Часть 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Комплексные числа.

Стр 1 из 4Следующая ⇒

СБОРНИК ЗАДАНИЙ

для самостоятельной работы студентов по курсу

«Математический анализ»

(факультет ЭКТ МИЭТ)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

Учебное пособие

Утверждено методическим советом кафедры ВМ-2

Зав. кафедры С. Г. Кальней

Москва

Прочти, реши и опять прочти!..

АННОТАЦИЯ

Сборник содержит систематизированный набор задач по основным разделам предмета «Математический анализ». Основная цель Сборника – предоставить студентам стандартный набор задач для самостоятельной доработки материала Предмета.

По каждой теме, представленной в Сборнике, приведены примеры применения общих алгоритмов, полученных в теории математического анализа. Учитывается, что общие алгоритмы достаточно отработаны на семинарских занятиях и при выполнении текущих домашних заданий и не нуждаются в их обосновании.

При оформлении каждого выполненного задания студенты должны руководствоваться иллюстрирующими примерами Сборника: применение общих алгоритмов должно сопровождаться краткими комментариями и пояснениями.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Аннотация..................................................................... 3

Часть 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Комплексные числа.

Занятие 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона (треугольник Паскаля)........... 5

Занятие 2, 3. Комплексные числа..................................................... 10

Часть 2. Последовательности: определение, предел, бесконечно малые и большие.

Занятие 4, 5. Определение предела последовательности. Вычисление пределов по определению

и с помощью теорем о пределе последовательности............................ 10

Занятие 6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.................... 10

•◄ ● ► •

Используемая в Пособии литература:

	Задачник по высшей математике для вузов: Учебное пособие / под ред. А.С. Поспелова. СПб: Изд-во «Лань», 2010 г.
	Сборник задач по математике для ВТУЗОВ, часть 2, под ред. Ефимова А.В. и А.С. Поспелова. 4-е изд., М., Физматлит, 2001 г.
	Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсу «Основы математического анализа», часть 1, под ред. С.Г. Кальнея, М., МИЭТ, 2003 г.

Замечание: номер в списке Литературы соответствует утверждённому Семестровому плану по «Математическому анализу» для факультета ЭКТ!

Часть 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Комплексные числа.

ЗАНЯТИЕ 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона (формулу доказать и записать для случаев 2 4 степеней).

Ауд.

Л-4

№ 1.3, 1.6, 1.29, 1.33, 1.39.

☺ ☻ ☺

Элементы комбинаторики.

В практической деятельности различных специалистов часто возникают задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации букв, цифр, каких-то других объектов. Возникает вопрос: сколько комбинаций, отвечающих определённым условиям, можно в этих случаях составить?

В общем виде можно поставить вопрос шире: имеем множество M некоторых элементов, и из него требуется выделить подмножества , удовлетворяющие некоторым условиям. Различают подмножества, в которых:

▫ важен порядок следования элементов;

▫ порядок следования элементов неважен.

Бывает важно знать сколькими способами можно из множества M элементов выделить подмножества с определёнными свойствами. Область математики, в которой изучаются способы подсчёта различных комбинаций, удовлетворяющих заданным условиям, из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Первые проявления комбинаторики относят к 16 веку: итальянский математик Тарталья первый занялся подсчётом числа различных комбинаций при игре в кости. В дальнейшем развитии этой науки принимали участие Яков Бернулли, Лейбниц, Эйлер. Но и их разработки в основном относились к азартным играм.

Сегодня комбинаторика бурно развивается и в теории, и в приложениях. При изучении разделов высшей алгебры часто приходится обращаться к комбинаторике: использовать такие понятия, как размещения, перестановки, сочетания!

Весёлая задача.

Любители-велосипедисты организовали клуб. Каждому члену клуба выдали членский билет. Председателю достался билет с номером 008. Через некоторое время председатель обратил внимание на то, что на колёсах его велосипеда часто появляются восьмёрки! Так как колесо с восьмёркой очень похоже на цифру 8, то председателю это показалось подозрительным! Подозрение распространилось и на 0, так на велосипеде с колесом, похожим на 0, тоже далеко не уедешь! Чтобы защититься от нечистой, председатель решил заменить билеты так, чтобы эти плохие цифры не портили колёса!

Оказалось, что билетов с трёхзначными номерами без 0 и 8 ровно столько, как и членов клуба! Сколько было велосипедистов в этом клубе?

Решение задачи.

В рассмотренной задаче: имеем множество цифр M ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}. Из этого множества выбираем три подмножества , , со свойствами: формировать соответствующие разряды трёхместного кода.

Так как свойства элементов множества M для нас безразличны, то достаточно знать только их количество – восемь. Каждое место трёхзначного номера билета цифры множества M могут заполнять восьмью вариантами. В таком случае всего вариантов заполнения номера билета N= 8³=512. Столько было членов этого клуба!

Ответ: N= 8³=512.

Рассмотренная задача относится к определённому типу задач комбинаторики. Построим её формальную модель, принимая, что индивидуальные свойства объектов множества M для нас несущественны. Это значит, что в качестве объектов множества M можно принять: {1, 2,..., n}. Из элементов этого множества составляют всевозможных подмножеств, в каждом из которых используется по элементов.

Для наглядности будем считать, что для элементов подмножества выделено место заполнения. Рассмотрим случай, когда в место под номером [ 1 ] можно поместить любой из элементов множества {1, 2,..., n}. В этом случае число вариантов заполнения места [ 1 ] равно . Если и все остальные места заполнения используют по одному элементу из множества {1, 2,..., n}, то число вариантов заполнения совокупности мест: [ 1 ], [ 2 ], ..., [ k ] равно N= = . Такие расстановки называют k-расстановками с повторениями из элементов n видов.

☺ ☺

Пример 1 – 04: Догадаться, почему азбука Морзе, составленная из точек: и тире , имеет коды с одним знаком, двумя, тремя, четырьмя и пятью. А нельзя ли обойтись меньшим числом знаков, например, четырьмя?

Решение:

1). Так как индивидуальные свойства знаков и не имеют значения, то примем исходное множество в виде {1, 2}.

2). Тогда при помощи четырёх знаков можно передать только 2⁴ =16 букв! Но в русском алфавите 32 буквы, а ещё есть цифры и знаки препинания!.. Это значит, что не хватит и совокупности кодов с одним знаком, двумя, тремя, четырьмя знаками, так как суммарное количество символов, передаваемых с их помощью N ≤ 2¹+2²+2³+2⁴= 30.

3). А вот с добавлением пяти знаков можно передавать 30 +2⁵= 62 символа.

Ответ: доказано, см. текст!

Пример 1 – 05: На флоте применяют морской семафор флажками. Большинство букв сигнальщик передаёт, располагая оба флажка по разные стороны от тела. А вот при передаче букв: {Б, Д, К, Х, Ю, Я} оба флажка располагаются по одну сторону. Почему сделано такое исключение?

Решение:

1). Для каждой руки сигнальщика хорошо различимы 5 положений: -90⁰, -45⁰, 0⁰, 45⁰, 90⁰. Это значит множество, что множество объектов можно отобразить как {1, 2, 3, 4, 5}.

2). Это значит, двумя руками сигнальщик может передать 5²=25 символов. Ещё следует учесть, что для разделения слов используют положение оба флажка вниз! Остаётся 24 комбинации.

3). Принятые для букв {Б, Д, К, Х, Ю, Я} положения флажков позволяют передать 30 символов. А где ещё два? Оказывается, буквы Е, Ё, Э передают одинаково (их легко воспринимают по смыслу передаваемых слов и предложений)!

Ответ: ответ обоснован, см. текст!

☻

Пусть теперь из множества M ={1, 2,..., n} составляют всевозможные расстановки подмножеств так, что использованное для заполнения места с номером [ 1 ] число удаляется из множества M, то есть их остаётся в множестве на 1 меньше. После заполнения места с номером [ 2 ] в множестве чисел M содержится уже на 2 элемента меньше, и так далее...

В этом случае число вариантов заполнения места [ 1 ] равно ; места [ 2 ] → (n–1); места [ 3 ] → (n–2); и так далее: места [ k ] → (n–k+1). Такие расстановки называют размещениями без повторений из n - по k. Их количество равно: N= = , что легко видеть из представленной схемы.

Если мест заполнения k=n, то размещения без повторений из n по n называют n-перестановками и обозначают = = = n! ( эн-факториал ).

Если из размещений выделить только те, что отличаются друг от друга составом, но не порядком элементов, то получают k-сочетания и обозначают = = : делением на мы удаляем из общего числа размещений те, что различаются только порядком следования элементов.

Часто бывает полезно знать свойства сочетаний :

1*: = , что следует из выражения: = = = .

2*: = + , что следует из: + = + после применения достаточно простого преобразования:

= = .

