Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


D.3. Системы эконометрических уравнений




Рассмотрим пример. Изучается модель вида

где – расходы на потребление в период , – совокупный доход в период , – инвестиции в период , – процентная ставка в период , – денежная масса в период , – государственные расходы в период , – расходы на потребление в период , инвестиции в период . Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение – функция денежного рынка, четвертое уравнение – тождество дохода.

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – и и две лаговые переменные – и ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение: . Это уравнение содержит две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную . Таким образом, , а , т.е. выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение: . Оно включает две эндогенные переменные и и одну экзогенную переменную . Выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Третье уравнение: . Оно включает две эндогенные переменные и и одну экзогенную переменную . Выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Четвертое уравнение: . Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

 
I уравнение –1
II уравнение –1
III уравнение –1
Тождество –1

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

 

 
II уравнение –1
III уравнение –1
Тождество

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

 
I уравнение –1
III уравнение
Тождество –1

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

 
I уравнение –1
II уравнение –1
Тождество

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:

 

Варианты индивидуальных заданий

Даны системы эконометрических уравнений.

Требуется

1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.

2.Определите метод оценки параметров модели.

3.Запишите в общем виде приведенную форму модели.

Вариант 1

Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

где – доля импорта в ВВП; – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; – число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин; – фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0 – для всех остальных лет; – реальный ВВП; – реальный объем чистого экспорта; – текущий период; – предыдущий период.

Вариант 2

Макроэкономическая модель (упрощенная версия модели Клейна):

где – потребление; – инвестиции; – доход; – налоги; – запас капитала; – текущий период; – предыдущий период.

Вариант 3

Макроэкономическая модель экономики США (одна из версий):

где – потребление; – ВВП; – инвестиции; – процентная ставка; – денежная масса; – государственные расходы; – текущий период; – предыдущий период.

Вариант 4

Модель Кейнса (одна из версий):

где – потребление; – ВВП; – валовые инвестиции; – государственные расходы; – текущий период; – предыдущий период.

Вариант 5

Модель денежного и товарного рынков:

где – процентные ставки; – реальный ВВП; – денежная масса; – внутренние инвестиции; – реальные государственные расходы.

Вариант 6

Модифицированная модель Кейнса:

где – потребление; – доход; – инвестиции; – государственные расходы; – текущий период; – предыдущий период.

Вариант 7

Макроэкономическая модель:

где – расходы на потребление; – чистый национальный продукт; – чистый национальный доход; – инвестиции; – косвенные налоги; – государственные расходы; – текущий период; – предыдущий период.

Вариант 8

Гипотетическая модель экономики:

где – совокупное потребление в период ; – совокупный доход в период ; – инвестиции в период ; – налоги в период ; – государственные доходы в период .

Вариант 9

Модель денежного рынка:

где – процентные ставки; – ВВП; – денежная масса; – внутренние инвестиции.

Вариант 10

Конъюнктурная модель имеет вид:

где – расходы на потребление; – ВВП; – инвестиции; – процентная ставка; – денежная масса; – государственные расходы; – текущий период; – предыдущий период.


D.4. Временные ряды

Рассмотрим пример. Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).

Таблица 4.1

Год Квартал Количество возбужденных дел,
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV

Построим поле корреляции:

Рис. 4.4.

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

Таблица 4.2

-328,33 -288,13 94601,72 107800,59 83018,90
169,67 -292,13 -49565,70 28787,91 85339,94
315,67 205,87 64986,98 99647,55 42382,46
-342,33 351,87 -120455,66 117189,83 123812,50
-228,33 -306,13 69898,66 52134,59 93715,58
292,67 -192,13 -56230,69 85655,73 36913,94
320,67 328,87 105458,74 102829,25 108155,48
-309,33 356,87 -110390,60 95685,05 127356,20
-344,33 -273,13 94046,85 118563,15 74600,00
292,67 -308,13 -90180,41 85655,73 94944,10
205,67 328,87 67638,69 42300,15 108155,48
-238,33 241,87 -57644,88 56801,19 58501,10
-245,33 -202,13 49588,55 60186,81 40856,54
220,67 -209,13 -46148,72 48695,25 43735,36
227,67 256,87 58481,59 51833,63 65982,20
Сумма 9,05 0,05 74085,16 1153766,39 1187469,73
Среднее значение 699,33 663,13

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле

(4.1)

где

 

.

