Комплексные числа – теория и общие формулы.

Прежде всего, отметим, что энтузиасты-поклонники примитива вытеснили из школьной математической программы многие основополагающие понятия и разделы Математики. Одним из пострадавших разделов является Теория многочленов.

Сколько труда и изобретательности проявила человеческая мысль, доказав справедливость утверждения – Основная теорема алгебры комплексных чисел: всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный! Эту Теорему считают одним из крупнейших достижений математики: трудно назвать область науки, которая не использовала бы утверждение этой теоремы.

Из Основной теоремы получили Следствие: всякий многочлен - степени с любыми комплексными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных множителей: = .

Из выражения легко следует: числа , в общем случае комплексные, есть корни многочлена (по определению). Возникает вопрос – что это за числа, которые обеспечивают существование корней для любого многочлена – степени? Что такое комплексные числа?..

☺☺

Пример 2–01: Пусть имеем многочлен: = . В соответствии с разложением этот многочлен должен иметь 2 корня. А школьная программа в части алгебры многочленов утверждает, что этот многочлен корней (действительных) не имеет!.. Как это понимать доверчивому юному математику?

Решение:

1). Попробуем руководствоваться определением корня, и станем формально выполнять привычные действия: .

2). Пусть . Проверим, является ли корнем заданного многочлена = . Запишем: . Это значит, что есть корень многочлена . Легко заметить, что и является корнем многочлена .

Замечание: По определению корнем многочлена называют любое число, которое, будучи подставлено в выражение многочлена, обращает его в тождество!

3). В нашем случае мы получили нечто: и , у которого свойство быть корнем имеется, но в привычном понимании это нечто не есть число! Для выхода из возникшего затруднения было предложено назвать корень – число = единица мнимая и обозначить: . В таком случае имеем: =

Ответ: разложение: = .

Пример 2–02: Задан многочлен: = . Учитывая результат предыдущего примера, найти его корни.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой = для нахождения корней многочлена: . В нашем случае: = = .

2). Пусть = и = . Так как названо числом, то и тоже числа. Действительно, выражения и есть числа, так как произведение чисел 3 и есть число. Значит и , – тоже числа, только необычные!..

Ответ: корни: = и = .

☻

В соответствии с исторической традицией число будем называть комплексное числов алгебраической форме, где называют действительной частью, а число – мнимой частью, причём и – произвольные действительные числа. Если =0, то множество действительных чисел можем рассматривать как подмножество множества комплексных чисел .

Назвав выражение числом, необходимо определить для этих чисел операции: сложения и умножения, причём так, чтобы для чисел выполнялись все, установленные для действительных чисел свойства. Пусть имеем и – два комплексных числа. Определим операции:

Ÿ Сумма: . Разность – обратная операция.

Ÿ Произведение: . Учитывая , можем записать: . В частном случае, когда число , имеем умножение комплексного числа на число вещественное: .

Ÿ Деление: .

Замечание: Деление, как и разность, можно было определить как обратную операцию умножения, но в данном случае иллюстрация вычисления деления числа на число выразительно иллюстрирует сохранение всех свойств действительных чисел, в том числе – недопустимость деления на ноль!

Нетрудно заметить, что операции суммы комплексных чисел и произведения комплексного числа на произвольное вещественное число аналогичны линейным операциям с двумерными векторами. В таком случае логично воспользоваться представлением комплексного числа как вектора на плоскости прямоугольных координат : = .

Используя векторную модель комплексного числа, определим его модуль: = и координаты: и , где - угол, который вектор образует с осью . Это значит, произвольное комплексное число может быть представлено в виде: = - комплексное числов тригонометрической форме.

Если воспользоваться тождеством Эйлера: = , можем получить запись комплексного числа как: = . Более того, учитывая периодичность тригонометрических функций, в общем случае можем записать: = , .

Используя формулу , нетрудно записать выражения для операций произведения и деления комплексных чисел = и = , а также возведения комплексного числа = в степень (целую или дробную):

Ÿ = , = .

Ÿ = , = , .

Замечание: Формулы называют формулами Муавра. Заметим, что при извлечении корня - ой степени из любого комплексного числа получают различных комплексных чисел, которые располагаются на окружности радиуса с центром в точке и делят эту окружность на равных частей.

•• ☻☻ ••

Пример 1–421: Вычислить произведение комплексных чисел: . Результат записать в алгебраической форме.

Решение:

1). Раскрыв скобки и выполняя тождественные преобразования, запишем: = = .

2). Запись: = - алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 2–423: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме. (1)

Решение:

1). Применим формулу для разности кубов двух чисел. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = = .

2). Запись: = - алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 3–425: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Решение:

1). Применим формулу деления двух комплексных чисел в алгебраической форме. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = = .

2). Запись: = - алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 4–427: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Решение:

1). Применим формулу деления двух комплексных чисел в алгебраической форме. Выполнив тождественные преобразования, запишем: = .

2). Тогда, воспользовавшись тем, что , запишем: = - алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 5–429: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Решение:

1). Воспользуемся таблицей степеней числа , именно: , , , . Тогда можем записать: и .

2). Тогда = . Вычислим сначала дробь = , затем запишем: = .

3). Запись: = - алгебраическая форма комплексного числа.

Ответ: = .

Пример 6–435: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .

Решение:

1). Воспользуемся общей записью: = . В нашем случае: = - тригонометрическая форма комплексного числа.

2). Изобразим заданное число на плоскости : его можно изобразить как по записи в алгебраической форме, так и воспользовавшись тригонометрической формой.

Ответ: = , см. рисунок.

Пример 7–437: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .

Решение:

1). Воспользуемся общей записью: = . В нашем случае: = - тригонометрическая форма комплексного числа.

2). Изобразим заданное число на плоскости : его можно изобразить как по записи в алгебраической форме, так и воспользовавшись тригонометрической формой.

Ответ: = , см. рисунок.

Пример 8–448(а): Вычислить: и , если , .

Решение:

1). В соответствии с определением сопряжённого числа запишем: и .

2). Тогда = = и = = , после чего: = .

Ответ: = , = .

Пример 9–487: Вычислить: = , используя формулу Муавра.

Решение:

1). Запишем: и .

2). Тогда (формула Муавра): = = = . Аналогично вычислим = = .

3). Вычислим: = = .

Ответ: = .

Пример 10–497: Вычислить все значения корня: .

Решение:

1). Запишем: . Тогда = .

2). Для всех указанных значений запишем соответствующие комплексные числа:

=0 → = = ,

=1 → = = ,

=2 → = = ,

=3 → = = ,

Ответ: , , , ; также см. рисунок.

Пример 11–499: Вычислить все значения корня: .

Решение:

1). Запишем: = = . Тогда = .

2). Для всех указанных значений запишем соответствующие комплексные числа:

=0 → = = ,

=1 → = = ,

Ответ: , ; также см. рисунок.

•• ☻☻ ••

 

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое комплексное число?

2. Каковы основные операции с комплексными числами, их свойства?

3. Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа?

4. Формула Муавра, как её получили?

5. Сколько значений имеет корень – ой степени их числа 1?

Задачи для самоподготовки:

Пример C2–1: Вычислить комплексное число: . Результат записать в алгебраической форме.

Пример C2–2: Вычислить комплексное число: . Результат записать в алгебраической форме.

Пример C2–3: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Пример C2–4: Вычислить комплексное число: = . Результат записать в алгебраической форме.

Пример C2–5: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .

Пример C2–6: Представить комплексное число: = в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости .

Пример C2–7: Вычислить: и , если , .

Пример C2–8: Вычислить: , используя формулу Муавра.

Пример C2–9: Вычислить все значения корня: .

Пример C2–10: Вычислить все значения корня: .

Пример C2–11: Вычислить все значения корня: .

 

•• ☻☻ ••

Рекомендуемые страницы: