![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Комплексные числа – теория и общие формулы.
Прежде всего, отметим, что энтузиасты-поклонники примитива вытеснили из школьной математической программы многие основополагающие понятия и разделы Математики. Одним из пострадавших разделов является Теория многочленов. Сколько труда и изобретательности проявила человеческая мысль, доказав справедливость утверждения – Основная теорема алгебры комплексных чисел: всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный! Эту Теорему считают одним из крупнейших достижений математики: трудно назвать область науки, которая не использовала бы утверждение этой теоремы. Из Основной теоремы получили Следствие: всякий многочлен Из выражения ☺☺ Пример 2–01: Пусть имеем многочлен: Решение: 1). Попробуем руководствоваться определением корня, и станем формально выполнять привычные действия: 2). Пусть Замечание: По определению корнем многочлена называют любое число, которое, будучи подставлено в выражение многочлена, обращает его в тождество! 3). В нашем случае мы получили нечто: Ответ: разложение: Пример 2–02: Задан многочлен: Решение: 1). Воспользуемся общей формулой 2). Пусть Ответ: корни: ☻ В соответствии с исторической традицией число Назвав выражение Сумма: Произведение: Деление: Замечание: Деление, как и разность, можно было определить как обратную операцию умножения, но в данном случае иллюстрация вычисления деления числа Нетрудно заметить, что операции суммы комплексных чисел и произведения комплексного числа на произвольное вещественное число аналогичны линейным операциям с двумерными векторами. В таком случае логично воспользоваться представлением комплексного числа как вектора на плоскости прямоугольных координат Используя векторную модель комплексного числа, определим его модуль: Если воспользоваться тождеством Эйлера: Используя формулу Замечание: Формулы ![]() •• ☻☻ •• Пример 1–421: Вычислить произведение комплексных чисел: Решение: 1). Раскрыв скобки и выполняя тождественные преобразования, запишем: 2). Запись: Ответ: Пример 2–423: Вычислить комплексное число: Решение: 1). Применим формулу для разности кубов двух чисел. Выполнив тождественные преобразования, запишем: 2). Запись: Ответ: Пример 3–425: Вычислить комплексное число: Решение: 1). Применим формулу деления двух комплексных чисел в алгебраической форме. Выполнив тождественные преобразования, запишем: 2). Запись: Ответ: Пример 4–427: Вычислить комплексное число: Решение: 1). Применим формулу деления двух комплексных чисел в алгебраической форме. Выполнив тождественные преобразования, запишем: 2). Тогда, воспользовавшись тем, что Ответ: Пример 5–429: Вычислить комплексное число: Решение: 1). Воспользуемся таблицей степеней числа 2). Тогда 3). Запись: Ответ: Пример 6–435: Представить комплексное число:
1). Воспользуемся общей записью: 2). Изобразим заданное число на плоскости Ответ: Пример 7–437: Представить комплексное число:
1). Воспользуемся общей записью: 2). Изобразим заданное число на плоскости Ответ: Пример 8–448(а): Вычислить: Решение: 1). В соответствии с определением сопряжённого числа запишем: 2). Тогда Ответ: Пример 9–487: Вычислить: Решение: 1). Запишем: 2). Тогда (формула Муавра): 3). Вычислим: Ответ: Пример 10–497: Вычислить все значения корня: Решение: 1). Запишем: 2). Для всех указанных значений
Ответ: Пример 11–499: Вычислить все значения корня: Решение: 1). Запишем: 2). Для всех указанных значений
Ответ: •• ☻☻ ••
Вопросы для самопроверки: 1. Что такое комплексное число? 2. Каковы основные операции с комплексными числами, их свойства? 3. Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа? 4. Формула Муавра, как её получили? 5. Сколько значений имеет корень Задачи для самоподготовки: Пример C2–1: Вычислить комплексное число: Пример C2–2: Вычислить комплексное число: Пример C2–3: Вычислить комплексное число: Пример C2–4: Вычислить комплексное число: Пример C2–5: Представить комплексное число: Пример C2–6: Представить комплексное число: Пример C2–7: Вычислить: Пример C2–8: Вычислить: Пример C2–9: Вычислить все значения корня: Пример C2–10: Вычислить все значения корня: Пример C2–11: Вычислить все значения корня:
•• ☻☻ •• Читайте также:
![]() |
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-16; Просмотров: 3029; Нарушение авторского права страницы