Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового МНК




Как было отмечено в предыдущем разделе, наличие корреляционных связей между ошибками различных эконометрических моделей, входящих во взаимозависимую систему, ведет к потере свойства эффективности оценок их коэффициентов. В такой ситуации теория рекомендует для получения этих оценок вместо двухшагового использовать трехшаговый МНК, который включает в себя дополнительный этап, связанный с применением обобщенного МНК при известной ковариационной матрице ошибок различных моделей. В результате трехшаговый МНК применяется как метод оценивания коэффициентов структурной формы всей системы моделей, а не отдельных ее уравнений.

Дадим достаточно схематичное изложение трехшагового МНК в общем виде.

Представим i-е структурное уравнение системы в виде, аналогичном (8.50), i=1,2,..., т:

 

уi=Yi×ai+Xi×bi +ei=Zi×di+ei, (8.70)

 

где, как и в разделе 8.4, Zi=[YiXi] – матрица, сформированная на основе исходных значений эндогенных и экзогенных переменных i-й модели; di=[aibi]¢– вектор параметров i-й модели; ei – вектор ошибки i-й модели.

Умножим левую и правую части выражения (8.70) слева на транспонированную матрицу значений всех экзогенных переменных X¢. В результате получим модель следующего вида:

 

X¢×уi = X¢×Zi×di+X¢×ei . (8.71)

 

В выражении (8.71) вектор X¢×уi рассматривается как вектор значений новой зависимой переменной, матрица X¢×Zi – как матрица значений новых независимых факторов, а вектор X¢×ei – как вектор значений новой ошибки. При этом ковариационная матрица этой ошибки определяется согласно следующему выражению:

 

Cov(xi )= M[xi ,xi¢]=M[X¢×e i×e i¢×X]=sii2 ×X¢×X, (8.72)

 

где sii2 – постоянная дисперсия ошибки i-го уравнения системы.

Поскольку sii2×X¢×X¹sii2×Е, т. е. ковариационная матрица ошибки имеет вид отличный от единичной матрицы, умноженной на постоянную дисперсию, то для получения эффективных оценок коэффициентов модели (8.71) необходимо использовать обобщенный МНК. Оценка di вектора коэффициентов di в этом случае определяется согласно следующему выражению:

 

di =[Zi¢×X×( X¢×X) –1X¢×Zi]–1× Zi¢×X×(X¢×X)–1X¢×yi . (8.73)

 

Заметим, что с учетом представления матрицы Zi в виде [YiXi] и выражения (8.54) формула (8.73) тождественна выражению (8.58).

Применим преобразование (8.71) ко всей системе взаимозависимых уравнений, представленной в форме записи, аналогичной выражению (8.25). В результате получим следующую систему:

 

X¢× y1 X¢× Z1 0 d1 X¢×e1

X¢× y2 = X¢× Z2 × d2 + X¢×e2 . (8.74)

… . . . . . . . . . . . . . . . . . … …

X¢× ym0 X¢× Z m d m X¢×e2

 

 

Ковариационная матрица вектора ошибки системы (8.74) будет иметь следующий вид:

 
 


s11 ×X¢×X s12 ×X¢×X ... s1m ×X¢×X

Cov(x)= s21 ×X¢×X s22 ×X¢×X ... s2m ×X¢×X (8.75)

......................................................

sm1 ×X¢×X sm 2 ×X¢×X ... smm ×X¢×X ,

 

 

где символом sij обозначена ковариация ошибок i-го и j-го уравнений системы. Иными словами,

 

sij = Cov(xi ,x j )= M[xi¢ ×xj ] =

 

Если из значений sij сформировать матрицу S размера т´т, то выражение (8.75) можно представить как кронеккерово произведение матриц S и X¢×X.

Cov(xi )= S Ä X¢×X = W, (8.77)

 

где Ä – символ кронеккерова произведения.

Согласно свойству кронеккерова произведения,

W–1= S–1 Ä(X¢×X)–1. (8.78)

 

С учетом (8.78) оценку вектора коэффициентов всей системы взаимозависимых эконометрических моделей получим с использованием обобщенного МНК в следующем виде:

       
 
   
 


d1 Z1¢×X 0 X¢×Z1 0 –1 Z1¢×X 0 X¢×y1

d= … = … × W–1× … … ×W –1 × … .

dm 0 Zm¢×X 0 X¢×Zm 0 Zm¢×X X¢×ym

(8.79)

 

Таким образом, рассмотренная процедура оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей состоит из трех последовательных этапов, определяющих содержание трехшагового МНК.

Этап 1.

На этом этапе с использованием обычного МНК на основании приведенной формы определяются расчетные значения переменных , рассматриваемых в качестве независимых эндогенных переменных в каждом из уравнений системы, j=1,2,..., m; j¹i, где i – индекс уравнения системы.

Этап 2.

