Проводник в электрическом поле

Лекция 3

Проводник в электрическом поле

К проводникам относятся все металлы, их сплавы, электролиты и плазма. В металлах носителями зарядов являются квазисвободные электроны проводимости. В электролитах - положительные и отрицательные, ионы.

В плазме - ионы и свободные электроны.

Например, простейшую кристаллическую решетку некоторых металлов образуют положительно ионы, в пространстве, между которыми хаотически движутся отрицательно заряженные электроны.

Суммарный заряд незаряженного проводника равен нулю. Концентрация электронов в 1 м³, например, меди составляет ~8, 5× 10²⁸ м³.

Положительно заряженные атомные ядра и электроны возбуждают в веществе (в том числе и в проводниках) электромагнитное поле, которое изменяется сложным образом в пространстве и времени.

Такое поле называют микрополем (Е_микро). Задание микроскопических величин в каждой точке пространства и в любой момент времени дало бы истинное описание поля.

Но практически это не осуществимо, так как нет пробного заряда с зарядом меньше заряда электрона.

Внесение электрона искажает микро - поле, так как электрон сам участвует в создании этого поля.

Классическая физика допускает, исходя из представлений о микрополе, возможность использования уравнения для описания макроскопических процессов в веществе (макроскопические уравнения электродинамики).

Рис. 1

В связи с этим под электрическим полем в веществе (макрополе) понимают пространственное усреднение микрополей по физически бесконечно малому объему, содержащее большое число атомов (микрочастиц), т. е.

Следовательно, электрическое поле в веществе Е = Е_макро= < Е_микро>.

Внесем проводник во внешнее электрическое поле (рис. 1). Под действием внешнего электрического поля электроны будут перемещаться против поля, создавая избыточный отрицательный заряд на левой поверхности проводника. Справа останется избыточный положительный заряд.

Внутри проводника возникнет собственное электрическое поле _о.

Вектор напряженности собственного электрического поля _о противоположно направлен вектору напряженности внешнего электрического поля. Электроны в проводнике будут перемещаться до тех пор, пока напряженность результирующего поля не станет равной нулю( = 0, Е=Е₀).

Следовательно, при внесении проводника в электрическое поле, внутри проводника поле отсутствует, и нет избыточных зарядов.

Таким образом, влияние вещества на внешнее электрическое поле приводит к возникновению индуцированных зарядов в веществе, создаюшие дополнительное электрическое поле. Полное поле есть суперпозиция электрических полей, возбуждающими всеми первичными и индуцированными зарядами.

Явление возникновения индуцированных зарядов на поверхности проводника во внешнем электрическом поле называют электризацией через влияние или электростатической индукцией. Согласно (1.47) отсутствие поля внутри проводника означает, что потенциал в проводнике одинаков во всех его точках.

Следовательно, любой проводник в электростатическом поле представляет собой эквипотенциальный объем, а его поверхность является эквипотенциальной. Поэтому непосредственно у этой поверхности вектор напряженности электрического поля направлен по нормали к ней в каждой ее точке.

На рис. 1 сплошные линии - силовые линии напряженности, пунктирные - линии пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью рисунка (линии равного потенциала).

Теорема о равновесии зарядов.

Приведем без доказательства теорему о равновесии зарядов (теорема Ирншоу):

Любая равновесная конфигурация неподвижных точечных зарядов неустойчива, если на заряды не действуют другие силы, кроме кулоновских.

Конденсаторы

Рис. 9

Если вблизи заряженного проводника находятся другие проводники, то емкость его будет увеличиваться, так как электрическое поле вызывает появление на других проводниках индуцированных зарядов. Например, если заряд проводника положительный, то отрицательные индуцированные заряды на других телах располагаются ближе к проводнику, что приведет к уменьшению потенциала данного проводника, а емкость увеличится. Систему двух разноименно заряженных плоскостей (обкладок) называют плоским конденсатором (рис.9).

Их заряды равны по абсолютной величине (½ +q½ =½ -q½ = q).

Если расстояние между обкладками много меньше их размеров, то электрическое поле является практически однородным и сосредоточено между обкладками. Вне конденсатора поле практически равно нулю.

Основной характеристикой конденсатора является электрическая емкость , (8)

где Dj - разность потенциалов между его обкладками.

Напряженность электрического поля между его обкладками

, (9)

где q = sS; где s - поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора; S - площадь его обкладок.

