Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового МНК

Как было отмечено в предыдущем разделе, наличие корреляционных связей между ошибками различных эконометрических моделей, входящих во взаимозависимую систему, ведет к потере свойства эффективности оценок их коэффициентов. В такой ситуации теория рекомендует для получения этих оценок вместо двухшагового использовать трехшаговый МНК, который включает в себя дополнительный этап, связанный с применением обобщенного МНК при известной ковариационной матрице ошибок различных моделей. В результате трехшаговый МНК применяется как метод оценивания коэффициентов структурной формы всей системы моделей, а не отдельных ее уравнений.

Дадим достаточно схематичное изложение трехшагового МНК в общем виде.

Представим i-е структурное уравнение системы в виде, аналогичном (8.50), i=1, 2,..., т:

 

у _i= Y _i× a _i+ X _i× b _i + e _i= Z _i× d _i+ e _i, (8.70)

 

где, как и в разделе 8.4, Z _i=[ Y _i X _i] – матрица, сформированная на основе исходных значений эндогенных и экзогенных переменных i-й модели; d _i=[ a _i b _i]¢ – вектор параметров i-й модели; e _i – вектор ошибки i-й модели.

Умножим левую и правую части выражения (8.70) слева на транспонированную матрицу значений всех экзогенных переменных X ¢. В результате получим модель следующего вида:

 

X ¢ × у _i = X ¢ × Z _i× d _i+ X ¢ × e _i . (8.71)

 

В выражении (8.71) вектор X ¢ × у _i рассматривается как вектор значений новой зависимой переменной, матрица X ¢ × Z _i – как матрица значений новых независимых факторов, а вектор X ¢ × e _i – как вектор значений новой ошибки. При этом ковариационная матрица этой ошибки определяется согласно следующему выражению:

 

Cov ( x _i )= M[ x _i, x _i¢ ]=M[ X ¢ × e _i× e _i¢ × X ]=s_ii² × X ¢ × X, (8.72)

 

где s_ii² – постоянная дисперсия ошибки i-го уравнения системы.

Поскольку s_ii²× X ¢ × X ¹ s_ii²× Е, т. е. ковариационная матрица ошибки имеет вид отличный от единичной матрицы, умноженной на постоянную дисперсию, то для получения эффективных оценок коэффициентов модели (8.71) необходимо использовать обобщенный МНК. Оценка d _i вектора коэффициентов d _i в этом случае определяется согласно следующему выражению:

 

d _i =[ Z _i¢ × X × ( X ¢ × X ) ^–1 X ¢ × Z _i]^–1× Z _i¢ × X × ( X ¢ × X )^–1 X ¢ × y _i . (8.73)

 

Заметим, что с учетом представления матрицы Z _i в виде [ Y _i X _i] и выражения (8.54) формула (8.73) тождественна выражению (8.58).

Применим преобразование (8.71) ко всей системе взаимозависимых уравнений, представленной в форме записи, аналогичной выражению (8.25). В результате получим следующую систему:

 

X ¢ × y ₁ X ¢ × Z ₁ 0 d ₁ X ¢ × e ₁

X ¢ × y ₂ = X ¢ × Z _{2 ×} d ₂ + X ¢ × e ₂ . (8.74)

…................. … …

X ¢ × y _m0 X ¢ × Z _m d _m X ¢ × e ₂

 

 

Ковариационная матрица вектора ошибки системы (8.74) будет иметь следующий вид:

s₁₁ × X ¢ × X s₁₂ × X ¢ × X . .. s_1m × X ¢ × X

Cov ( x ) = s₂₁ × X ¢ × X s₂₂ × X ¢ × X . .. s_2m × X ¢ × X (8.75)

......................................................

s_m1 × X ¢ × X s_{m 2} × X ¢ × X . .. s_mm × X ¢ × X ,

 

 

где символом s_ij обозначена ковариация ошибок i-го и j-го уравнений системы. Иными словами,

 

s_ij = Cov ( x _i, x _j )= M[ x _i¢ × x _j ] =

 

Если из значений s_ij сформировать матрицу S размера т´ т, то выражение (8.75) можно представить как кронеккерово произведение матриц S и X ¢ × X.

Cov ( x _i )= S Ä X ¢ × X = W, (8.77)

 

где Ä – символ кронеккерова произведения.

Согласно свойству кронеккерова произведения,

W ^–1= S ^–1 Ä ( X ¢ × X )^–1. (8.78)

 

С учетом (8.78) оценку вектора коэффициентов всей системы взаимозависимых эконометрических моделей получим с использованием обобщенного МНК в следующем виде:

d ₁ Z ₁¢ × X 0 X ¢ × Z ₁ 0 ^–1 Z ₁¢ × X 0 X ¢ × y ₁

d = … = … × W ^–1× … … × W ^–1 × ….

d _m 0 Z _m¢ × X 0 X ¢ × Z _m 0 Z _m¢ × X X ¢ × y _m

(8.79)

 

Таким образом, рассмотренная процедура оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей состоит из трех последовательных этапов, определяющих содержание трехшагового МНК.

Этап 1.

На этом этапе с использованием обычного МНК на основании приведенной формы определяются расчетные значения переменных , рассматриваемых в качестве независимых эндогенных переменных в каждом из уравнений системы, j=1, 2,..., m; j¹ i, где i – индекс уравнения системы.

Этап 2.

