Оценка параметров распределений функциональных зависимостей случайных величин

Предположим, что между переменными у и х₁, х₂,..., x_n существует функциональная связь

 

y=f( x ), (7.190)

 

где вектор x =(х₁, х₂,..., x_n) является случайным с известным (нормальным) законом распределения x ~N(M[ x ], Cov [ x ]), и параметры M[ x ]= и Cov [ x ] (ковариационная матрица компонент вектора х ) определены на основании временных рядов х_it, i=1, 2,..., n; t=1, 2,... T.

Очевидно, что в этом случае переменная у также является случайной величиной. Ее закон распределения является асимптотически нормальным, а его параметры могут быть определены на основании разложения функции f( x ) в ряд Тейлора в окрестности точки M[ x ]. Ограничиваясь первым порядком разложения Тейлора, получим:

 

 

где – значение функции f( x ) в точке и – значение производной в этой точке.

В силу того, что , получим:

 

 

Дисперсию переменной у определим следующим образом:

 

 

Из выражения (7.193) вытекает, что в точке дисперсия переменной у может быть определена в предположении о независимости производных и приростов на основании следующего выражения:

 

 

где – математическое ожидание производной в точке ; Cov ( )– ковариационная матрица компонент вектора .

В том случае, когда компоненты вектора независимы между собой, выражение (7.194) приобретает следующий вид:

 

 

Используем выражения (7.194) и (7.195) для оценок параметров распределений некоторых комплексных (сложных) переменных, рассмотренных в разделе 7.3.

Дисперсия случайной величины SR, представляющая собой отношение (выражение (7.31)) на основании выражения (7.195) оценивается следующим образом:

 

 

где определена выражением (7.185), fº SR.

Поскольку

 

то, подставляя правые части выражений (7.185) и (7.197) в выражение (7.196), получим:

 

 

Выражение (7.198) в точности соответствует выражению (7.45).

На основании выражения (7.194) определим также параметры отношения двух дисперсий s₁² и s₂², которое представляет собой отношение VR(2)=s₂²/s₁² (см. выражения (7.56)–(7.58)).

Из выражений (7.56), (7.57) и (7.192) непосредственно следует, что

 

Дисперсию этого отношения найдем как дисперсию функции

 

 

Такое преобразование целесообразно, поскольку случайные величины, стоящие в числители выражения (7.200) и его знаменателе, являются независимыми между собой. Это следует из того факта, что эффективная оценка q₁ параметра q асимптотически некоррелирована с разностью q₂–q₁, где q₂ – другая оценка этого параметра. Этот результат вытекает из следующего рассуждения. Если условие независимости q₁ и разности q₂–q₁ не выполняется, то можно найти линейную комбинацию оценок q₁ и q₂–q₁, которая будет более эффективной оценкой параметра q по сравнению с q₁, что противоречит исходной информации об эффективности оценки q₁.

В нашем случае s₁² является эффективной оценкой дисперсии s_y². Тогда для нее можно записать при Т®¥ следующее равенство:

 

 

Откуда непосредственно следует, что

 

 

Подставляя в выражение (7.201) оценки D(s₁²) и D(s₂²) (см. выражения (7.189), (7.57) и (7.58)), получим:

 

 

Далее, дисперсию функции f(y), определенную выражением (7.200) с учетом независимости его числителя и знаменателя согласно формуле (7.195) представим в следующем виде:

 

 

С учетом того, что а в силу равенства нулю математического ожидания числителя выражения (7.200), и, принимая во внимание результат (7.202), получим

 

 

Этот результат совпадает с утверждением (7.61).

Вопросы к главе VII

1. Назовите объекты изучения финансовой эконометрики.

2. Что собой представляют первичный и вторичный финансовые рынки?

3. Каковы особенности сбора, обработки и анализа исходной информации?

4. Назовите источники исходной информации.

5. Назовите причины, вызывающие необходимость преобразования финансовых показателей.

6. Каким образом проводится преобразование финансовых показателей?

7. Назовите законы распределения финансовых показателей.

8. Охарактеризуйте гипотезы финансовой эконометрики (гипотезы случайного блуждания: ГСБ-1, ГСБ-2, ГСБ-3.

9. Каким образом проводится тестирование гипотез финансовой эконометрики?

10. Что собой представляет Броуновское движение?

11. Охарактеризуйте методы оценки параметров Броуновского движения.

12. Что такое “арифметическое” и “геометрическое” Броуновское движение?

13. Что собой представляет стохастический дифференциал?

14. Дайте характеристику ИТО-процесса и его основных свойств?

15. Каким образом проводится тестирование процессов с изменяющейся вариацией?

16. Перечислите типы моделей с изменяющейся вариацией и способы ее формализованного представления.

17. Методы оценки параметров моделей с изменяющейся вариацией.

18. Что собой представляют модели с нелинейными математическим ожиданием и дисперсией?

19. Как проводится тестирование нелинейных финансовых процессов?

Упражнения к главе VII

Задание 7.1

В табл. 7.1 представлена информация о курсе акций Ростелекома за период со 2 июня по 19 октября 1999 г.