Используя связь напряженности с разностью потенциалов, в виде Dj = Еd. После подстановки q, E и Dj получим

. (10)

Если пространство между обкладками конденсатора заполнено диэлектриком с проницаемостью e, то . (11)

Рис. 10

Анализ формулы (11) показывает, что емкость плоского конденсатора зависит только от размеров обкладок, расстояния между ними и диэлектрической проницаемости e вещества между обкладками. Кроме плоского конденсатора, на практике используют сферический и цилиндрический конденсаторы. Найдем емкость сферического конденсатора, который представляет собой систему двух концентрических сфер с общим центром. Пусть радиусы внешней и внутренней сфер (обкладок) соответственно равны R₂ и R₁ (рис. 10). Если внутренняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а внешняя - отрицательно, то электрическое поле создается вне сферы. Поэтому результирующее поле вне конденсатора равно нулю. В пространстве между обкладками поле создается только зарядом внутренней обкладки.

Применяя теорему Гаусса, найдем напряженность поля между сферическими обкладками конденсатора по формуле

, где q - заряд конденсатора.

Используя последнее выражение где = dr, найдем разность потенциалов между обкладками сферического конденсатора:

Рис. 11

Cледовательно, емкость сферического конденсатора, с учетом того, что пространство между обкладками заполнено диэлектрической средой с проницаемостью e: . (12)

Найдем емкость цилиндрического конденсатора, представляющего собой систему двух цилиндров, вставленных один в другой с общей осью.

Проводя аналогичные рассуждения, как и в случае со сферическим конденсатором, получим

, (13)

где h - высота образующей цилиндрического конденсатора; e - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками цилиндрического конденсатора; e_о - электрическая постоянная; R₂и R₁ - радиусы основания внешней и внутренней его цилиндрических обкладок (рис. 11).

Емкостные коэффициенты

Решения задачи о нахождении электрических полей в системе N статических заряженных проводников упрощаются, если воспользоваться следующим свойством: заряды проводников являются линейными, однородными функциями их потенциалов, а потенциалы - линейными, однородными функциями зарядов.

Коэффициенты этих линейных зависимостей называют емкостными коэффициентами, которые определяются размерами, формой и взаимным расположением проводников. Если пространство между проводниками заполнено однородным диэлектриком, в котором нет свободных зарядов, то емкостные коэффициенты прямо пропорциональны его диэлектрической проницаемости. Согласно линейности и однородности уравнений электростатики (например, уравнение Лапласа) аналитически это свойство записывается в виде

, (14)

где q_i - заряд i-го проводника; j_j - потенциал j-го проводника; С_ij - емкостные коэффициенты ( индексы i, j = 1, 2, ..., N).

В свою очередь, емкостные коэффициенты характеризуются следующими свойствами: 1) С_ij = С_ji; 2) С_ii > 0 для всех i. Действительно, емкостные коэффициенты С_ij с одинаковыми индексами (I = j) положительны. Заземлим все проводники, кроме i -го и j - го, тогда q_i = C_iij_i. Но величины q_i и j_i имеют одинаковые знаки.

Следовательно, С_ii > 0. 3) С_ij < 0, если I ¹ j, т. е. емкостные коэффициенты с различными индексами - отрицательны. Действительно, заземлим все проводники, кроме i -го и j- го. Сообщим i -му проводнику положительный заряд (q_i> 0), а j-й - останется не заряженным (q_j=0), а потенциалы j_i и j_j будут положительными. Причем q_j = С_jij_I + C_jjj_j = 0, что возможно, если С_ji < 0. Во всех случаях потенциал поля в бесконечности равен нулю. Если число проводников (обкладок конденсатора) равно двум, то

q₁ = C₁₁j₁ + C₁₂ j₂,

q₂ = C₂₁j₁ + C₂₂ j₂, (15)

где ½ +q½ =½ -q½ = q.

Решая уравнения (14) относительно j₁ и j₂, находим разность потенциалов и емкость конденсатора: . (16)

Энергия электрического поля

Для нахождения энергии мы использовали только заряды и потенциалы. Основной характеристикой электрического поля является вектор напряженности . Тогда энергию электрического поля между обкладками плоского конденсатора можно найти, преобразуя формулу (23) с учетом того, что Dj = Еd; .

После подстановки получим

. (26)

С учетом диэлектрика между обкладками конденсатора

. (27)

Известно, что электрическое поле является частным случаем электромагнитного поля, которое может существовать отдельно от источников поля, т.е. распространение электромагнитных волн в пространстве связано с переносом энергии.

Следовательно, электростатическое поле имеет энергию, распределенную в нем с объемной плотностью w_эл.

В случае однородного электрического поля

Если электрическое поле неоднородно, то

, (28)

где .

В этом случае объемная плотность энергии электрического поля

. (29)

Следовательно, полная энергия электрического поля

. (30)

Таким образом, в отличие от гравитационного поля электростатическое (электромагнитное) поле характеризуется объемной плотностью энергии, и можно говорить о локализации электрической энергии в пространстве.