☺ ☺

Пример 1 – 06: В группе 25 студентов. Надо избрать: старосту, профорга, физорга, культорга и ответственного по успеваемости. Сколькими способами можно выбрать названных лидеров, если каждый может исполнять только одну обязанность?

Решение:

1). В этом случае мы имеем задачу размещений без повторений из n =25 по k =5, то есть необходимо вычислить число: .

2). В результате имеем: =25·24·23·22·21 =6375600 способов.

Ответ: =6375600 способов.

Пример 1 – 07: Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

Решение:

1). Если бы девушки становились не в круг, а в шеренгу, то различных способов было бы столько, сколько перестановок из 7 по 7, то есть = =7! = 5040.

2). Так как девушки становятся в круг для хоровода, то шеренга девушек имеет возможность вращаться. Это значит, что каждая перестановка девушек, не меняясь, может занимать 7 положений на круге. В таком случае для ответа на поставленный вопрос требуется разделить на 7. Получим: N=720.

Ответ: N=720.

Пример 1 – 08: В урне находятся 25 белых шаров с номерами {1, 2,..., 25}. Сколькими различными способами можно вынуть из урны 5 шаров?

Решение:

1). Очевидно, для нас неважен порядок номеров на вынутых шарах: номера должны быть разными. Тогда мы имеем случай применения k-сочетания: = = .

2). В нашем случае: = = =53130.

Ответ: N=720.

☻

Бином Ньютона.

Этот параграф интересен не только том, что мы сможем увидеть ещё одно симпатичное применение результатов комбинаторики. Мы исправим несправедливость забвения бинома Ньютона в школах России!

Бином Ньютона – это формула: , которую достаточно просто получить, если воспользоваться свойствами сочетаний и методом математической индукции! Интересно получить подтверждение формулы Ньютона путём нестрогих размышлений, а уже потом доказать её формально, алгебраически!

Нестрогое доказательство:

1) Запишем . Раскрывая скобки, получим слагаемые вида: . Так как из каждой скобки берём либо a, либо b, а число скобок n, то должно быть: m+k=n. Значит, все слагаемые имеют вид: .

2) При фиксированном значении k слагаемых вида: столько, сколько сочетаний из n по k, то есть , причём, k =0, 1,..., n.

Формальное (алгебраическое) доказательство:

1) Воспользуемся методом математической индукции. Учтём известные всем формулы:

здесь n =2 = ;

здесь n =3;

2) Видим, при n утверждение (формула) верно. Проверим утверждение при значении (n +1):

или, раскрывая скобки и приводя подобные:

или, учитывая свойства сочетаний:

→ верно.

3). Формула верна для любого n.

☺ ☺

Пример 1 – 09: Получить общую формулу для разложения: .

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой: , заменяя значение b на –b.

2). В результате имеем: .

Ответ: .

Пример 1 – 10: Найти коэффициент при x³ в разложении .

Решение:

1). Воспользуемся разложением: и выделим слагаемое, содержащее x³: .

2). Вычислим нужный коэффициент (учитывая свойство сочетаний):

= = =7680.

Ответ: 7680.

Пример 1 – 11: Найти коэффициент при x¹¹ в разложении .

Решение:

1). Запишем общий член разложения: .

2). Используя исходные данные примера, запишем равенство: , откуда: при k=6.

3). Воспользуемся общим членом разложения для k=6 и вычислим: .

Ответ: 2268.

•• ☻ ☻ ••

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое метод математической индукции?

2. Как применяют метод математической индукции?

3. Что такое комбинаторика?

4. Определение числа размещений из элементов по (различные случаи).

5. Формула для вычисления числа сочетаний из элементов по ?

6. Бином Ньютона. Общая формула разложения. Треугольник Паскаля.

Задачи для самоподготовки:

Пример C1 – 1: Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном верно равенство: = = .

Пример C1 – 2: Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном верно равенство: = = .

Пример C1 –3: Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном верно равенство: = = .

Пример C1 – 4: Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном верно неравенство : , .

Пример C1 – 5: Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном верно неравенство : > , .

Пример C1 – 6: Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном число, записанное в виде: , делится на 9.

•• ☻ ☻ ••

Предел последовательности.

Число называется пределом последовательности, если для любого положительного числа найдётся (зависящее от этого числа) натуральное число такое, что выполняется неравенство:

, если .

Для обозначения предела последовательности используют записи: , или .

Понятие функции.

Пусть даны переменные с областью изменения и с областью изменения . Переменная называется функцией от переменной в области её изменения , если по некоторому правилу (или закону) каждому значению из области ставится в соответствие одно определённое значение из области .