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 4.3

145,57 -269,79 -39273,33 21190,62 72786,64
291,57 -273,79 -79828,95 85013,06 74960,96
-366,43 224,21 -82157,27 134270,94 50270,12
-252,43 370,21 -93452,11 63720,90 137055,44
268,57 -287,79 -77291,76 72129,84 82823,08
296,57 -173,79 -51540,90 87953,76 30202,96
-333,43 347,21 -115770,23 111175,56 120554,78
-368,43 375,21 -138238,62 135740,66 140782,54
268,57 -254,79 -68428,95 72129,84 64917,94
181,57 -289,79 -52617,17 32967,66 83978,24
-262,43 347,21 -91118,32 68869,50 120554,78
-269,43 260,21 -70108,38 72592,52 67709,24
196,57 -183,79 -36127,60 38639,76 33778,76
203,57 -190,79 -38839,12 41440,74 36400,82
Сумма -0,02 -0,06 -1034792,71 1037835,43 1116776,36
Среднее значение 723,43 644,79

Следовательно

.

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4.4

Лаг Коэффициент автокорреляции уровней
0,063294
–0,961183
–0,036290
0,964735
0,050594
–0,976516
–0,069444
0,964629
0,162064
-0,972918
-0,065323
0,985761

Коррелограмма:

Рис. 4.5.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

2. Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 4.1.

Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 4.5).

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 4.5). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 4.5).

Таблица 4.5

№ квартала, Количество правонарушений, Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
657,5
655,25 213,75
665,5 349,5
708,75 693,75 -336,75
709,375 -238,375
718,25 714,125 277,875
689,25 703,75 316,25
689,25 689,25 -299,25
660,5 674,875 -319,875
678,25 669,375 322,625
690,625 214,375
-233
690,5 687,75 -233,75

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 4.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (табл. 4.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 4.6

Показатели Год № квартала,
I II III IV
  213,75 349,5
-336,75 -238,375 277,875 316,25
-299,25 -319,875 322,625 214,375
-233 -233,75
Всего за -й квартал   -869 -792 814,25 880,125
Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,   -289,667 -264 271,417 293,375
Скорректированная сезонная компонента,   -292,448 -266,781 268,636 290,593

Для данной модели имеем:

.

Корректирующий коэффициент: .

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты ( ) и заносим полученные данные в таблицу 4.6.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 4.7). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4.7

-292,448 667,448 672,700 380,252 -5,252 27,584
-266,781 637,781 673,624 406,843 -35,843 1284,721
268,636 600,364 674,547 943,183 -74,183 5503,117
290,593 724,407 675,470 966,063 48,937 2394,830
-292,448 649,448 676,394 383,946 -26,946 726,087
-266,781 737,781 677,317 410,536 60,464 3655,895
268,636 723,364 678,240 946,876 45,124 2036,175
290,593 729,407 679,163 969,756 50,244 2524,460
-292,448 682,448 680,087 387,639 2,361 5,574
-266,781 621,781 681,010 414,229 -59,229 3508,074
268,636 723,364 681,933 950,569 41,431 1716,528
290,593 614,407 682,857 973,450 -68,450 4685,403
-292,448 753,448 683,780 391,332 69,668 4853,630
-266,781 720,781 684,703 417,922 36,078 1301,622
268,636 651,364 685,627 954,263 -34,263 1173,953
290,593 636,407 686,550 977,143 -50,143 2514,320

Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда ( ) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

.

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.7).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 4.7).

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

Рис. 4.6.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

.

Получим

;

.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,

;

.

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.

Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Таблица 4.8

№ квартала, Количество правонарушений, Итого за четыре квартала Скользящая средняя за четыре квартала Центрированная скользящая средняя Оценка сезонной компоненты
657,5
655,25 1,3262
665,5 1,5252
708,75 693,75 0,5146
709,375 0,6640
718,25 714,125 1,3891
689,25 703,75 1,4494
689,25 689,25 0,5658
660,5 674,875 0,5260
678,25 669,375 1,4820
690,625 1,3104
0,6643
690,5 687,75 0,6601

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 4.8). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты (табл. 4.9). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

Таблица 4.9

Показатели Год № квартала,
I II III IV
  1,3262 1,5252
0,5146 0,6640 1,3891 1,4494
0,5658 0,5260 1,4820 1,3104
0,6643 0,6601
Всего за -й квартал   1,7447 1,8501 4,1973 4,2850
Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,   0,5816 0,6167 1,3991 1,4283
Скорректированная сезонная компонента,   0,5779 0,6128 1,3901 1,4192

Имеем

.

Определяем корректирующий коэффициент:

.

Скорректированные значения сезонной компоненты получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент .

Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:

.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины (гр. 4 табл. 4.10), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4.10





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 809; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2019 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.065 с.) Главная | Обратная связь