Как и в двухшаговом МНК, на этом этапе с использованием значений определяются оценки коэффициентов структурной формы каждого из уравнений системы. Для этой цели используется выражение (8.73). Кроме того, на этом шаге определяются вектора ошибок каждого из уравнений системы и _i=(и_i1,..., и_iТ)¢, с использованием которых рассчитываются на основании формулы (8.76) оценки дисперсии каждого из уравнений s_ii² и их взаимные ковариации s_ij и в соответствии с выражением (8.75) формируется ковариационная матрица W.

Этап 3.

С помощью обобщенного МНК (выражение (8.79)) определяются “окончательные” оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей, которые теоретически при наличии корреляции между ошибками различных уравнений являются “более эффективными” по сравнению с аналогичными оценками двухшагового МНК.

Если ошибки уравнений системы не коррелируют между собой, т. е. s_ij=0, i¹ j, то трехшаговый МНК не имеет преимуществ перед двухшаговым. При применении трехшагового МНК необходимо соблюдать некоторые дополнительные правила, что делает его процедуру менее универсальной по сравнению с двухшаговой. Они состоят в следующем:

1. Процедура выполняется только для идентифицируемых и сверхидентифицируемых уравнений системы. Тождества и неидентифицируемые уравнения в ней не участвуют.

2. Процедуру желательно выполнять для групп идентифицируемых и неидентифицируемых уравнений раздельно. При этом, если в соответствующую группу входит только одно сверхидентифицируемое уравнение, то трехшаговая процедура для него превращается в двухшаговую.

Наряду с рассмотренными в данном разделе методами существуют и некоторые другие, позволяющие получить «приемлемые по качеству» оценки коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей. Так, например, эти оценки для отдельных моделей можно найти с помощью метода наименьшего дисперсионного отношения, в свою очередь, базирующегося на методе максимального правдоподобия с ограниченной информацией, использующего, кроме обычных предположений о нормальности распределения и независимости ошибок структурного уравнения, также дополнительное предположение о ранге матрицы значений независимых переменных приведенной формы. Оценить коэффициенты структурной формы всей системы эконометрических моделей можно и на основе метода максимального правдоподобия с полной информацией.

Однако перечисленные методы гораздо более трудоемки по сравнению с двухшаговым и трехшаговым МНК, и, что самое главное, они не дают никаких преимуществ перед последними с точки зрения качества полученных оценок. Вследствие этого, в большинстве эконометрических исследований, проводимых на основе систем взаимозависимых уравнений, для оценки их коэффициентов рекомендуется использовать именно двухшаговый и трехшаговый МНК.

Вопросы к главе VIII

1. Перечислите основные предпосылки систем взаимозависимых переменных.

2. Чем обусловлена смещенность оценок коэффициентов уравнений, полученных с использованием МНК?

3. Что представляют собой структурная и приведенная формы модели?

4. Как проводится оценивание коэффициентов с использованием ограничений на структурные параметры?

5. Что представляют собой порядковое и ранговое условия идентифицируемости уравнений структурной формы?

6. Что представляют собой рекурсивные системы моделей?

7. В чем состоит суть двухшагового и трехшагового МНК, используемых для оценки коэффициентов системы взаимозависимых уравнений?

 

Упражнения к главе VIII

Задание 8.1

Имеется следующая модель:

 

 

где p_t – логарифм цены; w_t – логарифм почасовой оплаты, l_t – логарифм себестоимости; q_t – логарифм объема производства и b_t – логарифм количества рабочих часов в неделю в период t.

Требуется:

1. Представить модель в матричной форме записи.

2. Определить ранговые условия идентифицируемости уравнений для p_t и w_t.

 

Задание 8.2

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

где С_t – потребление; I_t – инвестиции, G_t – государственные расходы; Y_t – валовой национальный продукт в период t.

Требуется:

1. Определить типы уравнений и типы переменных, входящих в модель (8.4)–(8.6).

2. Представить структурные уравнения в матричной форме.

3. Построить соответствующую прогнозную форму.

4. Определить метод оценки параметров прогнозной формы.

5. Проверить идентифицируемость уравнений структурной формы модели.

Задание 8.3.

Имеется следующая система взаимозависимых уравнений:

Требуется:

1. Проверить идентифицируемость уравнений системы.

2. Выяснить идентифицируемость, если на параметры наложены следующие ограничения:

а) b₁₁=0;

б) g₂₁=0.

Задание 8.4

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

Требуется описать процедуру оценивания уравнений по двухшаговому МНК.

 

Задание 8.5

Имеется следующая макроэкономическая модель:

 

 

Требуется:

1. Написать модель в матричном виде и найти соответствующую прогнозную форму.

2. Определить число ограничений, наложенных на коэффициенты прогнозной формы.

3. Показать, что при заданных значениях коэффициентов прогнозной формы можно однозначно определить коэффициенты структурной формы.

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. D.3. Системы эконометрических уравнений
2. I.Расчет подающих трубопроводов системы горячего водоснабжения при отсутствии циркуляции.
3. III. Системы теплоснабжения и отопления
4. IV. Движение поездов при неисправности электрожезловой системы и порядок регулировки количества жезлов в жезловых аппаратах
5. V1: 2. Основные этапы становления и развития финансовой системы России
6. V2: 2.1 Становление и развитие финансовой системы России до сер. ХIХ в
7. V3: Метод наименьших квадратов (МНК)
8. VII. Системы программирования
9. А. Терминология и терминологические системы родства
10. Абсолютная чувствительность сенсорной системы
11. Автоматизированные диагностические системы
12. Автоматизированные информационные поисковые системы.