Как и в двухшаговом МНК, на этом этапе с использованием значений определяются оценки коэффициентов структурной формы каждого из уравнений системы. Для этой цели используется выражение (8.73). Кроме того, на этом шаге определяются вектора ошибок каждого из уравнений системы иi=(иi1,..., и)¢, с использованием которых рассчитываются на основании формулы (8.76) оценки дисперсии каждого из уравнений sii2 и их взаимные ковариации sij и в соответствии с выражением (8.75) формируется ковариационная матрица W.

Этап 3.

С помощью обобщенного МНК (выражение (8.79)) определяются “окончательные” оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей, которые теоретически при наличии корреляции между ошибками различных уравнений являются “более эффективными” по сравнению с аналогичными оценками двухшагового МНК.

Если ошибки уравнений системы не коррелируют между собой, т. е. sij=0, i¹j, то трехшаговый МНК не имеет преимуществ перед двухшаговым. При применении трехшагового МНК необходимо соблюдать некоторые дополнительные правила, что делает его процедуру менее универсальной по сравнению с двухшаговой. Они состоят в следующем:

1. Процедура выполняется только для идентифицируемых и сверхидентифицируемых уравнений системы. Тождества и неидентифицируемые уравнения в ней не участвуют.

2. Процедуру желательно выполнять для групп идентифицируемых и неидентифицируемых уравнений раздельно. При этом, если в соответствующую группу входит только одно сверхидентифицируемое уравнение, то трехшаговая процедура для него превращается в двухшаговую.

Наряду с рассмотренными в данном разделе методами существуют и некоторые другие, позволяющие получить «приемлемые по качеству» оценки коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей. Так, например, эти оценки для отдельных моделей можно найти с помощью метода наименьшего дисперсионного отношения, в свою очередь, базирующегося на методе максимального правдоподобия с ограниченной информацией, использующего, кроме обычных предположений о нормальности распределения и независимости ошибок структурного уравнения, также дополнительное предположение о ранге матрицы значений независимых переменных приведенной формы. Оценить коэффициенты структурной формы всей системы эконометрических моделей можно и на основе метода максимального правдоподобия с полной информацией.

Однако перечисленные методы гораздо более трудоемки по сравнению с двухшаговым и трехшаговым МНК , и, что самое главное, они не дают никаких преимуществ перед последними с точки зрения качества полученных оценок. Вследствие этого, в большинстве эконометрических исследований, проводимых на основе систем взаимозависимых уравнений, для оценки их коэффициентов рекомендуется использовать именно двухшаговый и трехшаговый МНК.

Вопросы к главе VIII

1. Перечислите основные предпосылки систем взаимозависимых переменных.

2. Чем обусловлена смещенность оценок коэффициентов уравнений, полученных с использованием МНК?

3. Что представляют собой структурная и приведенная формы модели?

4. Как проводится оценивание коэффициентов с использованием ограничений на структурные параметры?

5. Что представляют собой порядковое и ранговое условия идентифицируемости уравнений структурной формы?

6. Что представляют собой рекурсивные системы моделей?

7. В чем состоит суть двухшагового и трехшагового МНК, используемых для оценки коэффициентов системы взаимозависимых уравнений?

 

Упражнения к главе VIII

Задание 8.1

Имеется следующая модель:

 

 

где pt – логарифм цены; wt – логарифм почасовой оплаты, lt – логарифм себестоимости; qt – логарифм объема производства и bt – логарифм количества рабочих часов в неделю в период t.

Требуется:

1. Представить модель в матричной форме записи.

2. Определить ранговые условия идентифицируемости уравнений для pt и wt.

 

Задание 8.2

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

где Сt – потребление; It – инвестиции, Gt – государственные расходы; Yt – валовой национальный продукт в период t.

Требуется:

1. Определить типы уравнений и типы переменных, входящих в модель (8.4)–(8.6).

2. Представить структурные уравнения в матричной форме.

3. Построить соответствующую прогнозную форму.

4. Определить метод оценки параметров прогнозной формы.

5. Проверить идентифицируемость уравнений структурной формы модели.

Задание 8.3.

Имеется следующая система взаимозависимых уравнений:

Требуется:

1. Проверить идентифицируемость уравнений системы.

2. Выяснить идентифицируемость, если на параметры наложены следующие ограничения:

а) b11=0;

б) g21=0.

Задание 8.4

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

Требуется описать процедуру оценивания уравнений по двухшаговому МНК.

 

Задание 8.5

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

Требуется:

1. Написать модель в матричном виде и найти соответствующую прогнозную форму.

2. Определить число ограничений, наложенных на коэффициенты прогнозной формы.

3. Показать, что при заданных значениях коэффициентов прогнозной формы можно однозначно определить коэффициенты структурной формы.





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 145; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2019 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.022 с.) Главная | Обратная связь