Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида

30.Пусть – любое вещественное число. Обозначим буквой q₁наибольшее целое число, не превосходящее .

При нецелом имеем ; . Точно так же при нецелых имеем

...............

;

ввиду чего получаем следующее разложение в непрерывную дробь:

. (1)

Если – иррациональное, то и всякое – иррациональное (при рациональном ввиду (1) рациональным оказалось бы и ) и указанный процесс может быть неограниченно продолжен.

Если же – рациональное и, следовательно, может быть представлено рациональной несократимой дробью с положительным знаменателем, то указанный процесс будет конечен и может быть выполнен с помощью алгоритма Евклида. Действительно, имеем:

...........................

; ,

Числа ..., участвующие в разложении числа в непрерывную дробь, называются неполными частными (в случае рационального это будут, согласно , неполные частные последовательных делений алгоритма Евклида), дроби же

, , , ...

называются подходящими дробями.

Простой закон вычисления подходящих дробей получим, заметив, что получается из заменой в буквенном выражении для числа числом . Действительно, полагая ради единообразия Р₀ = 1, Q_o = 0, мы можем последовательно представить подходящие дроби в следующем виде (здесь равенство пишем, желая обозначить А символом Р_S, а В –символом Q_S):

и т.д. и вообще при

(2)

Таким образом, числители и знаменатели подходящих дробей мы можем последовательно вычислять по формулам

(3)

Эти вычисления удобно делать по следующей схеме (два последних столбца пишем лишь в случае, когда – несократимая дробь с положительным знаменателем: ):

		…	…
1		...	…	a
0	1	…	...	b

Пример. Разложим в непрерывную дробь несократимую дробь .

Здесь имеем

Поэтому указанная выше схема дает

При s > 0 имеем

При S > 1 имеем

Действительно, приняв обозначение h_s = P_sQ_s–₁ – Q_sP_s–₁, мы при s = 1 получим h = q ^. 0–1 ^. 1 = –1, a при s = 1 с помощью равенства (3) найдём h_s = –h_s–₁. Отсюда получим h_s–₁ = (–1)^s. Пользуясь же этим равенством при s > 1, легко найдём

– = - = = .

Пусть 1 < s, а если – рациональная несократимая дробь
= с положительным знаменателем, то пусть также s < n. Тогда лежит между и , причём ближе к , нежели к .

Действительно, заменив в равенстве (2) число q числом
q + , получим

= ,

Q + Q – P – P = 0,

Q ( – ) + Q ( – ) = 0,

откуда убеждаемся, что первая из разностей, стоящих в скобках, и по знаку противоположна второй и численно (ввиду Q > Q ) меньше последней. А этим и доказываются наши утверждения.

Мультипликативные функции

31.Функция (а) называется мультипликативной, если она удовлетворяет двум следующим условиям:

1. Эта функция определена для всех целых положительных а и не равна нулю, по меньшей мере при одном таком а.

2. Для любых положительных взаимно простых a₁и а₂имеем:

Пример. Нетрудно видеть, что мультипликативной является функция , где s – любое вещественное или комплексное число.

32. Для всякой мультипликативной функции (а) имеем
(1) = 1. Действительно, пусть (а₀) не равно нулю. Находим

Свойство 31.2мультипликативной функции (a) распространяется и на случай k > 2 попарно простых чисел а₁, а_г, а₃, ..., a_k.Действительно, имеем:

В частности, находим

. (1)

33. Обратно, мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию (a), если, положив (1) = 1 и назначив произвольно значения для (Р ), отвечающих положительным степеням простых чисел, в общем случае определим эту функцию равенством (1).

Действительно, если представлено в виде произведения двух взаимно простых чисел а₁и а₂, то справедливо тождество

левая часть которого является произведением чисел , отвечающих всем сомножителям вида числа а, а правая часть является тем же произведением, но разбитым на два взаимно простых произведения, одно из которых является произведением чисел , отвечающих всем сомножителям вида числа , другое же является произведением чисел , отвечающих всем сомножителям видам числа .

Пример.Мультипликативную функцию можно построить, взяв (1) = 1 и (р^a) = 2, если > 0. Тогда при k > 0 будем иметь . В частности, найдем:

34.Произведение (а) = ₁ (а) ₂ (а) двух мультипликативных функций ₁(а) и ₂ (а) также является мультипликативной функцией.

Действительно, имеем

Кроме того, при находим

Доказанная теорема обобщается и на случай любого числа К > 2 мультипликативных функций

Действительно, пользуясь ею последовательно, убедимся в мультипликативности произведений:

35.Пусть – мультипликативная функция и а = – каноническое разложение числа а.. Тогда, обозначая символом сумму, распространенную на все делители d числа a, будем иметь

(В случае a = 1 правая часть считается равной 1.)

Чтобы доказать, что это тождество, раскроем скобки в его правой части. Тогда получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида

А это (теорема 24) как раз и будет то, что стоит в левой части тождества.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