Соединение конденсаторов в батарею

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Для изменения емкости конденсаторов их соединяют в батарею. Различают последовательное, параллельное и смешанное соединения.

Последовательное соединение конденсаторов

Рис. 12

Все внутренние обкладки при последовательном соединении электризуются через влияние. Их заряды равны

по величине, но противоположны по знаку (½ +q½ =½ -q½ = q; рис. 12).

Следовательно, заряды на всех конденсаторах при последовательном их соединении равны, а потенциалы складываются,

т. е.

Dj = j₁- j₂ = Dj₁+ Dj₂+... + Dj_n,

Но ,

где .

Следовательно, . (17)

Параллельное соединение конденсаторов

Рис. 13

При параллельном соединении все конденсаторы имеют постоянную разность потенциалов

j₁- j₂ = сonst. Полный заряд батареи конденсаторов (рис. 1.31): q = q₁ + q₂ +...+ q_n

По определению емкость батареи конденсаторов ,

где .

Следовательно,

С = С₁ + С₂ +... + С_n. (18)

Энергия электрического поля

Энергия взаимодействия электрических зарядов

Известно, что dW₁₂ = - dA₁₂. Для системы из трех зарядов

dW = - d(W₁₂ + W₁₃ + W₂₃)= - dA,

т. е.

W = W₁₂ + W₁₃ + W₂₃. (19)

Это положение остается справедливым и для произвольной системы точечных зарядов. Для нахождения энергии взаимодействия системы N точечных зарядов формулу (19) представим в виде

, где W_ij = W_ji.

Следовательно, ,

где W_i - энергия взаимодействия i-го заряда с остальными зарядами.

Известно, что W_i = q_i j_i, где q_i - i-й заряд системы; j_i - результирующий потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами системы вместе нахождения заряда q_i_. Таким образом,

. (20)

Полная энергия системы зарядов

Если заряды распределены по объему с объемной плотностью заряда r, то систему зарядов можно представить как совокупность элементарных зарядов dq = rdV, т. е. dW = j dq = j rdV.

С учетом этого формула (20) после интегрирования принимает вид

, (21)

где j - потенциал, созданный всеми зарядами в элементарном объеме dV.

Если заряды распределены с поверхностной плотностью заряда s, то

. (22)

Формулы (21) и (22) позволяют найти полную энергию системы, а формула (20) - только собственную энергию заряда. Действительно, согласно (21), W = W₁ + W₂ + W₁₂, где W₁, W₂ - собственные энергии заряда q₁и q₂; W₁₂ - энергия взаимодействия этих зарядов.

Энергия системы заряженных проводников

Используя формулу (21) найдем энергию изолированного (уединенного) проводника. Если проводник имеет заряд q и потенциал j = сonst во всех точках, где распределен заряд, то

. (23)

Так как для плоского конденсатора (два заряженных проводника)

q = C Dj,

то

, (24)

где ½ +q½ =½ -q½ = q; Dj - разность потенциалов между положительно и отрицательно заряженными обкладками конденсатора; W - полная энергия взаимодействия не только зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергия взаимодействия зарядов внутри каждой из обкладок.

Формула (24) остается справедливой и при наличии диэлектрика между обкладками конденсатора.

Если использовать емкостные коэффициенты, то

. (25)

Энергия электрического поля

Для нахождения энергии мы использовали только заряды и потенциалы. Основной характеристикой электрического поля является вектор напряженности . Тогда энергию электрического поля между обкладками плоского конденсатора можно найти, преобразуя формулу (23) с учетом того, что Dj = Еd; .

После подстановки получим

. (26)

С учетом диэлектрика между обкладками конденсатора

. (27)

Известно, что электрическое поле является частным случаем электромагнитного поля, которое может существовать отдельно от источников поля, т.е. распространение электромагнитных волн в пространстве связано с переносом энергии.

Следовательно, электростатическое поле имеет энергию, распределенную в нем с объемной плотностью w_эл.

В случае однородного электрического поля

Если электрическое поле неоднородно, то

, (28)

где .

В этом случае объемная плотность энергии электрического поля

. (29)

Следовательно, полная энергия электрического поля

. (30)

Таким образом, в отличие от гравитационного поля электростатическое (электромагнитное) поле характеризуется объемной плотностью энергии, и можно говорить о локализации электрической энергии в пространстве.

⇐ Предыдущая 1 2 34