|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Между ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провестиСтр 1 из 3Следующая ⇒
Матвеев Евгений. Руководитель проекта: Очеретина Т.В.
Казань 2004 г. Класс. Глава I. Точки, прямые, отрезки. Через любые две точки Если две прямые имеют общую можно провести прямую, точку, то они пересекаются. и притом только одну. Прямая а и точки А и В. Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек. Угол.
Угол – это геометрическая фигура, Угол называется развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей, если обе его стороны исходящих из этой точки. лежат на одной прямой. Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развёрнутый угол с вершиной С и сторонами p и q.
Развёрнутый угол = 180º; Неразвёрнутый угол < 180º . Луч, исходящий из вершины угла и Два угла, у которых одна общая делящий его на два равных угла, сторона общая, а две другие называется биссектриса угла. являются продолжениями одна другой, называются смежными. Два угла, называются вертикальными, если стороны одного угла являются Сумма смежных углов = 180º. продолжениями сторон другого. Две пересекающиеся прямые Вертикальные углы равны. называются перпендикулярными, если они образуют 4 прямых угла. Глава I I. Треугольники. Треугольник – геометрическая фигура, РАВС = АВ+ВС+СА. кот-ая состоит из 3 точек, не лежа- щих на 1 прямой, соединённых отрезками. Треугольник с вершинами А, В, С и соответственно равных сторон Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против соответственно равных равных углов лежат равные стороны.
Теорема: Если 2 стороны и угол Теорема: Из точки, не лежа- Между ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провести Соответственно равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом И углу между ними другого только один. Треугольника, то треугольники равны. Отрезок, соединяющий вершину треуг- Отрезок бисс-сы угла треуг-ка, ка с серединой противоположной сто- соединяющий вершину треуг-ка роны, называется медианой треуг-ка. с точкой противоположной сторо- ны, называется бисс-сой треуг-ка. Перпендикуляр, проведённый из верши- ны треуг-ка к прямой, содержащей Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны, противоположную сторону, называ- называется равнобедренным. ется высотой треуг-ка.
ВН - высота треуг-ка АВС. углы при основании равны.
Теорема: В равнобедренном Высота равнобедренного треуг-ка, про- треуг-ке бисс-са, проведённая ведённая к основанию, является медианой к основа-нию, является и бисс-сой. Медианой и высотой. Медиана, проведённая к основанию, явля- ется высотой и бисс-сой. Теорема: Если сторона и 2 Теорема: Если три стороны 1го Прилежащих к ней угла 1го треуг-ка соответственно равны 3ём Треуг-ка соответственно рав- сторонам другого треуг-ка, то такие Ны стороне и 2 прилежащим к треуг-ки равны. Ней углам другого треуг-ка, то Такие треуг-ки равны.
Определение: Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки. Глава I I I. Параллельные прямые. Определение: Две прямые Теорема: Если при пересечении 2 пря- На плоскости параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав- Если они не пересекаются. ны, то прямые параллельны.
Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6. мых секущей соответственные углы рав- Односторонние – 4 и 5, 3 и 6. ны, то прямые параллельны. Соответственные – 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Теорема: Если при пересече- Теорема: Если две параллельные пря- Нии 2 прямых секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест Односторонних углов равна лежащие углы равны. 180º, то прямые параллельны. Теорема: Если две прямые пересечены Теорема: Если две парал- секущей, то сумма односторонних углов лельные прямые пересечены равна 180º. Секущей, то соответствен- Ные углы равны.
Глава IV. Соотношения между сторонами И углами треугольника.
Теорема: Сумма углов Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре- треуг-ка = 180º. уг-ка, не смежных с ним.
В любом треугольнике либо Теорема: В треуг-ке против большей сто- все углы острые, либо два роны лежит больший угол, против большего два угла острые, а третий угла лежит большая сторона. тупой или прямой.
В прямоугольном треуг- ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то больше катета. треуг-к – равнобедренный. Теорема: Каждая сторона Для любых 3 точек А, В, С, не лежащих на треугольника меньше суммы одной прямой, справедливы неравенства: 2 других сторон. АВ< AB+BC, ВС< ВА+АС, АС< АВ+ВС.
Сумма двух острых углов пря- Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий моугольного треуг-ка = 90º. против угла в 30º, равен ½ гипотенузы.
Если катет прямоугольного треуг- Если катеты 1го прямоугольного треуг- ка = ½ гипотенузы, то угол, лежа- ка соответственно = катетам другого щий против этого катета, = 30º. , то такие треуг-ки равны.
Если катет и прилежащий к нему Теорема: Если гипотенуза и острый острый угол 1го прямоугольного угол 1го прямоугольного треуг-ка соот- треуг-ка соответственно равны ветственно равны гипотенузе и остро- катету и прилежащему к нему му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому углу другого, то такие треугольники равны. Теорема: Если гипотенуза и катет 1го прямоугольного треуг-ка соответствен- Теорема: Все точки каж- но равны гипотенузе и катету другого, Глава V. Многоугольники. Сумма углов выпуклого n-угольника В параллелограмме противоположные = (n-2)180º. стороны равны и противоположные углы равны. Диагонали параллелограмма точ- кой пересечения делятся пополам. Если в 4-угольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник – па- раллелограм. Если в 4-угольнике противопо- ложные стороны попарно равны, Если в 4-угольнике диагональю пересе- то этот 4-угольник – параллело- каются и точкой пересечения делятся грамм. пополам, то этот 4-угольник – парал- лелограмм. Трапецией называется 4-угольник, у кот-го 2 стороны параллельны, а Прямоугольником называется парал- 2 другие стороны не параллельны. лелелограмм, у кот-го все углы прямые.
Диагонали прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны, то этот параллелограмм – прямоуголь- Ромбом называется параллело- ник. грамм, у кот-го все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикуляр- ны и делят его углы пополам. Квадкатом называется прямо- угольник, у кот-го все стороны Все углы квадрата равны. равны. Диагонали квадрата равны, взаимно Фигура называется симметричной перпендикулярны, точкой пересечения относительно прямой а, если для делятся пополам и делят углы каждой точки фигуры симметричная квадрата пополам. ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии.
Фигура называется симметричной Точка О называется центром симмет- относительно точки О, если для рии фигуры. каждой точки фигуры симметрич- ная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. ГлаваVI. Площадь. Равные многоугольники имеют S квадрата равна квадрату его стороны. Равные S. Если многоугольник составлен из Теорема: S прямоугольника = про- нескольких многоугольников, то изведению его смежных сторон. Его S = сумме площадей этих многоугольников. Теорема: S параллелограмма = про- изведению его основания на высоту. Теорема: S треугольника = = произведению его основания S прямоугольного треугольника = 1/2 на высоту. произведения его катетов.
Если высоты 2ух 3-угольников Теорема: Если угол 1го 3-угольника равны, то их S относятся равен углу другого 3-угольника, то S как основания. этих 3-угольников относятся как про- Угольник прямоугольный.
Глава VII. Подобные треугольники. Определение: 2 3-угольника Теорема: Отношение S 2ух подоб- называются подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф- Угольники подобны. sin острого угла прямоугольного cos острого угла прямоугольного 3-уголь- 3-угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета противолежащего катета к к гипотенузе. гипотенузе. tg угла = отношению sin к cos tg острого угла прямоугольного этого угла: tg = sin/ cos. 3-угольника – отношение противо- лежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое тождество: Если острый угол 1го прямоугольного sin2α + cos2α =1. 3-угольника = острому углу другого прямо- угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.