Таблица 7.1

№	Y(t)	№	Y(t)	№	Y(t)	№	Y(t)	№	Y(t)
	82, 90		83, 20		75, 90		57, 50		69, 00
	82, 90		79, 70		75, 90		62, 20		68, 45
	87, 45		79, 70		78, 98		63, 81		67, 36
	87, 45		79, 40		79, 80		65, 00		64, 56
	87, 39		71, 50		75, 80		64, 50		64, 56
	93, 25		66, 99		74, 00		64, 50		65, 00
	87, 95		61, 50		74, 00		64, 90		65, 00
	94, 20		61, 50		74, 80		64, 90		64, 33
	94, 20		63, 70		74, 80		66, 24		65, 03
	91, 00		63, 70		76, 30		67, 17		67, 10
	91, 00		67, 15		72, 65		66, 53		67, 17
	94, 78		68, 35		69, 57		70, 75		67, 17
	93, 85		67, 50		68, 70		70, 75		67, 90
	91, 98		70, 10		68, 70		70, 42		67, 90
	90, 49		70, 10		68, 95		70, 42		72, 10
	90, 49		73, 00		68, 95		70, 49		72, 69
	86, 50		73, 00		66, 50		69, 20		72, 69
	86, 50		74, 15		63, 86		69, 00		72, 29
	83, 90		81, 80		59, 20		68.00		72, 29
	92, 55		79, 50		59, 35		68, 00		71, 43
	79, 00		74, 60		59, 35		68, 00		71, 43
	83, 20		74, 60		57, 50		68, 00		70, 81

 

Требуется проверить ГСБ-1 (гипотезу случайного блуждания) с помощью теста Коула-Джонса.

Задание 7.2

В табл. 7.2 представлена информация о курсе акций “Аэрофлота” (в USD) за период с 16 мая по 31 октября 1999 г.

Таблица 7.2

Пе-ри-од	Курс	Пе-ри-од	Курс	Пе-ри-од	Курс	Пе-ри-од	Курс	Пе-ри-од	Курс
	1, 74743		1, 72750		1, 8059		1, 67983		1, 62192
	1, 74743		1, 72750		1, 81322		1, 67365		1, 66921
	1, 74586		1, 71873		1, 78395		1, 68067		1, 65418
	1, 74586		1, 71873		1, 72273		1, 67281		1, 63893
	1, 74586		1, 70875		1, 76221		1, 68959		1, 58376
	1, 73391		1, 70736		1, 82840		1, 78445		1, 57432
	1, 71066		1, 66320		1, 76005		1, 78483		1, 56988
	1, 68767		1, 67393		1, 72860		1, 73256		1, 56157
	1, 68767		1, 67590		1, 69081		1, 64623		1, 54331
	1, 68767		1, 67744		1, 56266		1, 59628		1, 50830
	1, 68643		1, 67865		1, 61779		1, 64257		1, 57977
	1, 66069		1, 68037		1, 64890		1, 62110		1, 58464
	1, 76961		1, 68037		1, 68623		1, 64022		1, 54148
	1, 77793		1, 70231		1, 72028		1, 66683		1, 57437
	1, 78085		1, 70533		1, 66088		1, 61148		1, 64615
	1, 79986		1, 70533		1, 64763		1, 57825		1, 64261
	1, 79986		1, 70764		1, 61718		1, 45163		1, 64593
	1, 79986		1, 74827		1, 62044		1, 43571		1, 62085
	1, 79922		1, 75833		1, 61402		1, 39625		1, 62687
	1, 79922		1, 78198		1, 63402		1, 54607		1, 69528
	1, 79922		1, 81418		1, 66084		1, 56413		1, 70047
	1, 79200		1, 81872		1, 76046		1, 56434		1, 73319
	1, 79200		1, 81883		1, 57818		1, 56734		1, 78416
	1, 77238		1, 82585		1, 59254		1, 61169		1, 85672

 

Требуется:

1. Построить и проверить на адекватность модель ARCH(1).

2. Построить и проверить на адекватность модель ARCH(2).

Задание 7.3

В табл. 7.3 представлена динамика курса акций корпорации “Омега”.

Требуется:

1. Построить модель GARCH (1, 1).

2. Проверить ее адекватность с помощью критерия Люнга-Бокса (LB).

Таблица 7.3

Пе-ри-од

Курс

Пе-риод

Курс

Пе-риод

Курс

Пе-ри-од

Курс

Пе-риод

Курс

Пе-риод

Курс

 

Задание 7.4

В табл. 7.4 представлена динамика «премии за риск» (разницы между доходностью акций корпорации “Гамма” и безрисковой доходностью).

Требуется:

1. Оценить параметры модели Е-GARCH (1, 1) и проверить ее качество.

2. Оценить параметры модели GARCH-М и проверить ее качество.

Таблица 7.4

Пе-риод	Премия, %	Пе-риод	Пре-мия, %	Пе-риод	Пре-мия, %	Пе-риод	Премия, %	Пе-риод	Пре-мия, %
	6, 6		4, 5		6, 4		5, 9		5, 5
	6, 6				6, 2				5, 9
	6, 5		5, 5		6, 2		6, 1		5, 9
	6, 6		5, 1		6, 1		5, 9		5, 7
	6, 7		3, 5		6, 1				5, 7
	6, 5		5, 5		6, 2				5, 8
	6, 4		6, 1				5, 9		5, 8
	6, 4		6, 2				5, 9		5, 7
	3, 5		6, 3		6, 1		5, 7		5, 7
			6, 3		5, 9		5, 5		5, 8

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. AVC достигают макс. величины при этом объеме
2. E) Прямую зависимость величины предложения от цены товара
3. А.Е.М. – весовая характеристика элемента – относительная величина количества энергии, наполняющий элемент, отличающая его от среды нахождения.
4. Анализ и оценка ликвидности и платежеспособности ООО «Торговый дом «Электрокабель»
5. Анализ и оценка системы управления персоналом в ПИК «СибЭкоДом»
6. Анализ и оценка финансовых результатов.
7. Анализ и оценка эффективности использования трудовых ресурсов.
8. Анализ показателей, характ величину доходов от реализации товаров
9. Анализ финансовых результатов и оценка рентабельности
10. Аудит организации бухгалтерского учета. Анализ и оценка учетной политики предприятия.
11. В3: Оценка аудиторского риска
12. Величина кредиторской задолженности