Единственность разложения на простые сомножители

Повторив прежние рассуждения применительно к этому равенству, получим и т.д., пока, наконец, в одной части равенства, например, в левой не сократятся все сомножители. Но одновременно должны сократиться и все сомножители правой части, так как равенство при превосходящих 1, невозможно. Таким образом, второе разложение на простые сомножители тождественно первому.

23.В разложении числа а на простые сомножители некоторые из них могут повторяться. Обозначая буквами различные из них и буквами кратности их вхождения в а, получим так называемое каноническое разложение числа а на сомножители

Пример. Каноническое разложение числа 588 000 будет: .

24.Пусть – каноническое разложение числа а. Тогда все делители числа суть – все числа вида

(1)

Действительно, пусть d делит а. Тогда (b, § 1) а = dq и, следовательно, все простые делители числа d входят в каноническое разложение числа а с показателями, не меньшими тех, с которыми они входят в каноническое разложение числа d. Поэтому d имеет вид (1).

Обратно, всякое d вида (1) делит а.

Пример. Все делители числа получим, если в выражении заставим независимо друг от друга пробегать значения Поэтому указанные делители будут: 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144, 5, 10, 20, 40, 80, 15, 30, 60, 120, 240, 45, 90, 180, 360, 720.

25. Общий наибольший делитель нескольких чисел является произведением степеней вида , где р – общий простой делитель всех этих чисел, а – наименьший из показателей, с которыми р входит в их канонические разложения.

26. Совокупность общих делителей нескольких чисел совпадает с совокупностью делителей их общего наибольшего делителя.

Действительно, пусть d – общий делитель чисел а,..., l. Тогда имеют место равенства вида (которые показывают, что: а) всякий простой делитель р числа d должен быть делителем и каждого из чисел a, ..., l, а также что: b) этот делитель р должен входить в каноническое разложение числа d с показателем, не превосходящим наименьшего из тех, с которыми он входит в канонические разложения чисел а, ..., l; обратно, каждое d, подчиненное условиям а) и b), очевидно, является общим делителем чисел

а, ..., l.

Общим наибольшим делителем, т.е. наибольшим из общих делителей (а, § 2), является тот из последних, в каноническом разложении которого показатели степеней простых чисел точно равны наименьшим из тех, с какими эти простые числа входят в канонические разложения чисел а, ..., l.

А всякий общий делитель, как имеющий в своем каноническом разложении все показатели не превосходящими соответствующих показателей в каноническом разложении общего наибольшего делителя, будет делителем последнего.

Пример. Общий наибольший делитель чисел равен .

27. Общее наименьшее кратное нескольких чисел является произведением степеней вида , где р – простой делитель по меньшей мере одного из этих чисел, а – наибольший из показателей, с которыми р входит в их канонические разложения.

28. Общее наименьшее кратное нескольких попарно простых чисел равно их произведению.

29. Совокупность общих кратных нескольких чисел совпадает с совокупностью кратных их общего наименьшего кратного.

Действительно, пусть М – общее кратное чисел о, ..., l. Тогда имеют место равенства вида M = ad', ..., М = ll’, которые показывают, что: а) всякий простой делитель р каждого из чисел
а, ..., l должен быть делителем и числа М, а также, что: b) этот делитель р должен входить в каноническое разложение числа М с показателем, не меньшим наибольшего из тех, с которыми он входит в канонические разложения чисел а, ..., l; обратно, каждое М, подчиненное условиям а) и b), очевидно, является общим кратным чисел а, ..., l.

Пример. Общее наименьшее кратное чисел 1800 = 2^3. 3^2. 5²,

3780 = 2^2. 3^3. 5 ^. 7, 8910 = равно 2^3. З^4. 5^2. 7 ^. 11 =
= 1 247 400.