Глава VIII. Окружность. Если расстояние от центра окруж- Если расстояние от центра окруж- ности до прямой < радиуса, то пря- ности до прямой = радиуса, то пря- мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной. Если расстояние от центра окруж- Теорема: Касательная к окруж- ности до прямой > радиуса, то пря- ности перпендикулярна к r, прове- мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания. точек. Теорема: Если прямая проходит Отрезки касательных к окружнос- через конец r, лежащий на окруж- ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому ны и составляют равные углы с r, то она является касательной. прямой, проходящей через эту точ- ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью. Угол с вершиной в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром ности — её центральный угол. О < полуокружности или является полуокружностью, то её градусная Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же = 360°. дуга АВ > полуокружности, то её градусная мера считается = Угол, вершина кот-го лежит на = 360°–< АОВ. окружности, а стороны пересе- кают окружность, называется Теорема: Вписанный угол измеряя- вписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается. Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС. Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту угла и не совпадает со сторона- же дугу, равны. ми этого угла, если луч ВО не пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу- окружность, -- прямой. Теорема: Если 2 хорды ок- Теорема: Каждая точка бисс-сы Рединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо- этого отрезка. Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой равноудалённая отконцов отрез- точке. Ность. Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность. Глава IX. Векторы. Физические величины, характери- Определение: Отрезок, для кот- зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи- ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом, Называется вектором. Длина (модуль) – длина АВ. Длина нулевого вектора = 0. Нулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково, либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены. параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо- ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра- влены. Определение: Векторы, называются равными, если От любой точки М можно отложить они сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору ã, и ны равны. притом только один. Теорема: для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства: 1. ă + č = č + ă (переместительный закон); 2. ( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ). Теорема: Для любых векто- Произведение любого вектора на число ров ă и č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор. ă – č = ă + ( - č ). Для любого числа k и любого векто- ( kl )ă =k( lă ) (сочетательный закон); ра ă векторы ă и kă коллинеарны. ( k+ l )ă =kă +lă (1ый рспред-ный закон); k(ă +č )=kă +kč. Теорема: Средняя линия тра- Класс. Глава X. Метод координат. Лемма: Если векторы ă и č Теорема: Любой вектор можно раз- коллинеарны и ă =0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар- твует такое число k, что č =kă. ным векторам, причём коэффициен- Глава XI. Соотношения между сторонами И углами 3-угольника. Скалярное произведение Векторов. Для любого угла α из промежут- tg угла α (α =90°) называется отношение ка 0° < α < 180° sin угла α называ- sinα /cosα. ется ордината у точки М, а cos угла α – абсцисса х угла α. sin(90°-- α )= cos α Теорема: S 3-угольника = ½ Теорема: Стороны 3-угольника про- Sin угла между ними. углов. Теорема: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними. а2=b2+с2-2bс cos α. Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра- векторов называется произве- ту его длины. дение их длин на cos угла между ними. Теорема: Скалярное произведение векторов а( х1; у1) и b( х2; у2 ) выражается формулой: ab=х1 х2 +у1 у2. Нулевые векторы а( х1; у1) и cos угла а между нулевыми векторами b( х2; у2 )перпендикулярны а( х1; у1) и b( х1; у1) выражается формулой: тогда и только тогда, ког- cos α =х1 х2 +у1 у 2 / х1+у1 х2 + у2. да х1 х 2 + у1 у2 = 0. Для любых векторов а, b, с и любого числа k справедливы соотношения: а2> 0, причём а2> 0 при а=0. аb=bа (переместительный закон). ( а+ b )с=ас+ bс (распределительный закон). ( kа )b=k( ab) (сочетательный закон). Матвеев Евгений. Руководитель проекта: Очеретина Т.В.
Казань 2004 г. Класс. Глава I. Точки, прямые, отрезки. Через любые две точки Если две прямые имеют общую можно провести прямую, точку, то они пересекаются. и притом только одну. Прямая а и точки А и В. Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек. Угол.
Угол – это геометрическая фигура, Угол называется развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей, если обе его стороны исходящих из этой точки. лежат на одной прямой. Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развёрнутый угол с вершиной С и сторонами p и q.
Развёрнутый угол = 180º; Неразвёрнутый угол < 180º . Луч, исходящий из вершины угла и Два угла, у которых одна общая делящий его на два равных угла, сторона общая, а две другие называется биссектриса угла. являются продолжениями одна другой, называются смежными. Два угла, называются вертикальными, если стороны одного угла являются Сумма смежных углов = 180º. продолжениями сторон другого. Две пересекающиеся прямые Вертикальные углы равны. называются перпендикулярными, если они образуют 4 прямых угла. Глава I I. Треугольники. Треугольник – геометрическая фигура, РАВС = АВ+ВС+СА. кот-ая состоит из 3 точек, не лежа- щих на 1 прямой, соединённых отрезками. Треугольник с вершинами А, В, С и соответственно равных сторон Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против соответственно равных равных углов лежат равные стороны.
Теорема: Если 2 стороны и угол Теорема: Из точки, не лежа- между ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провести Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-09; Просмотров: 819; Нарушение авторского права страницы
В равных треугольниках против
Теорема: В равнобедренном треуг-ке 
Теорема: Если при пересечении 2 пря-