Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Носители данных

Данные – диалектическая составная часть информации. Они представляют собой зарегистрированные сигналы. При этом физический метод регистрации может быть любым: механическое перемещение физических тел, изменение их формы или параметров качества поверхности, изменение электрических, магнитных, оптических характеристик, химического состава или характера химических связей, изменение состояние электронной системы и многое другое. В соответствии с методом регистрации данные могут храниться транспортироваться на носителях различных видов.

Самым распространённым носителем данных, хотя и не самым экономичным является бумага. На бумаге данные регистрируются путём изменения оптических характеристик её поверхности. Изменение оптических свойств используется также в устройствах осуществляющих запись лазерным лучом на пластмассовых носителях с отражающим покрытием ( CD-ROM ). В качестве носителей, использующих изменение магнитных свойств, можно назвать магнитные ленты и диски. Регистрация данных путём изменения химического состава поверхностных веществ носителя широко используется в фотографии. На биохимическом уровне происходит накопление и передача данных в живой природе.

От свойств носителя нередко зависят такие свойства информации, как полнота, доступность и достоверность. Задача преобразования данных с целью смены носителя относится к одной из важнейших задач информатики. В структуре стоимости вычислительных систем устройства для ввода и вывода данных, работающие с носителями информации, составляют до половины стоимости аппаратных средств.

СХЕМА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Всякое событие, всякое явление служит источником информации.

Всякое событие, всякое явление может быть выражено по-разному, разным способом, разным алфавитом. Чтобы информацию более точно и экономно передать по каналам связи, ее надо соответственно закодировать.

Информация не может существовать без материального носителя, без передачи энергии. Закодированное сообщение приобретает вид сигналов-носителей информации. Они-то и идут по каналу. Выйдя на приемник, сигналы должны обрести вновь общепонятный вид.

С этой целью сигналы пробегают декодирующее устройство, приобретая форму, удобную для абонента. Система связи сработала, цель достигнута. Когда говорят о каналах связи, о системах связи, чаще всего для примера берут телеграф. Но каналы связи - понятие очень широкое, включающее множество всяких систем, самых разных.

Чтобы ясен был многоликий характер понятия " канал связи”, достаточно привести несколько примеров.

При телефонной передаче источник сообщения - говорящий. Кодирующее устройство, изменяющее звуки слов в электрические импульсы, - это микрофон. Канал, по которому передается информация - телефонный провод. Та часть трубки, которую мы подносим к уху, выполняет роль декодирующего устройства. Здесь электрические сигналы снова преобразуются в звуки. И наконец, информация поступает в “принимающее устройство”-ухо человека на другом конце провода. А вот каналсвязи совершенно другой природы - живой нерв. Здесь все сообщения передаются нервным импульсом. Но в технических каналах связи направление передачи информации может меняться, а по нервной системе передача идет в одном направлении.

Еще один пример - вычислительная машина. И здесь те же характерные черты. Отдельные системы вычислительной машины передают одна другой информацию с помощью сигналов. Ведь вычислительная машина-автоматическое устройство для обработки информации, как станок - устройство для обработки металла. Машина не создает из “ничего” информацию, она преобразует только то, что в нее введено.

Система счисления

— это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционныхсистемах вес цифры(т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения(позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757, 7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757, 7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0, 7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757, 7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +... + a_-m q^-m, 2

n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижениемцифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Запись числа в позиционной системе счисления.

Основание с/с соответствует количеству цифр (знаков), используемых для записи чисел в этой с/с. Например, основанием десятичной с/с есть число 10 и именно десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) мы используем при записи чисел в этой с/с. В двоичной с/с мы используем всего две цифры - 0 и 1, в шестнадцатиричной - 16, причем для чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15 в этой с/с введены дополнительное цифры (знаки) - A, B, C, D, E, F соответственно, т.к. традиционно используемых цифр недостаточно. Необходимо заметить, что люди дали название той или иной с/с в десятичной с/с. Число, соответствующее основанию рассматриваемой с/с запишется в этой с/с как 10:
2 (10 с/с) = 10 (2 с/с)
16 (10 с/с)= 10 (16 с/с)
8 (10 с/с) = 10 (8 с/с)
После появления позиционной системы появились и правила (алгоритмы) сложения, вычитания, умножения (столбиком), деления (уголком). Однако с технической точки зрения основание 10 не слишком удобно: в цепях электрических схем необходимо для этого иметь 10 различных сигналов (хотя десятичная с/с использовалась в механических арифмометрах). С технической точки зрения, чем меньше сигналов в схеме, тем лучше. Наименьшее основание, которое может быть у позиционной с/с, - это 2. Поэтому двоичная с/с широко используется в современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи.

Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно>:

двоичная (используются цифры 0, 1);
восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

10 - я	2 - я	8 - я	16 - я

10 - я	2 - я	8 - я	16 - я
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.