: .

Ответ: .

Пример 14–123: Вычислить предел последовательности: = .

Решение:

1). Запишем: = . Далее разделим числитель и знаменатель на величину и увидим, что .

2). Нетрудно записать: .

Ответ: .

•• ☻☻ ••

 

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое последовательность?

2. Что такое предел последовательности?

3. Каковы свойства сходящихся последовательностей?

4. Что такое бесконечно малые величины?

5. Что такое бесконечно большие величины?

Задачи для самоподготовки:

Пример C4–1: Задана последовательность: = . Записать первые 5 членов этой последовательности.

Пример C4–2: Задана последовательность: = . Записать первые 5 членов этой последовательности.

Пример C4–3: Задана последовательность: 0, , , ,... Записать формулу общего члена этой последовательности

Пример C4–4: Задана последовательность: 1,2, ,4, ,6,... Записать формулу общего члена этой последовательности.

Пример C4–5: Задана последовательность: = . Доказать, используя определение предела, что предел этой последовательности равен =3.

Пример C2–6: Задана последовательность: = . Доказать, используя определение предела, что предел этой последовательности равен =0.

Пример C2–7: Задана последовательность: = . Вычислить её предел, используя арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Пример C2–8: Задана последовательность: = . Вычислить её предел, используя арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Пример C2–9: Задана последовательность: = . Вычислить её предел, используя арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Пример C2–10: Вычислить предел последовательности: = .

Пример C2–11: Вычислить предел последовательности: = .

 

•• ☻☻ ••

Рекомендуемые страницы: