Зеркальное изображение электрических полей

Пусть положительный точечный заряд +q находится на расстоянии r от безграничной проводящей незаряженной плоскости.

Рис. 8

Этот заряд индуцирует на бесконечной проводящей плоскости заряд противоположного знака (рис. 8), где сплошными линиями показаны линии напряженности электростатического поля.

Сама проводящая плоскость является эквипотенциальной с j = 0.

Метод электрического (зеркального) изображения основан на том, что замена любой эквипотенциальной поверхности электрического поля бесконечной проводящей плоскости с тем же потенциалом не вызывает изменения этого поля.

Если на расстоянии, равном расстоянию заряда +q, от плоскости слева поместить «фиктивный» отрицательный точечный заряд q^*= -q [он является «зеркальным» отражением заряда +q относительно плоскости], то картина линий напряженности слева от плоскости зеркально совпадет с линиями напряженности действительного электрического поля справа.

В этом случае вектор напряженности результирующего поля зарядов +q и -q во всех точках плоскости будет перпендикулярен ей (картина линий напряженности точно такая же, как и для электрического поля, созданного системой двух равных по величине, но противоположных по знаку точечных зарядов).

Следовательно, электрическое поле справа от плоскости определяется только зарядами +q и -q.

Сила притяжения заряда +q к проводящей плоскости равна кулоновской силе, которая действует между зарядами +q и -q по закону Кулона, (-q - зеркальное изображение заряда +q).

Где расстояние между зарядами равно удвоенному расстоянию, т. е. 2r.

Замечание:

Теорема о равновесии зарядов.

Приведем без доказательства теорему о равновесии зарядов (теорема Ирншоу):

Любая равновесная конфигурация неподвижных точечных зарядов неустойчива, если на заряды не действуют другие силы, кроме кулоновских.

Электрическая емкость проводников

Рассмотрим проводник, изолированный от влияния других проводников и заряженных тел. При сообщении заряда q проводнику возникает потенциал, пропорциональный этому заряду (j ~ q). Опыт показывает, что отношение заряда проводника к его потенциалу уже не зависит ни от заряда, ни от потенциала, является для данного проводника величиной постоянной, которую называют электрической емкостью проводника С (емкостью), т. е.

С = q / j (4)

Найдем емкость проводящего шара радиуса R.

Потенциал на поверхности заряженного шара можно найти т. е. , где - напряженность поля заряженной сферы (при r = R); j_¥ = 0.

После интегрирования получим

(5)

или при наличии диэлектрика , (6)

когда окружающая шар диэлектрическая среда характеризуется диэлектрической проницаемостью e. После подстановки вместо потенциала его значение [формула (6)] в (5) имеем

С = 4pe_оeR. (7)

Следовательно, емкость проводника зависит только от размеров и формы, диэлектрической проницаемости окружающей среды и наличия вблизи других проводников. В СИ емкость измеряют в фарад: (1 мкФ = 10^-⁶ Ф;

1 пФ = 10^-¹² Ф). Например, электроемкость Земного шара, - С » 0, 7 мкФ.

Конденсаторы

Рис. 9

Если вблизи заряженного проводника находятся другие проводники, то емкость его будет увеличиваться, так как электрическое поле вызывает появление на других проводниках индуцированных зарядов. Например, если заряд проводника положительный, то отрицательные индуцированные заряды на других телах располагаются ближе к проводнику, что приведет к уменьшению потенциала данного проводника, а емкость увеличится. Систему двух разноименно заряженных плоскостей (обкладок) называют плоским конденсатором (рис.9).

Их заряды равны по абсолютной величине (½ +q½ =½ -q½ = q).

Если расстояние между обкладками много меньше их размеров, то электрическое поле является практически однородным и сосредоточено между обкладками. Вне конденсатора поле практически равно нулю.

Основной характеристикой конденсатора является электрическая емкость , (8)

где Dj - разность потенциалов между его обкладками.

Напряженность электрического поля между его обкладками

, (9)

где q = sS; где s - поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора; S - площадь его обкладок.

Используя связь напряженности с разностью потенциалов, в виде Dj = Еd. После подстановки q, E и Dj получим

. (10)

Если пространство между обкладками конденсатора заполнено диэлектриком с проницаемостью e, то . (11)

Рис. 10

Анализ формулы (11) показывает, что емкость плоского конденсатора зависит только от размеров обкладок, расстояния между ними и диэлектрической проницаемости e вещества между обкладками. Кроме плоского конденсатора, на практике используют сферический и цилиндрический конденсаторы. Найдем емкость сферического конденсатора, который представляет собой систему двух концентрических сфер с общим центром. Пусть радиусы внешней и внутренней сфер (обкладок) соответственно равны R₂ и R₁ (рис. 10). Если внутренняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а внешняя - отрицательно, то электрическое поле создается вне сферы. Поэтому результирующее поле вне конденсатора равно нулю. В пространстве между обкладками поле создается только зарядом внутренней обкладки.

Применяя теорему Гаусса, найдем напряженность поля между сферическими обкладками конденсатора по формуле

, где q - заряд конденсатора.

Используя последнее выражение где = dr, найдем разность потенциалов между обкладками сферического конденсатора:

Рис. 11

Cледовательно, емкость сферического конденсатора, с учетом того, что пространство между обкладками заполнено диэлектрической средой с проницаемостью e: . (12)

Найдем емкость цилиндрического конденсатора, представляющего собой систему двух цилиндров, вставленных один в другой с общей осью.

Проводя аналогичные рассуждения, как и в случае со сферическим конденсатором, получим

, (13)

где h - высота образующей цилиндрического конденсатора; e - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками цилиндрического конденсатора; e_о - электрическая постоянная; R₂и R₁ - радиусы основания внешней и внутренней его цилиндрических обкладок (рис. 11).

Емкостные коэффициенты

Решения задачи о нахождении электрических полей в системе N статических заряженных проводников упрощаются, если воспользоваться следующим свойством: заряды проводников являются линейными, однородными функциями их потенциалов, а потенциалы - линейными, однородными функциями зарядов.

Коэффициенты этих линейных зависимостей называют емкостными коэффициентами, которые определяются размерами, формой и взаимным расположением проводников. Если пространство между проводниками заполнено однородным диэлектриком, в котором нет свободных зарядов, то емкостные коэффициенты прямо пропорциональны его диэлектрической проницаемости. Согласно линейности и однородности уравнений электростатики (например, уравнение Лапласа) аналитически это свойство записывается в виде

, (14)

где q_i - заряд i-го проводника; j_j - потенциал j-го проводника; С_ij - емкостные коэффициенты ( индексы i, j = 1, 2, ..., N).

В свою очередь, емкостные коэффициенты характеризуются следующими свойствами: 1) С_ij = С_ji; 2) С_ii > 0 для всех i. Действительно, емкостные коэффициенты С_ij с одинаковыми индексами (I = j) положительны. Заземлим все проводники, кроме i -го и j - го, тогда q_i = C_iij_i. Но величины q_i и j_i имеют одинаковые знаки.

Следовательно, С_ii > 0. 3) С_ij < 0, если I ¹ j, т. е. емкостные коэффициенты с различными индексами - отрицательны. Действительно, заземлим все проводники, кроме i -го и j- го. Сообщим i -му проводнику положительный заряд (q_i> 0), а j-й - останется не заряженным (q_j=0), а потенциалы j_i и j_j будут положительными. Причем q_j = С_jij_I + C_jjj_j = 0, что возможно, если С_ji < 0. Во всех случаях потенциал поля в бесконечности равен нулю. Если число проводников (обкладок конденсатора) равно двум, то

q₁ = C₁₁j₁ + C₁₂ j₂,

q₂ = C₂₁j₁ + C₂₂ j₂, (15)

где ½ +q½ =½ -q½ = q.

Решая уравнения (14) относительно j₁ и j₂, находим разность потенциалов и емкость конденсатора: . (16)

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