Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида
30.Пусть
– любое вещественное число. Обозначим буквой q1наибольшее целое число, не превосходящее
.
При нецелом
имеем
;
. Точно так же при нецелых
имеем
,
...............
; 
ввиду чего получаем следующее разложение
в непрерывную дробь:

.
. (1)
.

Если
– иррациональное, то и всякое
– иррациональное (при рациональном
ввиду (1) рациональным оказалось бы и
) и указанный процесс может быть неограниченно продолжен.
Если же
– рациональное и, следовательно, может быть представлено рациональной несократимой дробью
с положительным знаменателем, то указанный процесс будет конечен и может быть выполнен с помощью алгоритма Евклида. Действительно, имеем:
,

...........................
,
;
,
;
,

.
.
.
Числа
..., участвующие в разложении числа
в непрерывную дробь, называются неполными частными (в случае рационального
это будут, согласно
, неполные частные последовательных делений алгоритма Евклида), дроби же
,
,
, ...
называются подходящими дробями.
Простой закон вычисления подходящих дробей получим, заметив, что
получается из
заменой в буквенном выражении для
числа
числом
. Действительно, полагая ради единообразия Р0 = 1, Qo = 0, мы можем последовательно представить подходящие дроби в следующем виде (здесь равенство
пишем, желая обозначить А символом РS, а В –символом QS):
,
,

и т.д. и вообще при 
(2)
Таким образом, числители и знаменатели подходящих дробей мы можем последовательно вычислять по формулам

(3)
Эти вычисления удобно делать по следующей схеме (два последних столбца пишем лишь в случае, когда
– несократимая дробь с положительным знаменателем:
):
|
|
|
| …
|
|
|
| …
|
|
|
| 1
|
|
| ...
|
|
|
| …
|
| a
|
| 0
| 1
|
| …
|
|
|
| ...
|
| b
|
Пример. Разложим в непрерывную дробь несократимую дробь
.
Здесь имеем

Поэтому указанная выше схема дает
При s > 0 имеем
При S > 1 имеем
Действительно, приняв обозначение hs = PsQs–1 – QsPs–1, мы при s = 1 получим h
= q
. 0–1 . 1 = –1, a при s = 1 с помощью равенства (3) найдём hs = –hs–1. Отсюда получим hs–1 = (–1)s. Пользуясь же этим равенством при s > 1, легко найдём
–
=
-
=
=
.
Пусть 1 < s, а если
– рациональная несократимая дробь
=
с положительным знаменателем, то пусть также s < n. Тогда
лежит между
и
, причём ближе к
, нежели к
.
Действительно, заменив в равенстве (2) число q
числом
q
+
, получим
=
,
Q
+
Q
–
P
– P
= 0,
Q
(
–
) + Q
(
–
) = 0,
откуда убеждаемся, что первая из разностей, стоящих в скобках, и по знаку противоположна второй и численно (ввиду Q
> Q
) меньше последней. А этим и доказываются наши утверждения.
Мультипликативные функции
31.Функция
(а) называется мультипликативной, если она удовлетворяет двум следующим условиям:
1. Эта функция определена для всех целых положительных а и не равна нулю, по меньшей мере при одном таком а.
2. Для любых положительных взаимно простых a1и а2имеем:

Пример. Нетрудно видеть, что мультипликативной является функция
, где s – любое вещественное или комплексное число.
32. Для всякой мультипликативной функции
(а) имеем
(1) = 1. Действительно, пусть
(а0) не равно нулю. Находим

Свойство 31.2мультипликативной функции
(a) распространяется и на случай k > 2 попарно простых чисел а1, аг, а3, ..., ak.Действительно, имеем:

В частности, находим
. (1)
33. Обратно, мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию
(a), если, положив
(1) = 1 и назначив произвольно значения для
(Р
), отвечающих положительным степеням простых чисел, в общем случае определим эту функцию равенством (1).
Действительно, если
представлено в виде произведения
двух взаимно простых чисел а1и а2, то справедливо тождество
,
левая часть которого является произведением чисел
, отвечающих всем сомножителям вида
числа а, а правая часть является тем же произведением, но разбитым на два взаимно простых произведения, одно из которых
является произведением чисел
, отвечающих всем сомножителям вида
числа
, другое же
является произведением чисел
, отвечающих всем сомножителям видам
числа
.
Пример.Мультипликативную функцию можно построить, взяв
(1) = 1 и
(рa) = 2, если
> 0. Тогда при k > 0 будем иметь
. В частности, найдем:

34.Произведение
(а) =
1 (а)
2 (а) двух мультипликативных функций
1(а) и
2 (а) также является мультипликативной функцией.
Действительно, имеем 
Кроме того, при
находим

Доказанная теорема обобщается и на случай любого числа К > 2 мультипликативных функций

Действительно, пользуясь ею последовательно, убедимся в мультипликативности произведений:

35.Пусть
– мультипликативная функция и а =
– каноническое разложение числа а.. Тогда, обозначая символом
сумму, распространенную на все делители d числа a, будем иметь

(В случае a = 1 правая часть считается равной 1.)
Чтобы доказать, что это тождество, раскроем скобки в его правой части. Тогда получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида


А это (теорема 24) как раз и будет то, что стоит в левой части тождества.
Популярное: